25.3 实际问题与一元二次方程&章末复习 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

可得=3，即-3， x1X2 解得k=2. 经检验k=2使方程有实根， 【规律与方法】已知方程两根满足某个条 25.3实际问题 第1课时变化率问题 【基础导学】 变化率问题：如果商品经过两次降价（或涨 价)，每次降价（或涨价）的百分率相同，那么降价 (或涨价)前后的关系可用a(1-x)2=b或a(1+ x)2=b表示，其中a表示 ,b表 示 ,x表示 【典例探究】 ★考点1：传播与裂变问题 【例1】某种电脑病毒传播速度非常快，如 果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感 染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得 不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不 会超过700台？ 解：设平均每台电脑要感染x台电脑，由题 意，得1十x十x(x+1)=81, 解得：x1=一10（舍去），x2=8. 三轮感染后的数量为：81+81×8=729 729>700,∴.三轮感染后，被感染的电脑 会超过700台. ★考点2：变化率问题 【例2】某养殖户每年的养殖成本包括固定 成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万 元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长 ·7 件，求方程中字母系数k的值，求出飞值后必须 代入b2一4ac中检验，看k的取值是否使方程有 实根 与一元二次方程 的百分率为x (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本 为 万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为 7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分 率x 解：(1)2.6(1+x)2. (2)由题意，得4十2.6(1+x)2=7.146, 解得：x=0.1,x2=一2.1（不合题意，舍去）. 答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%. 【规律与方法】解此类问题需牢记公式 a(1十x)2=b或a(1-x)2=b.解答此类问题所 列的方程，一般用直接开平方法求解.注意增长 率不能为负数，降低率不能大于1. 第2课时图形问题 【基础导学】 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问 题的关键是将不规则图形分割成或组合成规则 图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面 积、体积公式找等量关系列出方程. 【典例探究】 ★考点：图形的面积问题 【例】如图，在宽为20m,长为32m的矩 形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余 下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m, 求道路的宽.（部分参考数据：322=1024,52=(20-x)·(32-x)=540,解得x1=50,x2=2. 2704,482=2304) 当x1=50时，道路的宽度超过了图中矩形地面 的长32m,也超过了宽20m,显然不合题意，应 舍去.当x2=2时，道路的宽度小于图中矩形地 面的长32m,也小于宽20m,符合题意，所以此 答图 道路的宽为2m. 解析：通过平移，三段水平的道路长之和恰 【规律与方法】(1)解与几何图形有关的实 等于所给矩形的长，两段竖直的道路长之和恰等 际问题时，结合几何图形的大小（如矩形的长或 于所给矩形的宽，于是得到答图，其空白处的矩 宽、圆的半径等)，可决定对方程解的取舍； 形面积即为种植草坪的面积， (2)对于较复杂的图形，可通过平移、旋转、 解：设道路的宽为xm,根据题意可列方程 割补等方法将复杂问题简单化. 章末复习 【体系构建】 元二次方程的解（根） 元二次方程的一般形式：y=ax2+bx十c(a≠0) 元二次方程 元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数 的最高次数是2（二次）的方程 △=b2一4ac>0,方程有两个不等的实数根 元二次方程根的判别式△=b一4αc=0,方程有两个相等的实数根 △=b2一4ac<0,方程无实数根 直接开平方法 元 定义 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤 程 元二次方程的解法 公式法 求根公式：x=-b±y公-4ac(B-4ac≥0) 2a 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (定义 因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 元二次方程的根与系数的关系：+，=一 a12=C 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 元二次方程的应用 常见类型：平均变化率问题、几何图形面积问题、利润问题、数字问题 ·8· 【知识梳理】 1.一元二次方程的特点： 一般形式： .其中二次项系数是 ,一次项 系数是 ,常项数是 2.一元二次方程的解法： (1)直接开平方法：可解形如x2=p或(ax+ b)2=p的方程 (2)因式分解法：可解一边是0，另一边是两 个一次因式的积的方程 (3)配方法：将方程化为(x+p)2=q(q≥0) 的形式 (4)公式法：一元二次方程的求根公式是 【注意】解一元二次方程时，一般不使用配 方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握.解 元二次方程的一般顺序是： 3.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)根的 情况与根的判别式之间的关系： (1)△>0台方程 (2)△=0台方程 (3)△<0台方程 4.一元二次方程的根与系数的关系：设x1, x2是一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的两 根，则x1十x2= ,x1C2= 5.一元二次方程的应用：了解数学解题中的 方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想 基本问题有：增长率问题、传播问题、比赛场 数（握手）问题、面积问题等。 【典例精讲】 类型一：一元二次方程的概念 【例1】m为何值时，关于x的方程(m √2)xm-(m十3)x=4m是一元二次方程. 解：原方程是关于x的一元二次方程 m2=2, [m=士√2， 则 ,即 ,.m=-√2， m-√2≠0”m≠√2. .m=一√2时，原方程为一元二次方程 【规律与方法】一元二次方程为本章的一 个重要概念，包含三要素：一元，整式方程，化成 ax2十bx十c=0后a≠0，a,b,c为常数.考点为二 次项系数不为0且未知数的最高指数为2，它可 以综合平方数、绝对值，一元二次方程等知识. 类型二：一元二次方程的解 【例2】关于x的一元二次方程x2-5x+p 一2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是 解析：把x=1代入原方程得， 1-5+p2-2p+5=0,p2-2p+1=0, (p-1)2=0,得p=1. 【规律与方法】一元二次方程的解也叫一 元二次方程的根，它是研究方程的中心，是方程 中一个不可缺少的重要概念，常已知方程的一 根，求方程中字母的值，中考常出现在填空题与 选择题. 类型三：解一元二次方程 【例3】解下列一元二次方程： (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0: (2)5(x-3)2=x2-9; (3)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0. 解析：(1)方程左边可变形为[2(x-3)] [5(x-2)],因此可用平方差公式分解因式；也 可移项用直接开方法求解；(2)方程右边分解后 为(x-3)(x+3),与左边中的(x-3)2有公共的 因式，可移项提取公因式(x一3)后解题；(3)方程 的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为 (2x+1+2)2=0再求解. 答案1)=只=急(2)=3 9 2.3)x1=x2=2 【规律与方法】解一元二次方程时，一定要 先从整体上分析，看是否能提公因式或运用平方 差公式、完全平方公式等，选择适当的方法既快 捷又不易解错. 类型四：一元二次方程的根的判别式 【例4】若关于x的一元二次方程(k一2)x2 2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为 (D) A.k≥0 B.k≥0且k≠2 Ck≥是 D.k≥3号且k2 解析：由已知得 k-2≠0 (-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0' 解得：k≥且≠2.放选D 【规律与方法】一元二次方程的根的判别 式是确定方程根的情况的重要指标，也是使用公 式法的条件，它在求函数极值，证明不等式，判断 直角坐标系下二次函数与坐标轴有无交点等方 面有着不可或缺的作用，但使用的背景为一元二 次方程，中考常以选择题、填空题、解答题的形式 出现，务必掌握 类型五：一元二次方程的根与系数的关系 【例5】关于x的一元二次方程x2+2x+ 2m=0有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)若x1,x2是一元二次方程x2+2x+ 2m=0的两个根，且x12十x22=8,求m的值. 解：(1)因为一元二次方程x2十2x十2m=0 有两个不相等的实数根， 所以△=4-8m>0,解得：m<2 故m的取值范国为m<2: 1 (2)根据根与系数的关系得：1十x2=-2, x1x2=2m, .'02+x22=(+x2)2-212=4-4m=8, 所以m=一1 验证当m=-1时，△>0. 故m的值为m=一1. 【规律与方法】一元二次方程的根与系数 的关系是在一元二次方程有实数根的前提下研 究两根的和、积和系数的关系，在中考中，常与判 别式形影不离，以综合题出现. 类型六：整体思想在一元二次方程中的应用 【例6】阅读材料，回答问题. 问题：解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0. 小明将x2-1视为一个整体，然后设x2一1=y, 则(x2-1)2=y2,原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y=1,y2=4.当y=1时，x2-1=1,解得 x=士√2；当y=4时，x2-1=4,解得x=±√5. 综上所述，原方程的解为x1=√2，x2=一√2， x3=√5，x4=一√5.请你参考小明的思路解方程： x4-4x2-5=0. 解：设x2=t,x-4x2-5=0可化为t-4t- 5=0,则(t+1)(t-5)=0, 解得t1=-1,t2=5. 当t=一1时，方程x2=一1无解； 当t=5时，x2=5,解得x=±√5. 综上所述，原方程的根为)一5,2=√5. 类型七：数形结合思想在一元二次方程中的 应用 【例7】如图，四边形ABCD的 两条对角线AC,BD互相垂直，且 AC+BD=10.AC=x(0<x<5). (1)用含x的代数式表示 S四边形ABCD为 (2)当四边形ABCD的面积为8时，求AC, BD的长 解：(1)设AC,BD交于点O. .AC+BD=10,AC=x,..BD=10-x. .AC⊥BD, ∴S影m=Sar+SAW=2AC·B0+ 号AC·D0-号AC·BD=号(10-)- 号2+5z (2).四边形ABCD的面积为8， -名+5x=8,解得=2=8（不合 题意，舍去) .AC=2,BD=8.参考 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1.一整2 2.ax2+bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数) 3.左右两边未知数 25.2降次—一 解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 2.(1)Va-√a(2)-a+b-a-b (3)n-bn-b a a 3.降次 第2课时配方法 1.配方法 2.方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 常数项右移 方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式 开平方求解 25.2.2公式法 1.62-4ac b2-Aac 2.(1)两个不相等的实数根 (2)两个相等的实数根两个实数根(3)无实数根 3.x=一b±F-4a 2a 求根公式公式法 4.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (3)计算b2-4ac的值 (4)当b-4ac≥0时，用公式求出原方程的根 25.2.3因式分解法 1.一次式02.降次至少一个数为0 3.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.- aa 2.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥0 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时变化率问题 变化前的数变化后的数降低（或增长）的百分率 章末复习 知识梳理 1.只含有一个未知数未知数的最高次数是2 二次项系数不为0整式方程ax2十b.x十c=0(a≠0) ·5 答案 a bc 2.4x=-b±F=4ac(B-4ac≥0) 2a 直接开平方法→因式分解法→公式法 3.(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个相等的实数根(3)没有实数根 4.-bc aa 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 自变量二次项系数一次项系数常数项 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.(1)抛物线y(0,0)a>0上方a<0下方 (2)大小 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 第1课时二次函数y=a.x2+k的图象和性质 1.(1)kk>0k<0 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 1.(1)hlh>0h<0 章末复习 知识梳理 1.a.x2+bx+ca≠0 2.(1)抛物线 b 4ac-b2 (2)①向上向下越窄②y轴左右 ③原点正半轴负半轴④两个一个没有 3.y轴(0,0)y轴(0，k)x=h(h,k) 第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念 1.y=不等于零的一切实数 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.双曲线 第2课时反比例函数中的系数 1.(D1k1(2)21k y=kx+b 2. m y=T