第4讲 代数式与求值 培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦代数式与求值核心知识点，系统覆盖数与图形规律的观察表示、直接及整体代入求值、程序流程图转化代数式等内容，构建从具体实例规律观察到代数式抽象构建，再到多情境求值应用的完整学习支架。 资料特色在于通过数与图形规律培养抽象能力（数学眼光），整体代入法发展推理意识（数学思维），程序流程图强化模型意识（数学语言）。如五边形图案、链条长度等实例结合变式训练，课中助力分层教学，课后帮助学生巩固查漏。

第4讲 代数式与求值 典 型 例 题 题型 用代数式表示数的规律 1 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 1 例 观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 1-1 变式变式 观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 1-2 变式变式 —观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 1-3 变式变式 观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 题型 用代数式表示图形的规律 2 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 2 例 如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个； (2)图案n中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个．（用含n的式子表示） 2-1 变式变式 共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 2-2 变式变式 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有_____个，六边形有_____个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 2-3 变式变式 实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 题型 已知字母的值，求代数式的值 3 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 3 例 运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 3-1 变式变式 求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 3-2 变式变式 已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 3-3 变式变式 已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 题型 已知式子的值，求代数式的值 4 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 4 例 在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 4-1 变式变式 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 4-2 变式变式 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 4-3 变式变式 在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 题型 程序流程图与代数式求值 5 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 5 例 如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 5-1 变式变式 如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 5-2 变式变式 有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 5-3 变式变式 有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 课 后 练 习 1 练 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2 练 如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 3 练 已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 4 练 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 5 练 如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 6 练 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 7 练 若，则代数式的值为 ． 8 练 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    9 练 已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 10 练 观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 11 练 按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 12 练 探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 13 练 当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 14 练 如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 15 练 若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 16 练 如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 17 练 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 18 练 日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 19 练 如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成． (1)按图示规律填表： 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 … (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 20 练 有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 21 练 【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 22 练 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 23 练 计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 24 练 【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 第4讲 代数式与求值 典 型 例 题 题型 用代数式表示数的规律 1 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 1 例 观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…，∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…，∴第n个数的分母为，∴第n个数是．故答案为：． 1-1 变式变式 观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和，故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：，第③行的第10个数是， 1-2 变式变式 —观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵=1−，=−，=−，……∴； （2）解：； （3）解：∵，，，…… ∴ ． 1-3 变式变式 观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）第①行数的第个数是：，故答案为； （2）由图中的数据可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是，故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令，∴解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 题型 用代数式表示图形的规律 2 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 2 例 如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题： (1)图案④中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个； (2)图案n中黑色五边形有_______个，白色五边形有_______个．（用含n的式子表示） 【答案】(1)4，13 (2)n， 【详解】（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为1，白色五边形的个数为4， 第2个图形中墨色五边形的个数为2，白色五边形的个数为， 第3个图形中墨色五边形的个数为3，白色五边形的个数为， ∴第4个图形中界色五边形的个数为4，白色五边形的个数为，故答案为：4，13； （2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为n，白色五边形的个数为， 故答案为：n，． 2-1 变式变式 共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)4节链条长______； (2)n节链条长______； (3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？ 【答案】(1)7.6 (2) (3) 【详解】（1）解：∵根据图形可得出：2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：，4节链条的长度为：，故答案为：； （2）解：由（1）可得n节链条长为：． 故答案为：； （3）解：因为自行车上的链条为环形，首尾环形相连，展直的长度减1个0.8，故这辆自行车链条的总长为． 2-2 变式变式 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有_____个，六边形有_____个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)12，5 (2)第n个图案中有三角形个，六边形有n个(3)不存在，见解析 【详解】（1）解：第1个图案中，三角形4个，六边形有1个， 第2个图案中，三角形6个，六边形有2个， 第3个图案中，三角形8个，六边形有3个， 第4个图案中，三角形10个，六边形有4个， 所以第5个图案中，三角形12个，六边形有5个， 故答案为：12，5； （2）解：由（1）总结规律可得，第n个图案中有三角形个，六边形有n个； （3）解：不存在，理由如下： 因为当时，三角形个，六边形有40个，而， 所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与40个六边形． 2-3 变式变式 实践探究： 学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： (1)当有7张桌子时，第一种方式能坐________人，第二种方式能坐_____人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你通过计算，选择以上一种合适的方式来摆放餐桌． 【答案】(1)30；18 (2)； (3)选择第一种方式 【详解】（1）解：当有7张桌子时，第一种摆放方式能坐(人)， 第二种摆放方式能坐(人)．故答案为：30；18； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是人； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即人． 故答案为：；； （3）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐(人)； 第二种方式：60张桌子一共可以坐(人)； ∵， ∴选择第一种方式． 题型 已知字母的值，求代数式的值 3 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 3 例 运算能力  当，时，求各代数式的值． (1)； (2) 【答案】(1)64 (2)64 【详解】（1）解：当，时，． （2）解：当，时，． 3-1 变式变式 求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)25 (2) 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当，． 3-2 变式变式 已知有理数x，y满足． (1)求x与y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)x的值为，y的值为 (2)10或6 【详解】（1）解：∵，∴，． 答：x的值为，y的值为． （2）∵，∴，，∴，或，∴或6． 3-3 变式变式 已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求 (1)直接写出，， x的值． (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， 所以，，，所以； （2）解：因为，所以， 所以． 题型 已知式子的值，求代数式的值 4 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 4 例 在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，则________； (2)当，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【详解】（1）解：∵， ∴．故答案为：1． （2）解：∵，∴，∴． 4-1 变式变式 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)51 (3)32 【详解】（1）解：由，移项得． 将代入，得： 故答案为：2026； （2）解：已知，对代数式化简： 代入，得：； （3）解：已知 ①，②． 对①式变形得：③；对②式变形得：④ 将③④代入 ． 4-2 变式变式 数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)已知，求代数式的值； 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：， ∵，∴原式． 4-3 变式变式 在某次作业中有这样的一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?”，小明是这样来解的： 原式，把式子两边同乘以2，得，仿照小明的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2024 (2)10 (3)5 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：， ∴； （3）解：，， ． 题型 程序流程图与代数式求值 5 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 5 例 如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由运算程序图可知输出的结果为：，故答案为：； （2）解：当时，． 5-1 变式变式 如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：当时，； 当，；当，； 当，；当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 5-2 变式变式 有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：；第二次输出的数是：；第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：；故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：；第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：；第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：；第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：；第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：；…， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2，所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1．故答案为：2，1． 5-3 变式变式 有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：，第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ，，， ，，， ，输出结果为：，故答案为：． 课 后 练 习 1 练 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：，…， 第个：，故选：B． 2 练 如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴． 3 练 已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：已知，，则，；且，或， 当时，，， 当，时，，故选：A． 4 练 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当输入2时，， 当输入时，， ∴输出的结果为， 故选：B． 5 练 如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为，第三个图形中三角形个数为，…， ∴第个图案中，三角形的个数为：．故选D． 6 练 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 【答案】A 【详解】由题知，第①个图案中有个花朵图案，第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案，…，第个图案中有个花朵图案， 当时，，故第100个图案中花朵图案的个数为302．故选：A． 7 练 若，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴,故答案为： 8 练 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【答案】 【详解】解：由，，， 得．故答案为：． 9 练 已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 【答案】11 【详解】解：，， 又，，，故答案为：11． 10 练 观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是， 第三行数据的第9个数是， ，故答案为：． 11 练 按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 【答案】 【详解】解：当输入的值为时，则，返回继续运算；，输出结果．故答案为： 12 练 探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 【答案】 【详解】解：（1）∵；；； ；∴；故答案为： （2）由（1）归纳可得：，故答案为：； 13 练 当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：解：当，时，． 14 练 如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为，故答案为：； （2）解：当时，． 15 练 若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，； （2）解：． 16 练 如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得阴影部分的面积为：； （2）解：将，代入上式，得， 所以剩下铁皮（阴影部分）的面积为． 17 练 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数，第3个数，…，故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：，第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：，第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为：． 18 练 日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍 (2)成立，理由见详解 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立；设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 19 练 如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成． (1)按图示规律填表： 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 … (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)填表见解析 (2) ( 3)6073根 【详解】（1）解：第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 … （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3，∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2024个图形需要的火柴棒根数为6073根． 20 练 有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得，∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，∴． 21 练 【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 【答案】（1）第n个图案中“★”有个，“▲”有个；（2）在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个；第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个；…… 第n个图案中“★”有个，“▲”有个； （2）第30个图案中，“★”的数量为；（个）， “▲”的数量为：（个），∴在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 22 练 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）解：∵，∴； （3）解：∵， ∴；故答案为：28； （4）解：当时，，∴， ∴当时，． 23 练 计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【详解】（1）解：将代入流程：，∴，∴， ∴，故答案为： （2）解：若输入的为时，，∵，∴， ∴，若输入的为时，， ∵，∴，故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，，同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 24 练 【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，，∴， 故答案为：； （2）①； ②； （3） ； （4）设，∴， ∴，∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $