15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定，课堂导入从轴对称图形对称轴切入，承接上一节轴对称性质，通过操作探究（测量线上点到端点距离）和问题链构建学习支架，为后续几何作图与证明奠基。 其亮点在于情境导入联系实际（食堂位置问题）培养数学眼光，操作探究与逻辑推理结合（性质用SAS证明，判定用HL证明）发展数学思维，互逆命题辨析强化数学语言。结构化小结和分层练习帮助学生提升探究与推理能力，为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/29 15.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定 专项练习 一、核心知识点梳理 线段的垂直平分线是轴对称章节的核心重点，承接上一节轴对称性质，是后续几何作图、线段求值、等腰三角形证明的重要基础。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。该定理可直接证明两条线段相等，无需通过三角形全等推导，简化证明步骤。 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。利用此定理可判定点的位置、证明直线为线段的垂直平分线。综合可得：一条线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 二、重难点与易错点总结 1. 性质与判定区分：性质是“点在垂直平分线上→距离相等”；判定是“距离相等→点在垂直平分线上”，二者互为逆定理，做题需分清因果。2. 定理适用条件：性质必须满足点在线段垂直平分线上，判定必须满足点到线段两个端点距离相等。3. 易错误区：仅一个点到端点距离相等，只能说明该点在垂直平分线上，不能直接判定某条直线是垂直平分线。4. 几何结论：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等，是三角形外心。 三、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线上的点具有的特征是（） A. 到线段两端点距离相等 B. 到线段中点距离相等 C. 与线段构成直角 D. 平分线段所在直线 2. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=6，则PB的长为（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 3. 若PA=PB，则可以判定（） A. 点P一定是AB中点 B. 直线AB垂直平分OP C. 点P在线段AB的垂直平分线上 D. AB平分线段OP 4. 下列说法正确的是（） A. 到线段两端点距离相等的点一定在线段垂直平分线上 B. 线段垂直平分线是一条线段 C. 任意一点都能确定一条线段的垂直平分线 D. 距离相等的线段一定垂直 5. 三角形三边垂直平分线的交点特点是（） A. 到三边距离相等 B. 到三个顶点距离相等 C. 平分三角形内角 D. 垂直三角形各边 （二）填空题（每题4分，共20分） 6. 线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 7. 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。 8. 若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=5，则PB=________。 9. 线段的垂直平分线可以看作是所有________的点的集合。 10. 判定一个点在某线段垂直平分线上的依据是________。 （三）解答证明题（共60分） 11.（20分）已知：直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上。求证：PA=PB。 12.（20分）已知：点P在线段AB外，且PA=PB。求证：点P在AB的垂直平分线上。 13.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且DB=DC。求证：AD垂直平分BC。 四、参考答案与详细解析 选择题解析：1.A（线段垂直平分线性质定义）；2.B（垂直平分线上的点到两端点距离相等，故PB=PA=6）；3.C（符合垂直平分线判定定理）；4.A（判定定理标准表述，其余选项概念错误）；5.B（三角形三边垂直平分线交点为外心，到三顶点距离相等）。 填空题答案：6.两个端点；7.垂直平分线；8.5；9.到线段两个端点距离相等；10.该点到线段两个端点的距离相等。 解答题解析： 11. 证明：∵直线l垂直平分AB，∴l⊥AB，且l经过AB中点。根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，又∵点P在直线l上，∴PA=PB。 12. 证明：取AB中点O，连接PO。∵PA=PB，PO=PO，AO=BO，∴△PAO≌△PBO（SSS）。∴∠POA=∠POB=90°，即PO⊥AB。又∵O为AB中点，∴直线PO为AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上。 13. 证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上。两点确定一条直线，∴直线AD垂直平分线段BC。 本节重点掌握线段垂直平分线“性质+判定”正反两套定理，区分与角平分线定理的不同，熟练运用“距离相等”进行线段证明与角度推导。本节定理可简化大量全等证明步骤，是几何解题提速的关键，也是后续最短路径问题、等腰三角形计算证明的核心工具。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题 学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力. 了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 情境导入 在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 数学建模 分析： 先探究某点到一边 证明该点特殊位置 解决实际问题 探究新知 操作探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2， P3，···是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，···到点 A 与点 B 的距离. l A B P3 P1 P2 探究点一：线段的垂直平分线的性质 探究新知 问题1：观察量得的数据，你有什么发现？ 问题2：如果把问题 1 中的线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2 A 与 P2 B、线段 P3 A 与P3B ······都重合吗？它们都分别相等吗？ P1 A＝P1 B， P2 A＝P2 B， P3 A＝P3 B. 都重合，都分别相等. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 探究新知 【知识要点】 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = CB， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 探究新知 问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明. ∴ PA ＝PB. 证明： ∵ l ⊥ AB， ∴ ∠PCA ＝ ∠PCB. 又 AC ＝CB ，PC ＝PC ， ∴ △PCA≌△PCB(SAS). 如图，直线 l⊥AB ，垂足为 C ，AC ＝CB ，点 P 在 l 上．求证 PA ＝PB. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，连接 DC ，若 AB = 3.7 ，AC = 2.3 ，则△ADC 的周长是______. 解 ∵ DE 是 BC 的垂直平分线， ∴ BD = CD. 而 C△ADC = AD + CD + AC， ∴C△ADC = AD + BD + AC = AB + AC = 3.7 + 2.3 = 6. 6 探究点一：线段的垂直平分线的性质 探究新知 1. 如图，在四边形中，垂直平分 ， 垂足为 ，下列结论不一定成立的是( ) C A. B. 平分 C. D. 返回 举一反三 10 2. 下列说法中错误的个数是( ) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题. B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 返回 举一反三 11 思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线 段的垂直平分线上呢？ 探究：如图，PA ＝PB. 点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ A B P 探究点二：线段的垂直平分线的判定 探究新知 问题1：过点 P 的直线有无数条，如果我们要说明 点 P 在 AB 的垂直平分线上，我们可以先选定一条 怎样的直线进行说明？怎样说明？ 可以先过点 P 作一条与 AB 垂直的直线，再说明这 条直线平分线段 AB. 如图，先过点 P 作 PC⊥AB，垂 足为 C ， 再说明 AC ＝BC. A B P C 探究点二：线段的垂直平分线的判定 探究新知 问题2：如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 又 PC⊥AB， ∴ AC = BC． ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)． PA = PB，PC = PC， 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， 则∠PCA =∠PCB = 90°． A B P C 探究点二：线段的垂直平分线的判定 探究新知 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的___________上. 相等 垂直平分线 直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合. 几何表达： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 C 探究新知 例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下： 探究点二：线段的垂直平分线的判定 探究新知 总结 ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA = PB. 同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC. 三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 探究新知 3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他 们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为 三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的 位置是在三角形的( ) B A. 三边中线的交点处 B. 三边垂直平分线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三边上高的交点处 返回 举一反三 18 （第4题） 4. 如图，在中， ， 为内一点，过点的直线 分别交 ，于点，，若在 的垂直平 分线上，在 的垂直平分线上，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 举一反三 19 讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？ 探究点三：原命题和逆命题 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定. 探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 探究新知 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 互逆命题 不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系. 探究点三：原命题和逆命题 探究新知 例2 判断下列命题及其逆命题是否成立. （1）对顶角相等. （2）内错角相等，两直线平行. （3）若 a > b ，则 | a | > | b |. 总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理. 这两个定理叫作互逆定理. 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 原命题成立，逆命题成立 原命题成立，逆命题不成立 原命题不成立，逆命题不成立 探究点三：原命题和逆命题 探究新知 （第4题） 【点拨】 ， ， ， ， . 在的垂直平分线上，在 的垂直 平分线上，，， 举一反三 23 ， ， . （第4题） 返回 举一反三 （第5题） 5.母题教材P70习题 如图，在 中， 的垂直平分线交于点，若 的周 长为5，，则边 的长的取值范围为 ____________. 举一反三 25 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 互逆命题 题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题 课堂小结 谢谢观看 THANKS $