河南省叶县高级中学2026-2027学年高二上学期开学摸底考试数学试题

**基本信息** 以开学摸底为定位，融合文化传承（《九章算术》阳马问题）、数据处理（分层抽样与频率分布直方图）及空间几何应用（正方体线面关系），注重数学眼光观察与思维推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量投影、异面直线所成角|基础巩固，如第2题结合阳马情境考空间角| |多选|3/18|空间线面关系、圆的方程|能力提升，如第9题辨析线面位置关系| |填空|3/15|复数、独立事件概率|简洁应用，如第13题对立与独立事件计算| |解答|5/77|解三角形、统计（分层抽样）、立体几何|综合创新，如17题正方体中探究线面垂直与线面角，16题分层抽样与方差计算培养数据意识|

河南省叶县高中2026-2027学年高二上学期开学摸底考试 数学试题（考试范围：人教A版必修二和选择性必修一前两章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知向量a'6满足a=1,3r6=2,1则a在6上的投影向量为（） A. B.-2,3 C.2,1 D.-1,3 2.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马 P-ABCD中，若PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2CD=2,则异面直线PC与BD所成角的余弦值为 () B c.5 2V5 5 5 D. 3.样本数据2.9,3.5,3.8,4.0,4.2,4.5,4.8,5.0的60%分位数为() A.4.0 B.4.1 C.4.2 D.4.5 4.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球 的概率为() 4 B. 5 c.3 D. 5 5.已知经过点A1,2,4的平面c的法向量为n=1,-1,1,则点B-2,3,2到平面@的距离为() 试卷第1页（共3页） A.2 B.3 c.3V2 D.2V3 6.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1,∠ABB1=120°， ∠ABC=∠B,BC=90。,则直线AC,与直线B,C所成角的余弦值为（) A -- 分 2 2 A.8 B.6 2 C.4 、2 D.2 7.点AX1,y,与点Bx,y,是直线1：X-2y+2=0上的两个不同的点，则yY=（） X1-X2 B.、1 C.1 D.-1 2 8.已知圆0：X+y2=16'AX,yBx,y,是圆0上的两个动点，且XX+yy2=8:则 AB·Aò=（) A.4 B.8V3 C.16 D.8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知m,n是两条不同的直线，c,B,Y是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若a阝，mcc,ncB,则m,n是异面直线 B.若a∥β，m⊥a,n/B,则m⊥n C.若a⊥B,a⊥Y,则B与Y可能相交 D.若a⊥B,mca,则m⊥B 10.己知圆O:x+y=1,则下列说法正确的有() A.圆o在点A-3,4处的切线方程为3X-4y+5=0 5’5 B.直线y=x-1与圆O相切 试卷第2页（共3页） C.直线x=- 藏圆0所得的弦长为的 D.圆C:(x-3+y-42=8与圆o外离 11.若a,b,c是空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是() A.a+b,b+c,a+c B.a+b,a-b,2c C.a+c,a+b,b-c D.2a,b+c,a+b 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在平行四边形ABCD中，A,B,C三点对应的复数分别是1+2i,2-i,3+i,则点D对应的复数是 13.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若PA=0.6,PC=0.7,则PBC= 14.已知两平行直线l1,12的方向向量的坐标分别为1,2，-3，-2，m,n,则m+n= 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本题满分13分)已知△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,,且asin A+C=bsinA. (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围. 16.（本题满分15分)用分层随机抽样从某地高一年级5200名学生的体育测试成绩（满分为100分）中抽取 一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为 6组：40,50，|50,60,60,70,70,80，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图 频率/组距 0.030- a 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩/分 (1)求a的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数： (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优 试卷第3页（共3页） 秀”人数： (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和194，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 73.5和109.求总样本的平均数和方差 17.(本题满分15分)如图，已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，E,F,G分别为A1D,AB, BC的中点，点H在棱AA1上，且AH=h(0<h≤2). D B A E入 D H G B (1)证明：DF⊥GH: (2)当GH1/平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值. 18.(本题满分17分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-2,1,边BC上的中线所在的直线方 程为2x-y-2=0,边BC上的高所在的直线方程为x-y-1=0. (1)求边AB所在直线的一般式方程： (2)求△ABC的面积， 19.（本题满分17分)已知圆C:x2+y-8x-6y+21=0, (1)若直线：y=2x-1与圆C相交于A,B两点，求AB: (2)自点P-6,7发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C,求入射光线所在的直 线方程。 试卷第4页（共3页） 河南省叶县高中2026-2027学年高二上学期开学摸底考试 数学试题 （考试范围：人教A版必修二和选择性必修一前两章） 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 则，， 所以在上的投影向量为. 2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面垂直的性质、余弦定理及勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．样本数据的60%分位数为（   ） A．4.0 B．4.1 C．4.2 D．4.5 【答案】C 【详解】将这组数据升序排列为：. 因，则60%分位数为第个数. 4．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第二次取到红球，可分为两种情况：第一次取到红球、第二次再取到红球；或第一次取到绿球、第二次取到红球.利用分步概率相加即可. 【详解】设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则. 因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，. 故. 【点睛】求“不放回抽取”中的某一步事件概率时，可按前一步分类讨论，也可利用对称性：第二次取到红球的概率等于总体中红球所占比例. 5．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 6．如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 设 ， 由知： ，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以 为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为 轴建立空间直角坐标系， 又， 可得 ，，，，， 则 ， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与 所成角的余弦值为 . 7．点与点是直线上的两个不同的点，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以， 故选：A． 8．已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（   ） A．4 B． C．16 D．8 【答案】D 【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可. 【详解】因为，是圆上的两个动点， 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若，，，则，是异面直线 B．若，，，则 C．若，，则与可能相交 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系，及面面平行、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，可得，异面或平行，错误； 对于B，因为，， 所以，又，所以，正确； 对于C，由，，可得与相交或平行，正确； 对于D，由，，可得或相交或，错误. 10．已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 11．若是空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量共面定理及基底的定义逐项判断即可. 【详解】对于 A ，假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面，可以作为空间一组基底，A 正确； 对于 B， 假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底，B正确； 对于C， ，共面，不能作为空间一组基底， C 错误； 对于D，假设 共面，则可设 ， 方程组无解, 不共面，可以作为空间一组基底， D 正确； 故选：ABD 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12．在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______. 【答案】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分，可得，从而. 【详解】由题意，，，. 因为四边形为平行四边形，所以，即. 代入得，故点D对应的复数为. 【点睛】本题考查复数与平面向量的对应关系，解决平行四边形中的复数问题，可把复数看成点的坐标，利用进行计算. 13．已知随机事件与对立，与相互独立，若，则__________. 【答案】 【分析】先根据对立事件的概率公式求出，再结合相互独立事件的概率乘法公式计算； 【详解】因为随机事件与对立，根据对立事件的概率性质，得：， 因为与相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式，得： 故答案为：. 14．已知两平行直线的方向向量的坐标分别为，则______． 【答案】2 【详解】由直线，得，解得，所以． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.（本题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)    直接利用正弦定理边化角进行运算； (2)    运用正弦定理将面积转化成角的正切值，再根据锐角三角形求出角的范围，从而求出三角形面积的范围. 【详解】（1）因为，，所以， 即，根据正弦定理得，因为， ，所以，根据二倍角公式得，因为，，所以，即， . （2）因为，，所以面积， 根据正弦定理，代入得，又， 所以， 所以面积，因为，所以， 即，又为锐角三角形，所以，代入解得，，所以面积. 16.（本题满分15分）用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数； (2)若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和. 求总样本的平均数和方差. 【答案】(1)， (2)人 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及上四分位数的定义计算可得； （2）先计算样本中成绩“优秀”的频率，再估计总体中成绩“优秀”的频率，进而可得成绩优秀的人数. （3）直接根据分层抽样中，由各层的平均数及方差计算总体的平均数及方差可得. 【详解】（1）因为，所以. 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此上四分位数一定在内．设为，则，解得， 所以估计上四分位数约为. （2）样本中成绩不低于分的频率为，所以总体中成绩不低于分的频率为. 高一年级男生总人数为，所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：， 因此估计高一年级男生中成绩优秀人数为人. （3）因为男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为， 设总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为和． 17.（本题满分15分）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且． (1)证明：； (2)当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值． 【答案】(1) 连接AG，，． 在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以． 因为G，F分别是BC，AB的中点，所以， 即，进而. 因为，所以，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， . 设为平面CEF的法向量， 因为，， 所以令，则． 因为平面CEF，所以，解得， 所以． 设直线EH与平面CEF所成的角为θ， 则， 即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为． 18.（本题满分17分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案； （2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案. 【详解】（1）由题可得中线，与边上的高线均过A点， 则A点坐标满足：，解得. 又，则，从而AB方程为： （2）设，由题可得中点在上， 则.边与其高线垂直，斜率为1， 则.将两方程化简联立：，则. 从而，其中， 表示到BC距离，又BC 方程斜率为，BC方程为：， 则，. 19.（本题满分17分）已知圆． (1)若直线与圆C相交于A，B两点，求； (2)自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆化成标准方程为，圆心，半径， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则. （2）圆心关于轴的对称点， 又入射光线经过点，故入射光线的斜率为， 由点斜式得，即， 故入射光线所在的直线方程为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $