27.5二次函数的简单应用 讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数简单应用，系统梳理三种解析式（一般式、顶点式、交点式）及适用场景，构建“审题-设元-列式-求解-检验”五步解题模板，明确最值判定规则，覆盖几何面积、销售利润、抛物线轨迹、增长率四大题型，形成从基础到应用的完整学习支架。 资料以“问题解决”为导向，通过易错点分析（如忽略定义域、销量计算错误）和变式训练（如篱笆围矩形、售价与利润关系），培养学生用数学眼光抽象实际问题，用数学思维推理最值条件，用数学语言规范表达。课中助力教师高效授课，课后辅助学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

沪教版五四制2026学年九年级上册 27.5二次函数的简单应用学习目标 【知识点01】：二次函数三种解析式及适用场景知识详解 1. 一般式： 适用场景：几何面积、销售利润等常规列式题型，可通过配方或公式法求解对称轴与最值。 核心公式：对称轴，函数最值。 2. 顶点式： 适用场景：抛物线轨迹问题（拱桥、抛球、喷水），顶点可直接对应运动轨迹的最高点、最低点。 3. 交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴两个交点坐标，快速设参求解解析式。 【知识点02】：二次函数应用题标准解题五步（满分答题模板） 第一步：审题：梳理题干已知条件、隐藏限制条件，找准变量之间的等量关系，区分自变量和目标变量。 第二步：设元：合理设出自变量，用字母表示所求的目标量（面积、利润、高度等）。 第三步：列式：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注符合实际的自变量取值范围。 第四步：求解：通过配方或公式法求出顶点、对称轴，结合自变量取值区间判断最值： 顶点横坐标在取值区间内：顶点处取函数最值； 顶点横坐标不在取值区间内：最值取自变量区间的左右端点。 第五步：检验作答：验证结果符合实际意义（长度、销量、价格不为负数），规范书写答案并带单位。 【知识点03】：最值判定核心规则 1. ，抛物线开口向上，顶点为函数最小值点； 2. ，抛物线开口向下，顶点为函数最大值点； 3. 纯代数无定义域限制：顶点为唯一最值点； 4. 实际应用题有定义域限制：严禁直接套用顶点求最值，必须结合区间判断。 【知识点04】：利用二次函数解决实际问题的常见题型 二次函数与利润最大化：主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值． 二次函数与面积结合的问题：基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．（而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多）． 二次函数与拱桥问题的解题：依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题． 二次函数与运行轨迹：与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题． 【题型01】：几何面积及面积最值问题题型精讲 易错原因：篱笆隔断数量统计错误、忽略墙体长度限制、未判断定义域直接用顶点求最值。 【例1】半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面，剩下一个圆环 的面积为y平方厘米，则y关于x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【变式1-2】如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC上的一动点，若，交DC于Q， 设PB = x，的面积为y，y与x的函数关系式为_________________．A B C D P Q 【难度】★★ 【变式1-3】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【变式1-4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【变式1-5】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【变式1-6】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【变式1-7】如图，矩形ABCD中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M从点A开始沿AB边向 点B以1厘米/秒的速度向点B移动，点N从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点 C移动．若点M、N分别从A、B两点同时出发，设移动时间为t（）， 的面积为S． （1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值； （2）当为直角三角形时，求的面积． A B C D N M 【题型02】：销售利润最值问题（期中、一模必考）易错原因：1. 涨价降价后销量计算错误2. 单件利润、总利润混淆 3. 忽略售价、销量取值范围4. 顶点不在区间仍取顶点最值 【例2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-1】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元） 与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示： x 130 150 165 y 70 50 35 （1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数； （2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【难度】★★ 【变式2-2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价， 且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数 y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45． （1）求一次函数y = kx + b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【变式2-3】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部 门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，市场调查发现：单价定于 70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支 出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元． （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，指出单价定为 多少时日均获利最多，是多少？ （1） 将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？ 【变式2-4】为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【变式2-5】某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【题型03】：抛物线轨迹问题（拱桥、投篮、喷水） 易错原因：1. 路程‑速度‑时间关系式写错2. 漏写动点边界，定义域 出错3. 不会分段讨论不同运动阶段4. 动点越界仍用顶点求最值 【例3】若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则t = 5秒时， 该物体所经过的路程为________． 【难度】★ 【变式3-1】 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【变式3-2】如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【变式3-3】小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【变式3-4】如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位： 米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： （1）出手点A离地面的高度；O A B C x y （2）最高点C离地面的高度； （3）该运动员的成绩是多少米？ 【难度】★ 【变式3-5】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【题型04】增长率/降价二次模型（选择填空高频） 易错原因：1. 增长基数判断错误2. 记错增长率公式3. 未舍去无实际意义的负根4. 分不清增长量与总量。 【例4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 【变式4-2】某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 18．【变式4-3】某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【变式4-4】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【变式4-3】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【变式4-4】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m， 则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时： （1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________； （2）如图，在对称轴右边3 m处，桥洞离水面的高度为______ m． ． 【变式4-5】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示： （1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式； （2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精 确到0.01米）y x O 2 m 4 m 【变式4-5】如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为　4　 米． 【变式4-6】某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为　　 米． 一:单选题强化训练 1．广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 2.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 二：填空题 3．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 4.用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的 长为______米，宽为______米． 三:解答题 5.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距 离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长 度，建立平面直角坐标系．求： （1）以这一部分抛物线为图像的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）有一辆宽2.8米，高4米的货车能否通过此隧道？x y A B C O 6．（2025九年级上·上海·专题练习）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 7．某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 8.随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为　　 min． 9.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全 部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订出的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 10.随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　4.8　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 27.5二次函数的简单应用学习目标 【知识点01】：二次函数三种解析式及适用场景知识详解 1. 一般式： 适用场景：几何面积、销售利润等常规列式题型，可通过配方或公式法求解对称轴与最值。 核心公式：对称轴，函数最值。 2. 顶点式： 适用场景：抛物线轨迹问题（拱桥、抛球、喷水），顶点可直接对应运动轨迹的最高点、最低点。 3. 交点式： 适用场景：已知抛物线与x轴两个交点坐标，快速设参求解解析式。 【知识点02】：二次函数应用题标准解题五步（满分答题模板） 第一步：审题：梳理题干已知条件、隐藏限制条件，找准变量之间的等量关系，区分自变量和目标变量。 第二步：设元：合理设出自变量，用字母表示所求的目标量（面积、利润、高度等）。 第三步：列式：根据等量关系列出二次函数解析式，必须标注符合实际的自变量取值范围。 第四步：求解：通过配方或公式法求出顶点、对称轴，结合自变量取值区间判断最值： 顶点横坐标在取值区间内：顶点处取函数最值； 顶点横坐标不在取值区间内：最值取自变量区间的左右端点。 第五步：检验作答：验证结果符合实际意义（长度、销量、价格不为负数），规范书写答案并带单位。 【知识点03】：最值判定核心规则 1. ，抛物线开口向上，顶点为函数最小值点； 2. ，抛物线开口向下，顶点为函数最大值点； 3. 纯代数无定义域限制：顶点为唯一最值点； 4. 实际应用题有定义域限制：严禁直接套用顶点求最值，必须结合区间判断。 【知识点04】：利用二次函数解决实际问题的常见题型 二次函数与利润最大化：主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值． 二次函数与面积结合的问题：基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．（而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多）． 二次函数与拱桥问题的解题：依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题． 二次函数与运行轨迹：与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题． 【题型01】：几何面积及面积最值问题题型精讲 易错原因：篱笆隔断数量统计错误、忽略墙体长度限制、未判断定义域直接用顶点求最值。 【例1】半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面，剩下一个圆环 的面积为y平方厘米，则y关于x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由此即可计算得，故选D． 【总结】考查圆环的面积计算，确定相关函数的求取． 【变式1-1】如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边的长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． (1)当米时， ___________米， ___________平方米； (2)求S与x之间的函数表达式； (3)围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：当米时，米，， 平方米， 故答案为：40，400； （2）解：由题意得：， ，， ，， 解得：， S与x之间的函数表达式为； （3）解：， ， 当时，S取得最大值，最大值为450， 即围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 【变式1-2】如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC上的一动点，若，交DC于Q， 设PB = x，的面积为y，y与x的函数关系式为_________________．A B C D P Q 【答案】． 【解析】由，易证得， 可得，即，由此可得， 则， ，即． 【总结】考查正方形的基本性质，同时应用“一线三直角”基本模型证明三角形的相似． 【变式1-3】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 【变式1-4】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 【变式1-5】如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 【变式1-6】（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 【变式1-7】如图，矩形ABCD中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M从点A开始沿AB边向 点B以1厘米/秒的速度向点B移动，点N从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点 C移动．若点M、N分别从A、B两点同时出发，设移动时间为t（）， 的面积为S．A B C D N M （1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值； （2）当为直角三角形时，求的面积． 【答案】（1），最小值为27； （2）． 【解析】（1）依题意可得，，由此，， ， 即 ， 将化为顶点式，即为， 可知时，有最小值； （2） ，可知不可能为直角，由此可进行以下分类讨论： ①，易证得，则有，即，整理即为 ，解得不合题意，应舍去； ②，易证得，则有，即，整理即为 ，解得符合题意； 综上所述，，此时． 【总结】（1）不规则图形面积应用割补法进行求解，只需将相应长度表示出来即可；（2）主 要应用“一线三直角”基本模型得到相似三角形转化求解． 【题型02】：销售利润最值问题（期中、一模必考）易错原因：1. 涨价降价后销量计算错误2. 单件利润、总利润混淆 3. 忽略售价、销量取值范围4. 顶点不在区间仍取顶点最值 【例2】红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； （2）解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 【变式2-1】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元） 与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示： x 130 150 165 y 70 50 35 （1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数； （2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）1600元 【解析】（1）依题意可设， 则有，解得，即这个一次函数解析式为； （2）总利润=单个利润×销量，则其总利润为 ， 可知时商品有最大日销售利润1600元． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值． 【变式2-2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价， 且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数 y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45． （1）求一次函数y = kx + b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围． 【答案】（1）；（2）单价87元时有最大利润891元；（3） 【解析】（1）依题意有，解得，即一次函数解析式为； （2） 销售利润=单个利润×销售量，由此可得 ， 化为顶点式，，又商场最大利润不得高于45%，可知定价最高不 超过元，即取值范围是，函数开口向下，在对称轴左侧 函数单调递增，可知定价87元时，商场有最大利润元； （3）令，解得，，函数开口方向向下，结合 ，可知利润不低于500的范围是． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变 量取值范围，适当结合函数增减性进行解题． 【变式2-3】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部 门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，市场调查发现：单价定于 70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支 出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元． （1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，指出单价定为 多少时日均获利最多，是多少？ （1） 将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？ 【答案】（1）；（2）单价65元时日均获利最多是1950元；（3）销售单价最高时，获总利最多，多26500元． 【解析】（1）日均利润=单个利润×销售量－日支出，由此可得 ，依题 意可知其定价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，即其取值范围为； （2）化为顶点式，即得，由此可知单价定为65 元时，日均获利最多，最高利润为1950元； （3）日均获利最多，单价65元，日销量，销售天数天， 商场总获利为元； 销售单价最高，日均销售60kg，则销售天数为天， 商场总获利为元； ，可知销售单价最高时获总利最多，多元． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值． 【变式2-4】为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 【变式2-5】某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 【题型03】：抛物线轨迹问题（拱桥、投篮、喷水） 易错原因：1. 路程‑速度‑时间关系式写错2. 漏写动点边界，定义域 出错3. 不会分段讨论不同运动阶段4. 动点越界仍用顶点求最值 【例3】若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则t = 5秒时， 该物体所经过的路程为________． 【答案】 【解析】t = 5时，，即物体经过路程为． 【总结】考查二次函数解析式的意义，代值计算即可． 【变式3-1】 某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 【变式3-2】如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【变式3-3】小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 【变式3-4】如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位： 米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： （1）出手点A离地面的高度；O A B C x y （2）最高点C离地面的高度； （3）该运动员的成绩是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）出手点，即出手点离地 面高度为； （2）化为顶点式，即，，可知最高点离地面高度为； （2） 令，解得，，即，由此可知该运动员成 绩为． 【总结】考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对点坐标的求解． 【变式3-5】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 【题型04】增长率/降价二次模型（选择填空高频） 易错原因：1. 增长基数判断错误2. 记错增长率公式3. 未舍去无实际意义的负根4. 分不清增长量与总量。 【例4】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式4-1】印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式__________． 【答案】 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 【变式4-2】某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】先根据题意得到利润关于售价的二次函数表达式，再依次验证三个结论，统计正确结论的个数即可； 【解答】解：设每日销售利润为y元，根据题意：每件利润为（x﹣40）元，每日销量为50﹣2（x﹣60）＝170﹣2x，因此利润函数为：y＝（x﹣40）（170﹣2x）＝﹣2x2+250x﹣6800 验证结论①：当x＝70时，y＝（70﹣40）（170﹣2×70）＝30×30＝900， ∵结论中说利润为800元，∴结论①错误； 验证结论②：二次函数y＝﹣2x2+250x﹣6800开口向下，对称轴为， ∵x为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴x＝62满足要求，结论②错误； 验证结论③：令y＝1008，得方程（x﹣40）（170﹣2x）＝1008，整理得x2﹣125x+3904＝0， 解得x1＝61，x2＝64，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确； 综上，正确结论只有1个； 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．【变式4-3】某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【分析】解题思路是根据总利润＝单件利润×销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【解答】解：设销售该文具每天获得的利润为w元， 根据题意可得10≤x≤21， w＝（x﹣10）（﹣2x+60） ＝﹣2x2+80x﹣600 ＝﹣2（x﹣20）2+200， ∵﹣2＜0，二次函数图象开口向下， ∴当x＝20时，w取得最大值， 又∵10≤x≤21，20在x的取值范围内， ∴当x＝20时，w的最大值为200元， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【变式4-4】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是_____． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 【变式4-3】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式4-4】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m， 则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时： （1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________； （2）如图，在对称轴右边3 m处，桥洞离水面的高度为______ m． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）桥洞跨度为，依题意可得抛物线 对称轴为直线，桥洞离水面最大高度为， 可知抛物线顶点坐标为， 可设抛物线解析式为， 抛物线过点，代入则有，解得，代入整理得； （2） 对称轴右边，即该点处横坐标为8，代入即得， 则桥洞离水面高度为． 【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据 题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题． 【变式4-5】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示： （1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式； （2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精 确到0.01米）y x O 2 m 4 m 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意可知函数关于轴对称，顶点为， 可设抛物线解析式为，则函数过点， 代入可求得，即抛物线解析式为； （2）令，可得，则横向活动范围为． 【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解． 【变式4-5】如图，某湖面上有一座抛物线型拱桥，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线的函数表达式为．某一时刻，桥下水面AB的宽度为16米，则此时拱顶O到水面AB的距离为　4　 米． 【分析】根据题意可得点B的横坐标为8，把x＝8代入，进行计算，即可求解． 【解答】解：抛物线的函数表达式为． 根据题意可得，点B的横坐标为， ∴当x＝8时，， ∴B（8，﹣4）， 此时拱顶O到水面AB的距离为|﹣4|＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式4-6】某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为6米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为　10　 米． 【分析】依据题意，由题可知，E、F两点纵坐标为6，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长． 【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为6米的点”， ∴令yx2+10＝6． ∴x＝±5． ∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 一:单选题强化训练 1．广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为___________米． 【答案】6 【详解】解：对于函数，令，得， 整理可得， 解得， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 2.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【分析】求出抛物线当y时x的值，即可得的答案． 【解答】解：∵水面离桥顶的高度为米， ∴当y时，得x2， 解得x＝4或x＝﹣4． ∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当y时x的值即可得解． 二：填空题 3．在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______． 【答案】 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则： y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1）， 故答案为：． 4.用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的 长为______米，宽为______米． 【答案】3，2 【解析】设矩形宽为，则矩形长为， 透进光线最多，则窗户面积最大，窗户面积， 化为顶点式，即为，，此时矩形宽为，长为． 【总结】考查利用二次函数建立模型解决函数问题，根据顶点式求最值． 三:解答题 5.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距 离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长 度，建立平面直角坐标系．求： （1）以这一部分抛物线为图像的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）有一辆宽2.8米，高4米的货车能否通过此隧道？x y A B C O 【答案】（1）；（2）不能． 【解析】（1）隧道口截面跨度为，依题意可得抛物线 对称轴为轴，抛物线顶点坐标为，由， ，可得，可设抛物线解析式为 ，抛物线过点，代入则有，解得， 代入得：，其中x取值范围为； （2） 令，解得，根据抛物线的对称性， 可知可通过的最大宽度为：，， 即该车不能通过隧道． 【总结】抛物线解决实际问题，建立相应拱桥模型，把相关数据转化为平面直角坐标系中点的坐标的求解，固定高度即可求出可通过的最大宽度即可进行判断解题． 6．（2025九年级上·上海·专题练习）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的关系如下表： 销售价格x/（元/个） 销售量y/万个 (1)求该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式； (2)销售价格定为多少时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）当时，； 当时，． 故该公司销售这种计算器的利润w（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数关系式为 ； （2）当时，， 所以当时，w取得最大值50； 当时，． 因为，所以w随x的增大而增大， 所以当时，w取得最大值50． 所以销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润是50万元． 7．某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①令，解方程求出的值，再把的值代入求出即可； ②当时，．求得．当时，．求得，再求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求解即可． ，从而得出结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为． 将和代入，得 解得 ∴关于的函数解析式为． （2）①解：令，则， 解得，（舍去）． 当时，． 答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为． ②该航模飞机此次试飞能达到要求． 理由：当时，．解得． 当时，．解得． ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． ∴，均在对称轴的左侧． ∵， ∴当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值是． ∵， ∴该航模飞机此次试飞能达到要求． 8.随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系可用二次函数yx近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km）与电量x（%）的关系如表所示． 汽车仪表盘显示的电量x（%） 0 10 20 30 40 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程s（km） 0 70 140 210 280 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为　　 min． 【分析】由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量，根据题意可得，电量需充到80%，根据累计充电时间y（min）与汽车仪表盘显示的电量x（%）的关系，即可求解． 【解答】解：由表可知，每行驶70千米，需要10%的电量， 根据题意可得，电量需充到490÷70×10+10＝80（%）， 在中， 当x＝30时，， 当x＝80时，， ∴充电时间为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全 部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． （1）设一天订出的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）； （3）订出34个房间，宾馆有最大利润10880元． 【解析】（1）根据题意易得一天订出的房间数，同时， 可知自变量的取值范围是； （2） 利润=单个房间利润×订出房间数，即，代入即为 ； （3） 化为顶点式，即，根据函数的增减性，函数在对称轴左侧递 增，故时宾馆有最大利润，此时订出房间数为，最大利润是 ． 【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题． 10.随着“江西省城市足球联赛”（简称“赣超”）的开赛，点燃了大家对足球的热情，如图是某场球赛中的截面示意图，进攻球员位于点O处起脚射门，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点O的水平距离x（单位：m）与离地高度y（单位：m）的部分数据如下表： 水平距离x/m … 6 9 12 15 … 离地高度y/m … 3.6 4.5 4.8 4.5 … 以点O为坐标原点，直线OB为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度y＝　4.8　 m． （2）求y关于x的函数解析式． （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于该守门员的最大防守高度2.1m时，该守门员可防守成功．若守门员距离点O水平距离19m时，该守门员需要至少退后几米，才能防守成功？ 【分析】（1）依据题意，由图象过点（9，4.5），（15，4.5），则对称轴是直线，结合抛物线开口向下，从而当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8，即可得解； （2）依据题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8，又抛物线过点（6，3.6），则36a+4.8＝3.6，求出a后即可得解； （3）依据题意，结合（2）令y＝2.1，则，从而x＝21或x＝3（舍去），又21﹣19＝2，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象过点（9，4.5），（15，4.5）， ∴对称轴是直线． 又∵抛物线开口向下， ∴当x＝12时，足球离地最大高度y＝4.8． 故答案为：4.8； （2）由题意，设抛物线为y＝a（x﹣12）2+4.8． 又∵抛物线过点（6，3.6）， ∴36a+4.8＝3.6， ∴， ∴； （3）由题意，结合（2）令y＝2.1， ∴． ∴x＝21或x＝3（舍去）， ∴21﹣19＝2， ∴守门员需要至少退后2米，才能防守成功． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $