2.5 指数与指数函数 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课标要求覆盖指数幂运算性质、指数函数概念及单调性等核心考点，通过知识筛查系统梳理根式定义、分数指数幂意义等基础内容，能力形成点归纳化简求值、图象应用、性质应用等常考题型，精准对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导+素养培养”，如指数幂化简中化负指数为正指数、化根式为分数幂的实用方法，指数函数图象交点问题运用数形结合思想，培养学生数学思维与数学语言表达能力。含易错点分析和高考真题变式训练，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

2.5　指数与指数函数 第二章 2027 课标要求 1.通过对有理数指数幂 (a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 备考指导 指数函数是最重要的基本初等函数之一,也是高考的重点.备考时要注意指数函数的图象和性质的应用,尤其是其单调性的应用.解决指数函数的相关题目,要重视分类讨论思想和数形结合思想的应用. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 3.分数指数幂的意义 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 5.指数函数 (1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)指数函数的图象和性质 问题思考 幂函数与指数函数有何区别? 幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;而指数函数形式为y=ax(a>0,且a≠1),其自变量x处于指数位置,常数a处于底数位置,且a须满足大于0且不等于1. 指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大. 【知识巩固】 × × × √ × 2.已知当x<0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(1,2) C.(1,+∞) D.(-∞,1) A 3.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与 的图象之间的关系是(　　) A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 A 4.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为　　　　　.  (2,3) ∵f(x)=(a-2)x为减函数, ∴0<a-2<1,即2<a<3. 16 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 指数幂的化简与求值 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得指数幂的运算 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 化简与求值: 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 指数函数的图象及应用 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是　　　　　. [-1,1] 曲线|y|=2x+1与直线y=b的大致图象如图所示.由图可知,若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　　.  方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y=|ax-1|的图象与直线y=2a有两个不同的交点. 当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即 当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求. 图① 图② 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸 将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为　　　　　.  (0,1) 作出曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.   由图象可得b的取值范围是(0,1). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点: (1,a),(0,1),. 2.对与指数函数有关的函数图象进行研究时,通常可借助对应指数函数的基本图象,通过平移、对称等图象变换来推导其图象. 3.求解一些与指数有关的方程、不等式问题,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练2 (1)函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　) D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) A 指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)若方程|3x-1|=k有一解,则实数k的取值范围为　　　　　　　　　. {0}∪[1,+∞) 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 指数函数的性质及其应用 命题角度1 比较指数式的大小 例3　设y1=40.9,y2=80.48, ,则(　　) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 D 因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增, 所以y1>y3>y2. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度2 解简单的指数方程或指数不等式 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度3 指数函数性质的综合应用 例5　已知函数 (a>0,且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围. 解 (1)函数定义域为R,关于原点对称. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)当a>1时,a2-1>0,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数. 当0<a<1时,a2-1<0,y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,从而y=ax-a-x在R上为减函数,故f(x)在R上为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在R上为增函数. (3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增. 故要使f(x)≥b在区间[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1, 故b的取值范围是(-∞,-1]. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,先构造同一指数函数,再比较大小;当指数相同,底数不同时,先构造同一幂函数,再比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较. 2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数的取值范围,并在必要时进行分类讨论. 3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调性、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练4 (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求实数a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 指数型复合函数的性质 能力形成点1　指数型复合函数的定义域和值域 命题角度1 形如y=af(x)的函数的定义域和值域问题 典例1　求下列函数的定义域和值域: 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.求形如y=af(x)的函数的定义域,就是求函数f(x)的定义域. 2.求形如y=af(x)的函数的值域,可先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论. 能力形成点1 能力形成点2 命题角度2 形如y=f(ax)的函数的定义域和值域问题 典例2　求函数 的定义域和值域. 解题心得求形如y=f(ax)的函数的值域,可先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2　指数型复合函数的奇偶性 典例3　已知函数 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)判断f(x)的单调性,并用定义证明; 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 本 课 结 束 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果 xn=a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)根式:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. 2.根式的性质(n>1,且n∈N*) (1)n为奇数时,=a. (2)n为偶数时,= |a| = (3)= 0 . (4)负数没有偶次方根. 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定(a>0,m,n∈N*,且n>1) 负分数 指数幂 规定(a>0,m,n∈N*,且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图象 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 在R上单调递减 在R上单调递增 函数 值的变 化规律 当x=0时, y=1 当x<0时, y>1 ; 当x>0时, 0<y<1 当x<0时, 0<y<1; 当x>0时, y>1 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)=π-4.(　　) (2)与()n都等于a(n∈N*).(　　) (3)(-1=(-1.(　　) (4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(　　) (5)若am>an,则m>n.(　　) 由题意可得0<2a-1<1,解得<a<1,故选A. y= ∵y==2-x, ∴其图象与函数y=2x的图象关于y轴对称. 5.计算:-(π-1)0-=　　　　　.  原式=-1-+6-1-+(43+16=16. 原式= 例1　化简与求值: (1)化简(x<0,y<0)得(　　) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y =(16x8y4 =[24(-x)8·(-y)4(-x(-y =2(-x)2(-y)=-2x2y. (2)=　　　　　.  (3)已知a+a-1=3(a>0),则=　　　　　.  由于a+a-1=3(a>0),则()2=a+a-1+2=5, 即,且a2+a-2=-2=7, 故 (1)(a>0,b>0); (2)若=3,求的值. 解 (1)原式===ab-1. (2)由=3,平方得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7. 再平方得x2+x-2+2=49,所以x2+x-2=47. 因为=()3-3()=27-9=18, 所以原式= 例2　(1)函数y=(a>1)的大致图象是(　　) y=由a>1和指数函数的图象特征可知选B. 0<a<; 所以0<a< 函数y=ax-的图象是由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到的,A项显然错误; 当a>1时,0<<1,平移距离小于1,所以B项错误;当0<a<1时,>1,平移距离大于1,所以C项错误.故选D. y3= y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5. 例4　已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为 　　　　　.  当a<1时,1-a>0,a-1<0,所以41-a=21,解得a=; 当a>1时,1-a<0,a-1>0,所以22a-1=4a-1,无解. 故a的值为 f(x)=(ax-a-x) 又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 所以f(x)min=f(-1)=(a-1-a)==-1. 对点训练3 (1)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a ∵-<-<0, =1,即a>b>1. 又=1,∴c<1,综上,c<b<a,故选D. (2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 当a<0时,不等式f(a)<1可化为-7<1, 即<8,即, 因为0<<1,所以a>-3,此时-3<a<0; 当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,即0≤a<1. 故a的取值范围是(-3,1),故选C. 已知函数f(x)=. 解 (1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,+∞)内单调递减, 而y=在R上单调递减, 所以f(x)在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(-2,+∞)内单调递增, 即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3, 所以g(x)应有最小值-1,因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1. (1)y=;　　(2)y=. 解: (1)∵y=,∴x2-2x≥0, ∴x≤0或x≥2. ∴该函数的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞). ∵≥0,∴≥30=1, 即y≥1,∴该函数的值域为[1,+∞). (2)∵y=,∴x-1≠0,∴x≠1, ∴该函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ∵=1+≠1, ∴≠2,且>0,即y>0,且y≠2, ∴该函数的值域为(0,2)∪(2,+∞). y= 解: ∵y=, ∴2x-1≥0,2x≥1=20,∴x≥0. ∴该函数的定义域为[0,+∞). ∵2x-1≥0, ∴y=≥0,即值域为[0,+∞). f(x)=. (3)解不等式f(f(x))+f<0. 解:(1)f(x)=,f(x)的定义域为R. ∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)在R上是减函数.证明如下: 设∀x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=. ∵x1<x2,∴, ∴>0,且(+1)(+1)>0, ∴>0, ∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上是减函数. (3)由f(f(x))+f<0,得f(f(x))<f. ∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)>-,∴>-,∴. ∴3x+1<28,∴3x<33,∴x<3, ∴原不等式的解集为(-∞,3). $