5.7 三角函数的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的应用，核心内容为建立y=A sin(ωx+φ)模型解决简谐运动、振动等实际问题，通过梳理知识基础、例题讲解衔接三角函数图象变换等前期知识，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于采用基础、中档、拔高分层训练，含思维导图和培优练习，结合摩天轮、潮汐等实例培养数学建模能力，体现用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题，助力学生提升运算与建模素养，教师可实现一体化教学提高效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 本节课引导学生认识三角函数是刻画周期现象的数学模型，能建立𝒚=𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙+𝝋),模型解决简谐运动、振动等实际问题，提升数学建模与运算能力，感受三角函数的应用价值 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括60张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数,（其中, ）中各 量的物理意义 1 简谐运动 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离 的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 ,表示，其中, . 4 2 简谐运动中各量的物理意义 振幅 振幅 是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 称为相位 初相 时的相位 称为初相 5 知识剖析 简记图象变换步骤 ①函数到 的图象变换称为相位变换． ②函数到 的图象变换称为周期变换． ③函数到 的图象变换称为振幅变换． 因此，函数到的图象的变换途径为相位变换 周期变换 振幅变换（或周期变换 相位变换 振幅变换）．#1.1.5 6 例1 函数 的振幅是___，周期是____，频率是___，初相是____，图 象最高点的坐标是_ ___________________. 6 【解析】由表达式知，振幅是6， ,, ,当 ,即 时，函数取得最大值6. 7 归纳总结 确定初相的注意点 注意：若或， 就不是初相！此时应先利用诱导公式将 的系数或三角 函数符号前的数化为正数，再确定初相. 8 知识点2 三角函数的简单应用 1 三角函数应用的步骤 9 2 三角函数的常见应用类型 （1）三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来 模拟这种运动状态. （2）三角函数在圆周运动问题中的应用. 物体的匀速圆周运动具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. （3）三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用 三角函数模型来解决这些问题. 10 图5.7-1 例2 有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移 单位：关于时间单位：的函数解析式是 ， ,函数图象如图5.7-1所示，求函数的解析式. 【解析】根据图象，知，，两点的距离刚好是 个周期， 所以,所以,则 . 因为当 时，函数取得最大值， 所以 , , 又,所以 . 又当时，，所以,则 . 所以函数的解析式为 . 11 方法帮丨解题突破 题型1 利用三角函数模型解决实际问题 类型1 已知三角函数模型 例3 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为 ，高潮时水 深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度单位：关于时间单位： 的函 数图象可以近似地看成函数的图象，其中 ， 且 时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( ) A A. B. C. D. 12 【解析】依题意得，解得又， .又 , , , ,, 该函数解析式可以是 . 13 解题通法 已知三角函数模型解决实际问题的思路 14 练变式1 [多选题,新情境·物理综合]从物理学知识可知，图5.7-2中弹簧振子中的小球 相对平衡位置的位移与时间单位： 的关系符合函数 ．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连 拍了20张照片第一张照片的拍摄时间为．已知连拍的间隔为 ,将照片按 拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完 全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为( ) 图5.7-2 BCD A.4 B.6 C.12 D.18 15 【解析】由题意可得， ， 则，所以 ， 又，所以当时， 取得最值． 代入 ， 可得，解得 ， ， 所以， ， 令，可得 ，， ， 则，，， ． 所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6，12，18． 16 类型2 由三角函数定义建立三角函数模型 例4 [新考法·数学建模](2026·四川省内江市期末)如图5.7-3所示，摩天轮是一种大型转 轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周 景色.已知某摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处 与地面的距离为20米，设有60个座 舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到 达最低处 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的 圆心为坐标原点，过圆心的水平线为 轴建立如图5.7-4所示的平面直角坐标系. 17 图5.7-3 图5.7-4 18 （1）试将游客甲离地面的距离（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间 （单位：分）的函数； 【解析】方法1：因为摩天轮是作匀速圆周运动的，故可设 ， 据题意有，（最高点距地面120米，即 ；最低点距地面20 米，即），又周期，所以 ， 由在最低点入舱得 ， 故 . 19 方法2：由题意知，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为 （弧度/分） （由匀速运行一周约需20分钟求得）的匀速圆周运动，设经过分钟后甲到达 ，则 以为始边，为终边的角的大小是 ， 因为圆的半径为50米，由三角函数定义知点的纵坐标为 ， 则其离地面的距离为（到地面的距离） （圆上一点 到的竖直距离） . 20 （2）若游客乙在甲后的5分钟也在点 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分 钟时甲、乙离地面的距离之差首次达到最大. 【解析】由（1）可知游客乙离地面的距离 ， 其中时间 表示游客甲坐上摩天轮的时间， 则甲、乙离地面的距离之差为 （辅助角公式的应用） ， 当，即 时，甲、乙离地面距离之差达到 最大，取，即得游客乙坐上摩天轮 （分钟）后（乙在甲后5分钟坐上 摩天轮，因此时间应为 ），甲、乙离地面的距离之差首次达到最大. 21 （1） 22 （2） 23 题型2 用拟合法建立三角函数模型 解题依据:数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析 式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚, ， 的具体含义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言（解析式）与图 形语言（函数图象）之间的相互转化. 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤: （1）根据原始数据绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出与其“最贴近”的曲线， 即拟合曲线；（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数表达式；（4）利用函 数表达式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 24 例5 ［教材改编P249 T3］下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：（时间精确 到0.1小时） 日期 日期位置序号 白昼时间 时 1月1日 1 5.6 2月28日 59 10.2 3月21日 80 12.4 4月27日 117 16.4 5月6日 126 17.3 6月21日 172 19.4 8月13日 225 16.4 9月20日 263 12.4 25 日期 日期位置序号 白昼时间 时 10月25日 298 8.5 12月21日 355 5.4 续表 图5.7-5 （1）以日期在365天中的位置序号 为横 坐标，白昼时间 为纵坐标，在给定坐标 系中画出这些数据的散点图;（如图5.7-5） 27 【解析】散点图如图5.7-6所示． 图5.7-6 28 （2）试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系; （注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算） 29 【解析】由图5.7-6知白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系近似为 . 由题意知函数的最大值为，最小值为 ， 即， . 由，得． 由，得． 又， . 当时， . 又 , . . 30 （3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时． 【解析】由,得 , , 即 , 又,,, . 该地大约有121天白昼时间大于15.9小时. 31 解题通法 用拟合法建立三角函数模型的流程 32 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 图5.7-1 1.如图5.7-1所示的是一个单摆，以平衡位置为始边、 为终边的 角与时间（单位： ）满足函数解析式 ,则当时，角 的大小及单摆的频率是 ( ) A A., B.2, C., D.2, 33 【解析】当时,,由函数解析式易知单摆的周期为 ,故单摆的 频率为 . 34 2.［教材改编P244 T2］ 将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方 放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位 置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是 简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间 （横坐标） 变化的情况．如图5.7-2（1），已知一根长为 的线一端固定，另一端悬一个漏斗， 漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位： ）的函数关系是 （如图5.7-2（2）），其中, ，则估计线的长度应 当是（精确到 ）( ) 35 图5.7-2 A. B. C. D. √ 【解析】由，得 ． 由函数的图象可知函数的周期为 , 所以，即 ． 37 3.(2026·陕西省汉中市模拟)随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种 鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3 500及以上的时间称为 鸟类繁育“旺季”．第个月，当地湖泊中各种鸟类的数量 可近似用函数 来表示，那么一年中是“旺季”的月份有( ) C A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】令 , 即得 , 解得, ， 解得, ， 结合且，可知当时，，即 可取6，7，8，9，10， 即一年中是“旺季”的月份有5个月. 38 图5.7-3 4.(2026·云南省玉溪第一中学开学考试) 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图5.7-3 所示的坐标系，设秒针针尖的位置为 .若初 始位置为，当秒针针尖从 （注:此时）开始走时，点的纵坐标 与时间 的函数解析式可以是 ( ) C A. B. C. D. 39 【解析】由题意知，函数的周期为，.（此时 的正负并不能 直接确定，需要进一步分析判断） 设函数解析式为 . 初始位置为， 当时，， , 可取， 函数解析式可以是 . 又由秒针顺时针转动可知，的值从开始要先逐渐减小，故 , 故选C． 40 图5.7-4 5.［多选题］ (2026·广东省佛山市月考)健康成年人的收缩压 和舒张压一般为和 .心脏跳动 时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩 压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 为标准值.记某人的血压满足函数式 BCD A. B.收缩压为 C.舒张压为 D.每分钟心跳80次 ，其中为血压（单位：），为时间（单位： ）， 其函数图象如图5.7-4所示，则下列说法正确的是( ) 41 【解析】由题图知，，所以，可得 ，故选项A 不正确；所以，由题图知 在一个周期内最大值为120，最 小值为70，所以收缩压为，舒张压为 ，故选项B，C正确；每分 钟心跳数为频率，故选项D正确.故选 . 42 图5.7-5 6.［教材改编P243问题2］ 电流强度（单位：A）随时间 （单位：）变化的函数 的图象如 图5.7-5所示，则当 时，电流强度是___A. 5 【解析】由题图可知，，，故 ，即 ， 故，当 时， ,即电流强度为 . 43 7.(2026·辽宁省沈阳市翔宇中学月考)已知某海滨浴场的海浪高度 （单位：米）是时 间（，单位：时）的函数，记作 ，下表是某日各时的浪高数据： 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 米 1.5 1 0.5 1 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，可近似地看成函数 . 44 （1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅 及函数表达式； 【答案】由表中数据知函数的最小正周期 , . 当时，,故 ①， 当时，,故 ②. 由①②得, , 函数表达式为 . 45 （2）根据规定，当海浪高度大于1米时浴场才可对冲浪爱好者开放，请依据（1）的 结论，判断一天内在8：00至20：00之间，有多长时间可供冲浪爱好者冲浪. 【答案】由题可知，当 时，浴场才可对冲浪爱好者开放， 由,得， ,即 ③. ，故可令③中的值分别为0，1，2，得或 或 . 故在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时可供冲浪爱好者冲浪. 46 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 8.(2026·山东省聊城市期末)某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻 （单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位： ）满足 .已知当 时，过山车到达第一个最高 点，当 时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面( ) C A. B. C. D. 47 【解析】因为当时，过山车到达第一个最高点，当 时，过山车到达第一 个最低点， 所以，则，则 ， 又 ,，则 , ， 因为，所以当时， ， 所以 ， 当时， . 即过山车启动时距地面 . 48 图5.7-6 9.［新情境·镇楼神器］ (2026·福建省厦门市 期末)阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果 的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大 厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”， 如图5.7-6（1）．由物理学知识可知，某阻 D A. B. C. D. 尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间 （单位：）的函数关系为 ，如图5.7-6（2）．若该 阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为， ， ，且， ，则在一个周期内阻尼器离开平衡 位置的位移大于 的总时间为( ) 49 【解析】，， 函数 的周期 ，在上时，的区间为(， )，区间长度 是周期的， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为 ,故选D． 50 10.［多选题］ (2026·四川省成都市郫都区第一中学质检)有一个大水库，假设水轮 半径为4米（如图5.7-7所示），水轮中心 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动 一圈，如果水轮上点从水中浮现时（图中 ）开始计时，则( ) ABD 图5.7-7 A.点 第一次达到最高点，需要20秒 B.当水轮转动155秒时，点 距离水面2米 C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点 距水面超过2米 D.点距离水面的高度（米）与 （秒）的函数解析式为 51 【解析】设点距离水面的高度（米）和 （秒）的函数解析式为 . 由题意，，，则解得 ,，则 ． 当时，，，则 ， 又， ，故D正确. 令，，得 秒，故A正确. 52 当秒时， （米），故B正确. ，则 ，解得 ，故有30秒的时间，点 距水面超过2米，故C错误．故选 ． 说明 针对C选项，因为水轮中心距水面2米，则在一个周期内，点 有半个周期的时间距 水面超过2米. 图5.7-8 11.近年来，某市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源， 因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本 地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图5.7 -8，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 ． 现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方 向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端 点在风车的最低点（此时离地面50米）．设点转动 （单位：秒）后离地面的距 离为（单位：米），则关于 的函数关系式为__________________________，叶片 旋转一圈内点 离地面的高度不低于70米的时长为___秒． 54 【解析】因为风车每6秒旋转一圈，则其每秒转动的角度为，经过 秒时，叶片 转过的圆心角为 , 此时离地面的高度为 , 故 ； 由，得 , 因为，所以，解得 , 所以叶片旋转一圈内点 离地面的高度不低于70米的时长为4秒． 55 12.(2026·上海市建平中学期末)某房间的室温（单位：摄氏度）与时间 （单位：小 时）的函数关系是,，其中, 是正实数．如果该房间 的最大温差为12摄氏度，则 的最大值为_____． 56 【解析】 , 其中，, . 因为，所以，所以的最小值为 ，最大值为1. 所以的最小值为，最大值为 . 所以该房间的最大温差为 ，所以 . 所以，当且仅当 时等号成立， 因为,是正实数，所以，即最大值为 . 57 13.某地区每年各个月份的月平均最高气温（单位： ）近似地满足周期性规律，因 此第个月的月平均最高气温可近似地用函数 来刻画， 其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和 是正整数， ， ． 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气 温为 ，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高 为 ． 58 （1）求 的解析式； 【答案】因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高， 所以最小正周期 ， 所以 ， 所以， ， 因为，所以 ， 因为1月份的月平均最高气温为，7月份的月平均最高气温为 ， 所以， ， 解得， ， 所以的解析式是，， 为正整数 （【易错点】注意结合实际，确定 的范围） 59 （2）某植物在月平均最高气温低于 的环境中才可生存，求一年中该植物在该 地区可生存的月份数． 【答案】因为，， 为正整数， 所以在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存， 且 ， ， 所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存， 又 ，所以该植物在11月份、12月份也可生存. 故一年中该植物在该地区可生存的月份数是5． 60 $