2.3 单摆(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中物理选择性必修第一册（教科版）

该高中物理课件围绕单摆展开，涵盖理想化模型条件、回复力来源、周期公式及类单摆问题，通过摆钟情境思辨导入，衔接简谐运动知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于注重模型建构与科学推理，如推导摆角很小时单摆做简谐运动，用控制变量法探究周期影响因素，结合摆钟走时等实例培养物理观念与科学探究能力。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

3.单摆 1.知道单摆是一种理想化模型，理解单摆模型的条件。 2.知道单摆回复力的来源，学会通过理论推导，证明摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 3.理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4.会处理“类单摆”问题。 知识点一　单摆及其运动规律 1.单摆的定义：忽略悬挂小球的细线　　　　的微小变化和　　　，且线长比球的　　　大得多的装置。 2.单摆的回复力 （1）单摆的回复力是由重力沿圆弧　　　　方向的分力G1=mgsin θ 提供的，如图所示。 （2）在偏角θ很小时（5°左右），sin θ≈tan θ≈，所以F=－mg=－kx，即摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　　　，因此单摆做　　　　　　。 知识点二　单摆的周期 1.探究单摆的周期与振幅、质量、摆长的关系 （1）探究方法：　　　　　法。 （2）探究结论：单摆振动的周期 ①与摆球质量无关，②与振幅无关，③与摆长有关，摆长越长，周期　　　　；摆长越短，周期　　　　。 2.单摆的周期公式 （1）伽利略发现了单摆运动的等时性。 （2）惠更斯研究单摆的振动，确定了单摆做简谐运动时的周期公式T=　　　　　　　　　　，并利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。 如图所示为样式（挂钟、座钟、落地钟）不同的摆钟。 （1）摆钟摆锤的振动可以看成单摆模型。（　　） （2）摆钟摆锤振动的回复力来源于重力和摆杆弹力的合力。（　　） （3）冬天走时准确的摆钟，到了炎热的夏天摆钟的走时会变慢。（　　） （4）如果将摆钟从上海移到北京其走时会变快。（　　） （5）如果将摆钟带到我国的“天和核心舱”中仍然可以使用。（　　） 要点一　单摆的回复力及其运动规律 1.单摆的受力分析：如图所示。 （1）摆球的受力：受细线的拉力和摆球的重力作用。 （2）向心力的来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。 （3）回复力的来源：重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ。 2.单摆做简谐运动的证明 单摆的回复力F=mgsin θ，在偏角很小时（θ为5°左右），sin θ≈tan θ≈，所以单摆的回复力为F=－x（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由于m、g、l对同一个单摆都有确定的数值，可以用一个常量k表示，由此知回复力可以写成F=－kx，故单摆做简谐运动。 3.单摆做简谐运动的规律 （1）单摆做简谐运动的位移—时间（x －t）图像是一条正弦（或余弦）曲线。 （2）单摆振动过程中各量的变化特点 位置或过程 位移、回复力、加速度 速度、动能 重力 势能 最高点 最大 零 最大 最低点 零 最大 最小 远离平衡 位置运动 越来 越大 越来 越小 越来 越大 靠近平衡 位置运动 越来 越小 越来 越大 越来 越小 〔多选〕如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是（　　） A．小球受重力、绳子拉力和回复力 B．小球所受合外力就是单摆的回复力 C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0 D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等 尝试解答 易错警示 单摆振动过程中回复力、向心力与合力的区别与联系 单摆振动中的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；单摆振动过程中，由于摆球的轨迹是圆弧，故还需要向心力。 （1）在最大位移处时，速度为零，向心力为零，此时合力等于回复力。 （2）在平衡位置处时，速度不为零，向心力也不为零，此时回复力为零，合力等于向心力。 （3）在其他位置时，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，绳子的拉力与重力沿着半径方向的分力的合力提供向心力。 1.〔多选〕关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球受到的回复力总是等于它的合力 C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零 D．摆球受的合力大小跟摆球对平衡位置的位移大小不成正比 2.（2025•四川省南充高级中学高二开学考试）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力 B．2.1 s末和2.9 s末，小球的势能和速度均相同 C．从t=1.5 s到t=2 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大 D．从t=1.5 s到t=2.5 s的过程中，摆球所受的回复力先增大后减小 要点二　单摆周期公式的理解及应用 1.对单摆周期公式T=2π 的理解 （1）T与摆长l和当地的重力加速度g有关。 （2）T与振幅和摆球质量无关，故T又叫单摆的固有周期。 （3）成立条件：摆角很小（摆角小于5°）。 2.对摆长l和重力加速度g的理解 （1）摆长l的确定： ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l=l′＋，l′为从悬点到摆球上端的摆线长度，d为摆球直径。 ②等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球球心的距离。 图a中，甲、乙在垂直纸面方向上小角度摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为 l甲=lsin θ＋； 图b中，如果乙在垂直纸面方向小角度摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；如果乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 （2）重力加速度g的变化 ①公式中的g由单摆所在的空间位置决定。 由G=g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2。 在地球表面某处，g应为当地的重力加速度。 ②g还由单摆系统的运动状态决定。 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′=g＋a。 类型一　单摆周期公式的理解及应用 〔多选〕甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。根据振动图像可以断定（　　） A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4 B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2 C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3 D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4 思路点拨　（1）由振动图像可知单摆振动的周期关系为T甲=T乙。 （2）甲、乙两单摆在不同地点摆动，g不同。 尝试解答 类型二　等效摆长问题 如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球（半径可忽略），下列说法正确的是（以下皆指摆动角度小于5°，重力加速度为g）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期T=2π B．让小球在垂直纸面内振动，周期T=2π C．让小球在纸面内振动，周期T=2π D．让小球在垂直纸面内振动，周期T=2π 尝试解答　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型三　等效重力加速度问题 〔多选〕如图所示，两个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为T1、T2，关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A．T1＞T2　 B．T1＜T2 C．T1=2π　 D．T2=2π 尝试解答　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 分析单摆周期问题的思路 （1）判断单摆的运动过程是否符合简谐运动的条件。 （2）运用T=2π 时，注意l和g是否发生变化，注意“等效摆长”“等效重力加速度”的确定。 （3）知道改变单摆振动周期的途径 ①改变单摆的摆长； ②改变单摆的重力加速度（改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重）。 （4）注意单摆振动周期与摆球的质量和振幅没有关系。 1.（2024•四川省成都市高一期末调研考试）如图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长即绳长 B．单摆从左侧最高点A运动到右侧最高点B的时间即为单摆的周期 C．适当增大摆角α（仍小于5°），其他条件不变，则单摆的周期不变 D．将此单摆从两极移到地球赤道，其他条件不变，则单摆的周期变小 2.如图所示，一根不可伸长的细绳下端拴一小钢球，上端系在位于光滑斜面O处的钉子上，小球处于静止状态，细绳与斜面平行。现使小球获得一平行于斜面底边的初速度，使小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°。已知斜面倾角为θ，悬点到小球球心的距离为L，重力加速度为g。则小球回到最低点所需的最短时间为（　　） A．π 　 B．π C．π 　 D．π 3.〔多选〕（2025•四川省眉山市仁寿县多校高二期中考试）如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′=，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是（　　） A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变 B．A和C两点在同一水平面上 C．周期T=2π D．周期T=π 要点三　“类单摆”模型 1.“类单摆”模型 有些物体的运动与单摆的运动规律类似，该类物体的运动称为“类单摆”模型。 2.“类单摆”实例 如图所示，为竖直面内的光滑小圆弧（半径为R），且≪R（或对应圆心角∠BOC很小），当小球在间运动时，小球受重力、轨道支持力作用，轨道支持力可以等效为单摆中的摆线拉力，故其运动为“类单摆”运动，等效摆长L效=R。 如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，其中甲从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦BD轨道从上端B（与圆心A等高）到达下端D，丙沿圆弧轨道从C点运动到D（圆弧CD远小于圆的半径），最后甲、乙、丙都到达竖直面内圆弧的最低点D。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（　　） A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点 B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点 C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点 D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点 思路点拨　由于“圆弧CD远小于圆的半径”，故“丙沿圆弧轨道从C点运动到D”做“类单摆”运动，时间t=。 尝试解答 规律方法 处理类单摆问题的思路 （1）确认符合“类单摆”模型的条件。 （2）确定等效摆长L效。 （3）确定等效重力加速度g效。 （4）利用公式T=2π或简谐运动规律分析求解有关问题。 1.（2025•四川省眉山市仁寿县多校高二期中考试）如图所示，一个光滑弧形凹槽半径为R，弧长为L（已知R≫L）。现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力 B．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力 C．小球做简谐运动的周期为2π D．小球运动到凹槽最低点时所受合力为零 2.如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球（均可视为质点）同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在圆槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是（　　） A．乙先到，然后甲到，丙最后到 B．丙先到，然后甲、乙同时到 C．丙先到，然后乙到，甲最后到 D．甲、乙、丙同时到 1.〔多选〕单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（　　） A．摆线质量不计 B．摆线不可伸缩 C．摆球的直径比摆线长度短得多 D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动 2.（2024•四川省宜宾市叙州区第一中学校高二期中考试）在盛沙的漏斗下面放一木板，让漏斗左右摆动起来，同时其中细沙匀速流出，经历一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，则沙堆的剖面应是下图中的（　　） 3.（2025•四川省内江市高中高二零模）如图所示，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为l，当地的重力加速度为g。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A．秒针的角速度是时针的360倍 B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 4.〔多选〕地球表面上甲、乙单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，地球上的自由落体加速度取10 m/s2，月球上的自由落体加速度取1.6 m/s2。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1 B．甲摆在月球上做简谐运动的周期为5 s C．甲摆振动的最大偏角约为2.3° D．从t=0开始，乙第一次到达右方最大位移时，甲到达平衡位置且向左运动 完成课后作业　第二章　3. 答案 3.单摆 【基础知识落实】 知识点一 1.长度　质量　直径　2.（1）切线　（2）正比　简谐运动 知识点二 1.（1）控制变量　（2）③越大　越小　2.（2）2π 情境思辨 （1）√　（2）×　（3）√　（4）√　（5）× 【核心要点突破】 要点一　 知识精研 【典例 1】　CD　小球只受两个力：重力、绳子拉力，A错误；单摆的回复力由重力沿运动方向的分力提供，B错误；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，D正确。 素养训练 1.AD　单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球做圆周运动，还需要向心力，方向指向悬点，即指向圆心；摆角很小时，摆球的回复力大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，但是摆球受的合力大小跟摆球对平衡位置的位移大小不成正比。故A、D正确，B、C错误。 2.C　小球所受重力沿切线方向的分力提供单摆做简谐运动的回复力，选项A错误；2.1 s末和2.9 s末，小球的势能相同，速度的大小相等，但方向相反，选项B错误；从t=1.5 s到t=2 s的过程中，摆球从负的最大位移处向平衡位置运动，设绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律可得T－mgcos θ=m，由于速度不断增大，θ不断减小，所受绳子拉力逐渐增大，选项C正确；摆球越靠近平衡位置，回复力越小，所以从t=1.5 s到t=2.5 s的过程中，摆球所受的回复力先减小后增大，选项D错误。 要点二　 知识精研 【典例 2】　BCD　根据图像可知，单摆振动的周期关系：T甲=T乙，所以周期之比为=，频率为周期的反比，所以频率之比为=，B、C正确；若甲、乙在同一地点，则重力加速度相同，根据周期公式T=2π 可得摆长之比为4∶9，A错误；若在不同地点，摆长相同，根据T=2π 得重力加速度之比为9∶4，D正确。 【典例 3】　A　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T=2π ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T′=2π ，A正确，B、C、D错误。 【典例 4】　AC　根据周期公式T=2π，可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图1中的周期T1=2π，题图2中的等效重力加速度为a2=g＋a，所以周期T2=2π，故T1＞T2，B、D错误，A、C正确。 素养训练 1.C　单摆的摆长为绳子长度与小球的半径之和，选项A错误；根据周期的定义可知单摆从左侧最高点A运动再回到左侧最高点A的时间即为单摆的周期，选项B错误；根据单摆周期公式T=2π可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角α无关，选项C正确；将此单摆从两极移到地球赤道，重力加速度变小，根据单摆周期公式T=2π，可知单摆的周期变大，选项D错误。 2.C　因为小球偏离平衡位置，最大偏角小于5°，小球的运动可以看作单摆，在等效重力作用下有mgsin θ=mg′，T=2π ，小球回到最低点所需的最短时间为t==π ，故选C。 3.BD　小球在运动过程中，摆线的拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故A、C两点在同一水平面上，但是小球经过B点时，单摆的摆长发生变化，摆角发生变化，故选项A错误，选项B正确；设小球从A到B的时间为t1=×2π=，小球从B到C的时间为t2=×2π=，则周期为T=2（t1＋t2）=π，故选项C错误，选项D正确。 要点三　 知识精研 【典例 5】　A　设圆的半径为r，小球甲从A到D的过程中做自由落体运动，所用时间t1=，由几何知识知∠ADB=θ=45°，弦BD长度为2rcos θ，小球乙从B到D的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，运动加速度为gcos θ，所用时间t2===2，丙沿圆弧轨道从C点到D的运动可以看成类单摆运动，周期T=2π，时间t3== 。故有t2＞t3＞t1，由此可知乙球最后到，甲球最先到，故A正确，B、C、D错误。 素养训练 1.B　小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力，选项A错误，选项B正确；小球做简谐运动时，弧形凹槽的半径相当于摆长，则其周期为2π，选项C错误；小球运动到凹槽最低点时所受合力提供其做圆周运动所需的向心力，合力不为零，选项D错误。 2.B　对于甲、乙两球，都做类单摆运动，其运动周期均为T=2π ，甲、乙两球第一次到达点O时运动了 T，则t1=t2== ，对于丙球，根据自由落体运动规律有R=g，解得t3=，故丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确。 【教学效果检测】 1.ABC　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度、不计质量，摆球只计质量、不计大小，且摆线不可伸缩。但把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小（θ≤5°）的情况下才能视单摆的运动为简谐运动。故A、B、C正确，D错误。 2.B　不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，到达最底端时运动速度最快，细沙漏到地面上的最少，在两端位置时，漏斗运动得最慢，细沙漏到地面上的最多，故选B。 3.B　秒针转动一周为60 s，时针转动一周为12小时=12×3 600秒；根据ω=可知，秒针的角速度是时针的720倍，选项A错误；若将摆钟移到月球上，重力加速度减小，根据T=2π可知，周期变大，则摆钟走得更慢，需要减小摆长，即需要把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟，选项B正确；摆锤在最低点时速度最大，但向心加速度不为零，即加速度不为零，选项C错误；若把摆钟置于加速上升的电梯中，等效加速度g等变大，则周期变小，摆钟走得更快，选项D错误。 4.BCD　由图像可知，甲、乙单摆的周期之比为 1∶2，根据 T=2π，可知l=T2，所以甲、乙两个单摆的摆长之比为1∶4，选项A错误； 根据 T=2π ，可知===，甲摆在月球上做简谐运动的周期为T甲月=×2 s=5 s选项B正确；甲摆摆长为l甲==×22 m≈1 m，振幅为A=4 cm则振动的最大偏角sin θ≈=0.04，即θ≈2.3°，选项C正确；从t=0开始，乙第一次到达右方最大位移时为t=1 s的时刻，此时甲到达平衡位置且向左运动，选项D正确。 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $