15.3.1.1等腰三角形的性质-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质，涵盖定义及“等边对等角”“三线合一”核心知识点。通过剪纸、折纸活动导入，基于轴对称基础，引导学生从操作中发现重合线段与角，为后续几何证明搭建探究支架。 其亮点在于以动手操作驱动性质探究，通过作中线、高线等多种证法培养推理能力，结合爱晚亭、跷跷板等情境题发展几何直观与应用意识。帮助学生深化性质理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十五章 轴对称 15.3.1.1等腰三角形的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 15.3.1.1 等腰三角形的性质 专项练习 一、核心知识点梳理 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等腰三角形是典型的轴对称图形，具有独特的边角性质与三线合一性质，是本章几何计算与证明的核心重点。 等腰三角形两大核心性质：第一，等边对等角，即在等腰三角形中，相等的两条腰所对的底角相等。若AB=AC，则∠B=∠C，该性质是角度等量代换的重要依据。第二，三线合一，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这是等腰三角形最特殊的几何性质，可简化大量垂直、平分、角相等的证明过程。 补充结论：等腰三角形只有一条对称轴，即为底边的垂直平分线（顶角平分线、底边中线、底边高线所在直线）；等腰三角形的两个底角一定为锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角。 二、重难点与易错点总结 1. 等边对等角适用条件：仅适用于同一个三角形中，边长相等则对应角相等，不可跨三角形乱用。2. 三线合一易错范围：仅限顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的中线、高线不具备重合性质。3. 角度计算漏解：已知等腰三角形一个内角，未区分顶角、底角，容易遗漏答案。4. 概念混淆：任意等腰三角形只有一组相等底角，切勿默认所有角相等。5. 证明误区：直接使用三线合一跳过推导，缺少等腰前提导致扣分。 三、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 在△ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠C的度数为（） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 2. 等腰三角形“三线合一”不包含以下哪一条线段（） A. 顶角平分线 B. 底边上的高 C. 腰上的中线 D. 底边上的中线 3. 等腰三角形的对称轴是（） A. 底边的中线 B. 底边的高线 C. 顶角平分线 D. 底边垂直平分线 4. 已知等腰三角形一个内角为70°，则另两个角不可能是（） A. 70°、40° B. 55°、55° C. 70°、50° D. 以上都不对 5. 下列关于等腰三角形说法正确的是（） A. 所有内角都相等 B. 两腰相等，两底角相等 C. 有三条对称轴 D. 顶角一定是锐角 （二）填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形的两底角相等，这一性质简称为________。 7. 等腰三角形顶角平分线、________、________互相重合。 8. 若等腰三角形顶角为80°，则它的底角度数为________。 9. 等腰三角形的对称轴是________所在直线。 10. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，则BD为等腰三角形________上的高。 （三）解答证明题（共60分） 11.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B、∠C的度数。 12.（20分）已知：AB=AC，AD是△ABC的顶角平分线。求证：AD⊥BC，BD=CD。 13.（20分）已知等腰三角形一个内角为100°，求其余两个内角的度数。 四、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（AB=AC，等边对等角，∠B=∠C=50°）；2.C（三线合一仅限底边相关线段，腰上中线不满足）；3.D（对称轴是直线，其余选项均为线段）；4.C（分顶角70°、底角70°两种情况，无70°、50°组合）；5.B（等腰三角形基本性质，两腰相等、两底角相等）。 填空题答案：6.等边对等角；7.底边上的中线、底边上的高；8.50°；9.底边垂直平分线；10.腰。 解答题解析： 11. 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵三角形内角和为180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°−40°)÷2=70°。 12. 证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一性质，可得AD既是底边BC的中线，也是底边BC的高，∴AD⊥BC，BD=CD。 13. 解：∵等腰三角形底角必为锐角，100°为钝角，只能是顶角。∴剩余两个底角相等，度数为(180°−100°)÷2=40°，即其余两角均为40°。 本节是等腰三角形整章的基础核心，重点掌握“等边对等角”和“三线合一”两大性质，熟练解决角度计算、线段相等、垂直关系证明等基础题型。做题需优先判断边角对应关系，区分底边与腰、顶角与底角，规避角度漏解、乱用三线合一等易错问题，为后续等边三角形、几何综合证明筑牢基础。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形，培养学生的动手能力. 通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用 情境导入 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？ 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 我们今天来探讨一下等腰三角形的性质. 情境导入 探究点：等腰三角形的性质 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中 AB ＝AC ，所以△ABC 是等腰三角形. 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？ 探究新知 操作2：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段： AB 和 AC 重合的角： ∠BAD =∠CAD ∠ B =∠ C ∠ADB =∠ADC AD 和 AD BD 和 CD 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 思考：在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？ 既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高. 猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想. (1) 等腰三角形的两个底角相等. (2) 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 操作3： 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把 它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？ 成立. 思考：如何证明你的猜想呢？ 探究点：等腰三角形的性质 A B D C 3 3 沿折痕重合 探究新知 1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若 ，则 的顶角度数是( ) C A. B. C. 或 D. 以上都不正确 （第2题） 2. 如图，，在上截取 ，连 接，当 时， 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第3题） 3. 如图①是 两名同学玩跷跷板的场景，如 图②是跷跷板示意图，支柱 与地面垂直，是 的中 B A. B. C. D. 点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则 跷跷板上下可转动的最大角度 是( ) 返回 举一反三 10 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = ∠C. 分析： 构造两个全等三角形 证明角相等 1.作底边上的中线 2.作底边上的高线 3.作顶角的角平分线 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 作底边 BC 的中线 AD. AB = AC (已知)， BD = CD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∵ AD⊥BC， 方法2：作底边上的高线. ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC (已知)， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD (公共边)， ∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线， 方法3：作顶角的角平分线 AD. ∴∠B＝∠C. ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BAD＝∠CAD. 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角______ (简写成“等边对等角”). 相等 几何语言： ∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ ____=____(等角对等边). ∠B ∠C 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. ∠A+∠ABC+∠C = x + 2x + 2x =180°. 解得 x = 36°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) . 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而 ∠ABC = ∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 所以，在△ABC 中∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 分析： 假设任意一种线段为已知条件 证明三线合一 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∴AD⊥BC. ∵∠ADB + ∠ADC = 180°， ∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC. ∴△BAD≌△CAD (SSS). 证明：∵在△ABD 和△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， BD＝CD (已知)， 这三条线是否在 任意边上都重合？ 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 举一反三 19 （第4题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 返回 举一反三 20 等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________ (简写成“三线合一”，注意：腰上的高 相互重合 和中线与底角的平分线不具有这一性质.). 你能翻译成几何语言吗？ 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 三线合一 (1)∵△ABC是等腰三角形， BD = CD (已知)∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD (等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 例2 如图，在△ABC 中， AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE 和∠1 的度数. 解： ∵AB = AC， ∠C = 70°， ∴ ∠ABC = ∠C = 70°. ∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC，即∠AEB = 90°. ∴ ∠BAE = 90°-∠ABE = 20°. ∵ ∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠CBF =∠ABC = 35° . 由三角形外角的性质可知， ∠1 = ∠AEB +∠CBF = 90°+ 35° = 125°. 探究点：等腰三角形的性质 探究新知 5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ， ，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于 点，连接，则____ . 30 （第5题） 返回 举一反三 24 6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是 “倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___. 6 举一反三 25 【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或 .若，则 的三边长分别是6，6， 3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则 ，则的三边长分别是， ，3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 的长是6. 返回 举一反三 26 等腰三角形的_________________ _____________________________简称“________” 定义 等腰三角形 等腰三角形是___对称图形 性质 有_________的三角形 等腰三角形的两个底角_____简称“___________” 两边相等 相等 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 轴 三线合一 等边对等角 课堂小结 谢谢观看 THANKS $