25.3.3 实际问题与一元二次方程(3)——互赠、握手及营销问题 课堂练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|单一知识点直接应用|互赠/握手问题填空、简单选择，夯实概念理解| |能力训练|跨情境综合应用|线段构成、火车票行程等问题，提升推理能力| |拓展训练|实际问题建模|多边形对角线、旅游收费等复杂情境，发展应用意识|

25.3.3 实际问题与一元二次方程(3)——互赠、握手及营销问题 课时1 互赠、握手问题 学习新知 1.(1) 2人互赠礼物，每人要送________份礼物，共赠出________份礼物； (2) 3人互赠礼物，每人要送________份礼物，共赠出________份礼物； (3) 4人互赠礼物，每人要送________份礼物，共赠出________份礼物； (4) x人互赠礼物，每人要送________份礼物，共赠出________份礼物. 2.(1) 2人两两握手，每人和他人握手________次，共握手________次； (2) 3人两两握手，每人和他人握手________次，共握手________次； (3) 4人两两握手，每人和他人握手次，共握手________次； (4) x人两两握手，每人和他人握手________次，共握手________次. 总结： (1) 互赠问题(特征：甲↔乙)；若每两人之间进行2次活动，则人共进行了次活动； (2) 握手问题(特征：甲→乙)：若每两人之间进行1次活动，则人共进行了次活动； (3) 人握手总次数人互赠总次数. 知识点1 互赠问题(双循环问题) 3.毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？ 4.元旦期间，某交流群每两个成员之间都单独互发一条祝福短信，共发出30条短信，求这个群的人数. 知识点2 握手问题(单循环问题) 5.列出席“地球环境保护”会议的代表两两握手，共握手45次，求参加握手的人数. 6.参加毕业典礼的老师见面时两两握手，共握手15次，求参加毕业典礼的老师的人数. 知识点3 抽象的互赠、握手问题 7.一次商品交易会上，每两家公司之间都签订了两份合同，所有公司共签订了20份合同.问共有多少家公司参加商品交易会? 8.在一次篮球比赛中，每两个班级进行一场比赛(即单循环赛)，如果一共进行55场比赛，求参加篮球比赛的班级数. 过关检测 一、基础训练 9.王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有名学生，则下列方程成立的是（ ） A. 10.某次排球邀请赛中，参赛的每两个队伍之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了7天，每天安排8场比赛.设比赛组织者应邀请个队伍参加比赛，那么可列方程为________. 二、能力训练 11.如图，一条直线上，有2个点可以构成1条线段；有3个点可以构成3条线段. (1) 有4个点可以构成________条线段； (2) 若个点构成15条线段，求的值. 12.北京与上海的铁路沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站)，至少能产生30种不同行程的火车票，求共有多少个停靠站. 三、拓展训练 13.探究多边形的对角线条数. (1) 四边形有________条对角线，五边形有________条对角线； (2) 边形有________条对角线； (3) 若一个多边形有14条对角线，求它的边数. 课时2 营销问题 复习旧知 (1) 利润=实际售价－成本； (2) 总利润=单位利润×销售量. 学习新知 1.(1) 某商品的进价是100元，售价是150元，则该商品的单件利润为________元. (2) 某商品的利润为5元/件，销售量为100件，则该商品的总利润为________元. 知识点1 直接给出单位利润 2.商场某种商品平均每月可销售500件，每件盈利10元，若每件商品涨价1元，商场平均每月销售量就减少10件，要保证商场月销售利润达到8000元，每件商品应涨价多少元? 3.某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元? 知识点2 间接给出单位利润或变化关系 4.列某商店经销一种商品，若按每件盈利2元销售，每天可售出200件，若每件商品涨价0.5元，则日销售量就减少10件，问每件商品涨价多少元时，才能使每天的利润为640元？ 5.中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒.(1) 设售价每盒下降元，则每天能售出金.(用含的代数式表示)(2) 当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元? 总结： (1) 关系式：(售价－成本)×销售量=总利润； (2) 一般都是设涨价(或降价)元，然后间接求定价或进货量. 过关检测 一、基础训练 6.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元.(1) 连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，则每次下降的百分率为________. (2) 若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 二、能力训练 7.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润目标，且售价不能低于60元/个，求： (1) 这种台灯的定价. (2) 商场应进货多少个？ 三、拓展训练 8.某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：领队：组团去万绿湖旅行，每人收费多少元?旅行社：如果人数不超过25人，人均费用为100元.领队：超过25人呢?旅行社：如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于70元.该单位组团旅游结束后，共支付2700元，则该单位参加旅游的共有多少人? 答案 课时1 1.(1) 1 2 (2) 2 6 (3) 3 12 (4) 2.(1) 1 1 (2) 2 3 (3) 3 6 (4) 3.解：设毕业晚会上一共有位同学. 依题意，得， 即， 解得(不合题意，舍去). 答：毕业晚会上一共有10位同学. 4.解：设这个群的人数为. 依题意，得， 解得(不合题意，舍去). 答：这个群的人数为6. 5.解：设参加握手的人数为. 依题意，得， 解得(不合题意，舍去). 答：参加握手的人数为10. 6.解：设参加毕业典礼的老师有人依题意，得，解得(不合题意，舍去).答：参加毕业典礼的老师有6人. 7.解：设有家公司参加商品交易会.依题意，得，解得(不合题意，舍去).答：共有5家公司参加商品交易会. 8.解：设参加篮球比赛的班级数为个.依题意，得，解得(不合题意，舍去). 答：参加篮球比赛的班级数为11个. 9.C 11.解：(1) 6 (2) ， 解得(负值已舍去). 12.解：设共有个停靠站. 依题意，得. 解得(不合题意，舍去). 答：共有6个停靠站. 13.解：(1) 25 (2) (3) 设这个多边形有条边. 依题意，得， 解得(不合题意，舍去). 它的边数为7. 课时2 1.(1) 50 (2) 500 2.解：设每件商品涨价元. 依题意，得 ， 解得. 答：每件商品涨价10元或30元. 3.解：设每件降价元，则每件盈利(40－)元，平均每天可售出件.依题意，得，解得. 答：每件降价5元或30元. 4.解：设每件商品涨价元. 依题意，得，解得. 答：每件商品涨价2元或6元时，才能使每天的利润为640元. 5.解：(1) (2) 设月饼每盒售价下降元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒. 依题意，得 ， 解得. 当时，； 当时，. 答：当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元. 6.解：(1) 20% (2) 设每千克涨价元. 依题意，得 ， 解得. ， 不合题意，舍去. 答：每千克水果应涨价5元. 7.解：(1) 设这种台灯的定价为元/个，则每月销售量为. 依题意，得 ， 整理，得， 解得. 售价不能低于60元/个， 不合题意，舍去. 答：这种台灯的定价为80元/个. (2) (个). 答：商场应进货200个. 8.解：(元)， 2500<2700， 参加旅游的人数超过25人. 设在25人的基础上超过人. 依题意，得 ， 解得. 当时，； 当时，，舍去. (人). 答：该单位参加旅游的共有30人. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $