第13讲 线段与角计算问题中的数学思想方法 同步培优讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦线段与角计算中的分类讨论、整体思想及从特殊到一般思想，先通过位置分类解决线段和角的多解问题，再用整体代换和特例归纳简化计算，构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合几何直观与逻辑推理，通过画图标注、分类讨论培养推理意识，从特殊例题到一般规律提升抽象能力，例题变式设计帮助学生用数学语言表达关系。课中辅助教师系统教学，课后练习助力学生查漏补缺，强化思想方法应用。

第13讲 线段与角计算问题中的数学思想方法 典 型 例 题 题型 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 一、解题方法总结（2点） 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。 1 例 已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为 1-1 变式变式 已知线段，点C在直线上，且，点D是的中点，则 ． 1-2 变式变式 已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 1-3 变式变式 已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于 ． 题型 分类讨论思想在角的计算中的应用 2 一、解题方法总结（2点） 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。 2 例 已知，，平分，平分，则 ． 2-1 变式变式 已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ． 2-2 变式变式 已知，平分平分，则的度数是 ． 2-3 变式变式 已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 题型 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 3 一、解题方法总结（2点） 1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结（2点） 1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。 2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。 3 例 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 3-1 变式变式 如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 3-2 变式变式 （1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 3-3 变式变式 如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 题型 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 4 一、解题方法总结（2点） 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结（2点） 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。 4 例 【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 4-1 变式变式 如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________； (2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由； (3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 4-2 变式变式 如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 4-3 变式变式 如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 课 后 练 习 1 练 已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 2 练 已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 3 练 若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 4 练 如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 5 练 已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 6 练 已知一条射线，若从点再引两条射线，使，，则的度数为 ． 7 练 定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 8 练 已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 9 练 学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 10 练 （1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 11 练 按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 12 练 数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，点D是的中点，．(注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作这条线段的中点) (1)若， ①点D表示的数为 ； ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，若，试求线段的长． 13 练 新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 14 练 综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 15 练 小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 第13讲 线段与角计算问题中的数学思想方法 典 型 例 题 题型 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 一、解题方法总结（2点） 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。 1 例 已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为 【答案】27或35 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】根据题意可分当点C在线段上和点C在线段外，且在点A的左边，然后根据线段的中点及线段的和差可进行求解． 本题主要考查线段的和差及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差及线段中点的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图， 线段，直线上有一点，且，， ∵为的中点，，； ②如图， 线段，直线上有一点，且，， ∵为的中点，，， 综上所述，的长为27或35．故答案为：27或35． 1-1 变式变式 已知线段，点C在直线上，且，点D是的中点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差计算，线段中点的性质，灵活运用数形结合思想、掌握线段中点的性质是解题的关键． 分当点C在线段上和点C在线段的反向延长线上两种情况，根据线段中点的定义、结合图形进行计算即可． 【详解】如图1，当点C在线段上时， ∵，，∴， ∵点D为线段的中点，∴∴； 如图2，当点C在线段的反向延长线上时， ∵，，∴，∵点D为线段的中点， ∴，∴，综上所述，或． 故答案为：或． 1-2 变式变式 已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】5或11 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算，掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分两种情况：（1）当点在线段上时，当点在线段的反向延长线上时，分别画出图形，结合图形利用线段和差求解即可． 【详解】解：（1）当点在线段上时， ，又，，点是线段的中点，； （2）当点在线段的反向延长线上时， ，又，，点是线段的中点，． 综上，的长为5或11．故答案为：5或11． 1-3 变式变式 已知三点在同一直线上，线段是线段的中点，且，则线段的长等于 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点运算以及线段的和差运算，分类讨论且结合图形进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵三点在同一直线上，线段是线段的中点， ∴∵，∴ 如图： ∴或故答案为：或 题型 分类讨论思想在角的计算中的应用 2 一、解题方法总结（2点） 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。 2 例 已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分，∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 2-1 变式变式 已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分当在外部时和当在内部时两种情况求解即可． 【详解】当在外部时，如图， ∵，，∴． ∵是的平分线，∴． 当在内部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 综上可知，的度数为或． 2-2 变式变式 已知，平分平分，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，根据题意画出满足条件的两种情况即可求解． 【详解】解：如图所示：第一种情况如下图 ∵， ∴ ∵平分平分， ∴ ∴ 第二种情况如图 此时， 故答案为：或 2-3 变式变式 已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【详解】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合的度数可求解． 【解答】解：当射线在的内部时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线上方时，如图， ∵射线平分，平分，∴， ∵，∴； 当射线在的外部且在射线下方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ， ， ，； 综上，的度数为或，故答案为：或． 题型 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 3 一、解题方法总结（2点） 1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结（2点） 1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。 2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。 3 例 A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，，所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，，∴ ，∵，∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：；综上：． 3-1 变式变式 如图，已知点在线段上，点分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若点为线段上任一点，其它条件不变，你能猜想线段与的数量关系吗？并说明你的理由； (3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，你上述猜想的结论是否仍然成立？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据“点M、N分别是的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； （2）当C为线段上一点，且M，N分别是的中点，可表示线段、的长度，再利用，则； （3）点C在的延长线上时，根据M、N分别为的中点，即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点，∴， ∵，点N是的中点，∴，∴， ∴线段的长度为5； （2）解：．理由如下： ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∴； （3）解：成立，理由如下： 当点C在线段的延长线时，如图： 则， ∵M是的中点，∴，∵点N是的中点，∴， ∴． 3-2 变式变式 （1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求： ①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度； ②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由． （2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值． 【答案】（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2） 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算： （1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解； ②根据线段中点的定义，可得，即可求解； （2） 根据线段中点的定义，可得，再由， 可得，即可求解． 【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点，，， ∴，，； ②的长度不会发生变化，理由： 点、分别是线段、的中点，，， ∴，，； （2）点是线段的中点，， ，，∴， ，． 3-3 变式变式 如图（1），已知点C在线段上，且． (1)若，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段 的长； (3)如图（2），若点C为线段延长线上任意一点，其他条件不变，且满足，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可； （3）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：解：∵，， ∴． 题型 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 4 一、解题方法总结（2点） 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结（2点） 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。 4 例 【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，∴， 又∵，∴； （2）由（1）得，，， ．故答案为：； （3）．理由如下: ∵，∴， ∵平分，∴， 又∵，∴， ∴； （4）∵平分， 又∵，． 4-1 变式变式 如图所示，已知平分平分． (1)如图， ___________； (2)将绕O点向下旋转，使，其他条件不变，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，请说明理由； (3)若，仍然分别作的平分线，，能否求出的度数？若能，求的度数；若不能，试说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的以求出与的度数，然后相减即可求出的度数； （2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出与的度数，然后相减即可得到的度数； （3）根据前两题的求解思路把具体数据换为、，然后整理即可得出规律． 本题考查了角的计算，角平分线的定义，读懂题意，看懂题目图形找准解题思路是解题的关键，此类题目通常都是各小题都用同一个解题思路，所以准确确定思路比较关键． 【详解】（1）解： ，，， 平分，平分，， ，； （2）解：能．过程如下： ，，， 、分别平分，，， ， ； （3）解：能．过程如下： ，，， 、分别平分，， ，， ，即 4-2 变式变式 如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义 （1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果； （2）分析与（1）相同； （3）分析与（1）相同； （4）设，（为锐角），余下与（1）相同． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴；故答案为：． （2）解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴；故答案为：． （3）解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴； 故答案为：． （4）解：设，（为锐角），∴， ∵平分，平分，∴，， ∴． 4-3 变式变式 如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，∴，又∵平分， ∴， ∵且，∴，即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，，∴， 又∵平分，∴， ∵，，，即， 故． 课 后 练 习 1 练 已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别计算线段的长度． 【详解】解：当点在线段上时， ∵ ，，∴ ； 当点在线段的延长线上时， ∵ ，，∴ ． 综上，线段的长为或．故选：． 2 练 已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ；∴度数是或． 故选：B． 3 练 若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，结合题意分情况求解是解题的关键．分靠近和靠近两种情况，结合线段中点定义求解即可． 【详解】解：点是线段中点， ， 点、点是线段上的三等分点，分靠近和靠近两种情况， 当靠近时，如图，， ，， ， 当靠近时，如图，，则， ，， ，故的长为或． 故选：D ． 4 练 如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时，，，解得：； ③当时，，，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 5 练 已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵，∴点A在线段上，∴， 故答案为：或． 6 练 已知一条射线，若从点再引两条射线，使，，则的度数为 ． 【答案】108°或12° 【分析】此题考查了角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 若从点再引两条射线和，首先弄清有两种情况，即或，这样就可根据已知条件求出的度数． 【详解】解：有两种情况： 第一种情况：如图①所示：； 第二种情况：如图②所示：或； 故答案为：或． 7 练 定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 8 练 已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由，，则， ∵此方程有无数多个解，∴，，解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵，∴，∵， ∴，解得：， ∵平分，∴，∴； ②在外部， ∴，∵，∴， 解得：，∵平分，∴， ∴．故答案为： 或． 9 练 学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据线段的中点求出和长，根据即可求出答案； （2）根据线段的中点求出和长，即可求出答案； 【详解】解：（1）∵，，∴∵点是线段的中点， ∴∵，点是线段的中点．∴ ∴ （2）∵，，∴∵点是线段的中点，∴ ∵，点是线段的中点．∴ ∴ 10 练 （1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （2）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （3）分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；根据线段的和差以及与线段中点有关的计算方法计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵射线平分，平分，∴，， ∴； （2）∵，，∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图，当点在点的左边时， ， ∵线段，，∴， ∵点M，N分别为，的中点，∴，， ∴； 如图，当点在点的右边时， ， ∵线段，，∴， ∵点M，N分别为，的中点，∴，， ∴； 综上所述，的长为． 11 练 按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案； ②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案； ③设，根据②的方法求解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点，∴， ∵点D、E分别是和的中点，∴， ∴； ②∵，，∴， 点D、E分别是和的中点，∴， ∴． ③设，∵，，∴， 点D、E分别是和的中点，∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 12 练 数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，点D是的中点，．(注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作这条线段的中点) (1)若， ①点D表示的数为 ； ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，若，试求线段的长． 【答案】(1)①；②4； (2)3 【分析】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）①利用数轴上的点对应的数字和线段中点的定义解答即可；②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到的值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①，．，， ∴点C对应的数字为4，∵点D是的中点，， 设点D表示的数为x，，．∴点D表示的数为．故答案为：； ②设运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为，点F对应的数字为， ∵点M是的中点，N是的中点， ∴点M对应的数字为，点N对应的数字为， ，∴．解得：或，，； （2）解：设点C对应的数字为c，点D对应的数为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，， ．∵点D是的中点，， ， ， ，∴，解得：．． 13 练 新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”，， ，，， ，故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ，当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”，，， 解得：，； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”，， ，解得：，； 综上所述，的度数为或； 解：，当时，射线与重合， 当时，，， 平分，， 与互为“满分角”，， ,解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ，当时，射线恰好与重合， ，当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时，则有，解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时，则有，解得：； 当和互为“满分角”时，则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时，则有，解得：； 当和互为“满分角”时，则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时，则有，解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 14 练 综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】 （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分． ①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】 （2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】 （3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析 （2） （3）或者 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． （1）①先求出，根据角平分线定义得出，，再根据，求出结果即可； ②先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可得出答案； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，，求出得出． （3）分两种情况：①当∠APB在∠CPD内转动时；②当∠APB在∠CPD外转动时，分别求解即可． 【详解】解：（1）①，，， 平分，平分，，， 当时，， 则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，，， 平分，平分，，， ， ； （2）当在内转动时，，，， 平分，平分，，， ，． （3）分两种情况：①当在内转动时；由（2）可知：； ②当在外转动时，如图3， ∵，，， 平分，平分，，， ， ． ． 15 练 小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出， 即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴， 又，∴，故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又，∴，故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∴， 又，∴，故答案为：； ②∵平分，平分，∴，， ∴， 又，∴，故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又，∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $