第一章 讲义 有理数 重点题型汇编（基础版）2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过表格对比与分层梳理构建有理数知识体系，涵盖正数负数、相反数、绝对值等23个知识点，用定义示例表明晰易混概念，框架图呈现运算逻辑，突出数轴与绝对值等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型-例题-变式”设计，如数轴动点问题（题型7）培养几何直观，绝对值最值（题型9）发展推理意识，实际应用（题型11）强化应用意识。变式题满足分层需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

1.1 有理数（举一反三）重点题型 题型汇总 【题型1 相反数的概念】 8 【题型2 有理数相关概念】 9 【题型3 结合数轴去绝对值】 9 【题型4 有理数比较大小】 10 【题型5 科学记数法】 10 【题型6 近似数的精确位数】 11 【题型7 数轴上的动点问题】 12 【题型8 材料阅读：进制数的转化】 13 【题型9 绝对值几何意义求最值】 14 【题型10 有理数的混合运算】 15 【题型11 有理数的实际应用】 16 一、知识点回顾 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 知识点9 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点10 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点11 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点12 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点13 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点14 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点15 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点16 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点17 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点18 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点19 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点20 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点23 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 2、 题型归纳 【题型1 相反数的概念】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（　　） A． B． C． D．2 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数－的相反数是（    ） A． －2021 B． C．± D．2021 【题型2 有理数相关概念】 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列语句正确的是（   ） A．倒数等于它本身的数只有 B．平方等于它本身的数只有 C．任何非零有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是 【变式2-1】（24-25七年级上·四川·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．绝对值等于本身的数只有1 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．有理数只包括整数和分数 D．倒数等于本身的数是和1 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列语句正确的是（   ） A．平方等于它本身的数只有1 B．任何数都有倒数 C．倒数等于本身的数是±1 D．绝对值等于它本身的数是0 【变式2-3】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．有理数a的倒数是 C．所有的有理数的绝对值都是非负数 D．若，则 【题型3 结合数轴去绝对值】 【例3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·北京东城·阶段检测）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级上·北京顺义·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【题型4 有理数比较大小】 【例4】25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“>”，“=”，“<”号）． 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：________（填“”“”或“=”）． 【变式4-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）用“＞”或“＜”填空：2_____3． 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：______． 【题型5 科学记数法】 【例5】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）地球距太阳约有149600000千米，数149600000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以亿元的国内票房正式收官，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）根据合肥轨道交通官方发布的数据，2025年12月31日合肥地铁线网客流量为315万人次．将315万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【题型6 近似数的精确位数】 【例6】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）近似数精确到_____ 位． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）汉语言文字博大精深，丰富细腻，易于表达．比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是秒．近似数精确的数位应为____________位． 【变式6-2】（15-16八年级上·江苏盐城·期中）地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确到_________位． 【变式6-3】（2020·福建泉州·模拟预测）某市今年参加中考的学生人数大约9.89×104人，这个近似数精确到________位． 【题型7 数轴上的动点问题】 【例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，点N到中点时，点M所对应的数为______． 【变式7-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是2，当点到点的距离是点到点距离的2倍，则点对应的数为________ 【变式7-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 【题型8 材料阅读：进制数的转化】 【例8】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 【变式8-1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 【变式8-2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）日常生活中用十进制表示数，如；计算机中采用的是二进制，如二进制数，表示十进制中的10．八进制数表示的是十进制中的________． 【题型9 绝对值几何意义求最值】 【例9】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则______； （2）求的最小值______．    【变式9-1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知表示数在数轴上所对应的点到原点的距离．数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，，在数轴上所对应的两点之间的距离为． （1）的最小值为________； （2）的最小值为________． 【题型10 有理数的混合运算】 【例10】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【变式10-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【变式10-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2) 【变式10-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2)． 【题型11 有理数的实际应用】 【例11】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）合肥市第四十五中学为了增强学生身体素质，增强校园体育文化氛围，举行了分钟单人跳绳比赛，若以个为基准，超过为正，不足为负，前名孩子的成绩记录如下： ，，，，，，，． (1)求第一名比第八名同学多跳了多少个？ (2)求这名孩子平均每个孩子每分钟跳多少个？ 【变式11-1】（25-26七年级上·福建南平·期中）刚刚升入初一，学习成绩优异但体育一般的王晴同学未雨绸缪，已经为将来的体育中考做起了准备.上周末她在家练习1分钟跳绳，以每分钟150下为基准，超过或不足的部分分别用正负数来表示，8次成绩（单位：下）分别是－10，－8，－5，－2，＋2，＋8，＋3，－4. （1）成绩最好的一次比最差的一次多跳多少下？ （2）求王晴这8次跳绳的平均成绩. 【变式11-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）七班派出名同学参加数学竞赛，老师以分为基准，把分数超过分的部分记为正数，不足部分记为负数．评分记录如下：，，，，，，，，，，，． 这名同学中最高分和最低分各是多少？ 超过基准分的和低于基准分的各有多少人？ 这十二名同学的平均成绩是多少？ 【变式11-3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）体育课上，6名学生进行引体向上测试，以1分钟做5个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，成绩如下表： 学生编号 A B C D E F 成绩／个 0 1 4 (1)这6名学生中，做得最多的学生比做得最少的学生多做几个引体向上？ (2)这6名学生平均每人做了多少个引体向上？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 有理数（举一反三）重点题型 题型汇总 【题型1 相反数的概念】 8 【题型2 有理数相关概念】 9 【题型3 结合数轴去绝对值】 11 【题型4 有理数比较大小】 13 【题型5 科学计数法】 15 【题型6 近似数的精确位数】 16 【题型7 数轴上的动点问题】 18 【题型8 材料阅读：进制数的转化】 21 【题型9 绝对值几何意义求最值】 23 【题型10 有理数的混合运算】 26 【题型11 有理数的实际应用】 28 一、知识点回顾 知识点1 正数和负数的概念 1. 正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2. 注意：0既不是正数，也不是负数． 3. 0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示． 知识点2 具有相反意义的量 1. 定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量． 2. 表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m． 知识点3 有理数 1. 定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数． 2. 有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 可以写成正分数形式的数 可以写成负分数形式的数 3. 各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 负整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 负分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 知识点4 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点5 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点6 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 知识点7 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 知识点8 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 知识点9 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点10 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点11 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点12 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 知识点13 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点14 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点15 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点16 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点17 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点18 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点19 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 知识点20 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 知识点23 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 2、 题型归纳 【题型1 相反数的概念】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【详解】解：的相反数是． 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握 “数的相反数是” 是解题的关键． 根据相反数的定义，求解即可． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）有理数－的相反数是（    ） A．－2021 B． C．± D．2021 【答案】B 【分析】直接利用相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，两个数的和等于零，那么这两数互为相反数． 【题型2 有理数相关概念】 【例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列语句正确的是（   ） A．倒数等于它本身的数只有 B．平方等于它本身的数只有 C．任何非零有理数都有倒数 D．绝对值最小的整数是 【答案】C 【分析】本题考查了倒数、平方和绝对值，根据倒数、平方和绝对值的意义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、倒数等于它本身的数是和，该选项说法错误，不符合题意； 、平方等于它本身的数是和，该选项说法错误，不符合题意； 、任何非零有理数都有倒数，该选项说法正确，符合题意； 、绝对值最小的整数是，该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2-1】（24-25七年级上·四川·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．绝对值等于本身的数只有1 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．有理数只包括整数和分数 D．倒数等于本身的数是和1 【答案】A 【分析】正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断A；根据乘方计算法则可判断B；根据有理数是分数和整数的统称可判断C；根据乘积为1的两个数互为倒数可判断D． 【详解】解：A、绝对值等于本身的数是正数和0，原说法错误，符合题意； B、平方后等于本身的数只有0，1，原说法正确，不符合题意； C、有理数只包括整数和分数，原说法正确，不符合题意； D、倒数等于本身的数是和1，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，倒数，绝对值和有理数的分类，熟知相关知识是解题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列语句正确的是（   ） A．平方等于它本身的数只有1 B．任何数都有倒数 C．倒数等于本身的数是±1 D．绝对值等于它本身的数是0 【答案】C 【分析】此题考查了平方，倒数，绝对值等知识．根据平方，倒数，绝对值的定义，判断各选项即可求解． 【详解】A、平方等于它本身的数有1和0，选项错误； B、0没有倒数，选项错误； C、倒数等于本身的数是， 选项正确； D、绝对值等于它本身的数是和正数，选项错误． 故选：C 【变式2-3】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．有理数a的倒数是 C．所有的有理数的绝对值都是非负数 D．若，则 【答案】B 【分析】根据有理数的概念，逐一判断即可． 【详解】解：：若，则，说法正确 ：0为有理数且没有倒数，有理数a的倒数是说法错误； ：所有的有理数的绝对值都是非负数，说法正确； ：若，则，说法正确； 故选： 【点睛】本题主要考查了有理数的知识点，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键． 【题型3 结合数轴去绝对值】 【例3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了借助数轴进行的相关运算，数形结合，得出相关基本结论，并明确有理数的运算法则，是解题的关键；观察数轴可得：，，据此及有理数的运算法则逐个分析即可． 【详解】解：∵由数轴可得： ， ∴，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质及数轴上点的表示，关键是根据绝对值的性质确定、的符号以及它们到原点的距离关系．首先，根据且，可判断出是负数，即在原点左侧；根据且，可判断出是正数，即在原点右侧；再由可知，到原点的距离大于到原点的距离，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即表示的点在原点左侧； ∵，且， ∴，即表示的点在原点右侧； 又∵， ∴表示的点到原点的距离大于表示的点到原点的距离． A、B选项中在原点左侧，与矛盾，错误； C选项中在原点左侧，在原点右侧，且到原点的距离大于到原点的距离，符合所有条件，正确； D选项中到原点的距离小于到原点的距离，与矛盾，错误． 故选：C． 【变式3-2】（23-24七年级上·北京东城·阶段检测）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据a、b在数轴上的位置可得到b为正数且离原点较远，a为负数且离原点比b离的要近． 【详解】解：A、和均为正数，但离原点要比离的远，所以，该选项结果正确，不符合题意； B、本身为负数，所以，本身为正数，所以，即，该选项结果正确，不符合题意； C、本身为负数，本身为正数，离原点要比离的远，所以，该选项结果错误，符合题意； D、本身为负数，本身为正数，所以，该选项结果正确，不符合题意； 故答案选：C． 【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小，利用数形结合判断出式子是否正确是解答本题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级上·北京顺义·期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的意义，由数轴可得，，再结合有理数的乘法法则、加法法则以及绝对值的意义逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，，故D正确； ∴，，，故ABC错误； 故选：D． 【题型4 有理数比较大小】 【例4】25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：______（填“>”，“=”，“<”号）． 【答案】< 【分析】该题考查了绝对值，有理数大小比较，先化简为，然后比较两个负数的大小，根据负数比较法则：绝对值大的反而小． 【详解】解：， ，， 所以， 因此， 故． 故答案为：<． 【变式4-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：________（填“”“”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据有理数的大小比较法则，绝对值大的负数反而小的原则进行比较即可． 【详解】解：，， ， ； 故答案为：． 【变式4-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）用“＞”或“＜”填空：2_____3． 【答案】> 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可. 【详解】∵|-2|=2，|-3|=3，2<3， ∴-2>-3， 故答案为>. 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小． 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较， 根据两个负数相比较绝对值大的反而小，可得答案． 【详解】解：由， 因为， 所以． 故答案为：． 【题型5 科学记数法】 【例5】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）地球距太阳约有149600000千米，数149600000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【变式5-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以亿元的国内票房正式收官，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得答案． 【详解】解：亿， 故选：D． 【变式5-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为(   ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：120亿个用科学记数法可表示为：个． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【变式5-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）根据合肥轨道交通官方发布的数据，2025年12月31日合肥地铁线网客流量为315万人次．将315万用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：315万. 故选：B. 【题型6 近似数的精确位数】 【例6】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）近似数精确到_____ 位． 【答案】万 【分析】本题考查了近似数与有效数字，“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：， ∴近似数精确到万位， 故答案为：万． 【变式6-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）汉语言文字博大精深，丰富细腻，易于表达．比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等，根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是秒．近似数精确的数位应为____________位． 【答案】千分 【分析】先将科学记数法的数化为一般的数，再根据近似数的定义分析即可． 【详解】解：，精确的数位为千分位， 故答案为：千分． 【点睛】本题考查指出一个近似数精确到哪一位．对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的精确度只看a中的最后一位数字，在还原的数字中所在的数位，就是它的精确度． 【变式6-2】（15-16八年级上·江苏盐城·期中）地球的半径约为6.4×103km，这个近似数精确到_________位． 【答案】百 【详解】∵近似数6.4×103=6400， ∴4在百位上，则近似数6.4×103精确到百位， 故答案为：百． 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位或精确到小数点后几位等说法． 【变式6-3】（2020·福建泉州·模拟预测）某市今年参加中考的学生人数大约9.89×104人，这个近似数精确到________位． 【答案】百 【分析】在标准形式a×10n中a的部分中，从左边第一个不为0的数字数起，共有3个有效数字是9，8，9，且其展开后可看出精确到的是百位． 【详解】解：9.89×104＝98900， ∴有3个有效数字：9，8，9，精确到百位， 故答案为：百． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 【题型7 数轴上的动点问题】 【例7】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，数轴上点，表示的数分别为和16，线段在数轴上的，两点之间运动．点是的中点，当线段的端点与点重合时，端点在数轴上对应的数是2，若，则点在数轴上对应的数是_____． 【答案】8或4 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．先求出线段的长，再根据点E在点C左边和右边的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵点A表示的数为，当线段的端点C与点A重合时，端点D在数轴上对应的数是2， ∴， 又∵， ∴分以下两种情况讨论： 当点E在点C左侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为8； 当点E在点C右侧时，如图所示， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点A表示的数为， 则， ∴点D在数轴上对应的数为4， 综上所述，点D在数轴上对应的数为8或4． 故答案为：8或4． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离为20，有一根木棒（M在N的左侧），当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为8，点N到中点时，点M所对应的数为______． 【答案】18或/或18 【分析】此题综合考查了数轴的有关内容，体现了数形结合思想．设的长度为m，当点N与点A重合时，此时点M对应的数为8，则点N对应的数为，即可求解；当点N与点M重合时，同理可得，点M对应的数为，即可求解． 【详解】解：设的长度为m， 若点N与点A重合，此时点M对应的数为8， 当点N到中点时，点N此时对应的数为：， 则点M对应的数为：； 当点N与点B重合时， 同理可得，点M对应的数为， 故答案为：18或． 【变式7-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动，木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为，数轴上定点对应的数是2，当点到点的距离是点到点距离的2倍，则点对应的数为________ 【答案】或 【分析】本题考查了数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，设点对应的数为，则点对应的数为，由点到点的距离是点到点距离的倍，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为， 根据题意得：， 解得：或． 故答案为：或． 【变式7-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，有一根木条（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A，B两点之间的距离是8，当点N移动到与点B重合时，点M恰好对应数轴上的数为2；当点N移动到与点A之间的距离为1时，点M所对应的数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，整式加减运算，理解的移动方向和距离相同是解题的关键．设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则，根据当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，得出木条的长度为，分两种情况：当N在点A右侧1个单位处时，当N在点A左侧1个单位处时，分别求出点M表示的数即可． 【详解】解：设数轴上 A、B 对应的数分别为 a、b，则， 当N与B重合时，N对应的数是b，M对应的数是2，因此木条的长度为， 当N在点A右侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 当N在点A左侧1个单位处时，N对应的数是，木条长度不变，则对应的数是： ； 综上，点M表示的数为或． 故答案为：或． 【题型8 材料阅读：进制数的转化】 【例8】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，约定逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数1010的简单写法．十进制数一般不标注基数，现在我们通常用的是十进制数．各进制数之间可以进行转换，如二进制数1010可以转换成与其相等的十进制数，转换过程如下：，十进制数19可以转换成与其相等的二进制数，转换过程如下：为二进制下的五位数（规定当时，）．根据以上材料解决如下问题： （1）七进制数转换成十进制数的值是___________； （2）十进制数1029是二进制下的多少位数？___________位数． 【答案】 66 11 【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法是解题的关键． （1）根据进制转换规则，将七进制数每位数字乘以7的相应幂次后求和； （2）找到使成立的最小正整数n，即为二进制位数． 【详解】解：（1）七进制数转换为十进制数的计算过程为： ． 故答案为：66． （2）计算2的幂次：，． 由于， 即， 因此十进制数1029在二进制下是11位数． 故答案为：11． 【变式8-1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，进制转换，将五进制数转换为十进制数，需根据位值原理，将每位数字乘以5的相应次幂后求和，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）日常生活中用十进制表示数，如；计算机中采用的是二进制，如二进制数，表示十进制中的10．八进制数表示的是十进制中的________． 【答案】115 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，将八进制数按权展开，计算各数位与对应幂次的乘积之和即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：115． 【题型9 绝对值几何意义求最值】 【例9】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则______； （2）求的最小值______．    【答案】 或5 6 【分析】本题考查绝对值几何意义的应用，涉及数轴性质、绝对值几何意义等知识，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的几何意义列式求解即可得到答案； （2）根据题意，由绝对值的几何意义理解最小值的含义，数形结合，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 或， 故答案为：或5； （2）由题意可知，可理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 可理解为与三数在数轴上所对应的距离之和， 与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是；与在数轴上的距离是； 当时，设与两数在数轴上的距离为，则与两数在数轴上的距离为，与1两数在数轴上的距离为，即与三数在数轴上所对应的距离之和； 同理可得： 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于； 当时，； 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和的范围大于且小于； 当时，与三数在数轴上所对应的距离之和； 综上所述，，即其最小值为， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 【答案】(1)5，1或； (2)4，2，5 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示求所对应的点到1和所对应的点的距离和， 表示求所对应的点到和4所对应的点的距离和，利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：表示所对应的点之间的距离， ∴， 表示所对应的点之间的距离为3， 或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作对应的点到1和对应的点的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，距离和最小为； 有最小值，最小值为4； 可以看作对应的点到和4所对应的点的距离和， 当时，距离和最小为； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知表示数在数轴上所对应的点到原点的距离．数，在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，，在数轴上所对应的两点之间的距离为． （1）的最小值为________； （2）的最小值为________． 【答案】 （1） （2） 【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，根据题意，分类讨论的取值，即可． 【详解】解：（1）∵数，在数轴上所对应的两点之间的距离为 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为； （2）当时，； 当时，， ∴； 当时，； ∴的最小值为． 故答案为：（1）；（2）． 【题型10 有理数的混合运算】 【例10】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序是解题关键． 先算乘方和括号内的减法，再算乘除，最后算加减，得出结果． 【详解】解：原式 ． 【变式10-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 52 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方、绝对值，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式10-2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减即可； （2）根据先乘方，再乘除，最后计算加减，有括号的先进行括号内计算的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式10-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，关键是严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行；有绝对值时先计算绝对值的结果． （1）先分别计算除法、绝对值和乘法，再进行加法运算； （2）先计算乘方，再从左到右依次计算乘除运算，最后进行减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型11 有理数的实际应用】 【例11】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）合肥市第四十五中学为了增强学生身体素质，增强校园体育文化氛围，举行了分钟单人跳绳比赛，若以个为基准，超过为正，不足为负，前名孩子的成绩记录如下： ，，，，，，，． (1)求第一名比第八名同学多跳了多少个？ (2)求这名孩子平均每个孩子每分钟跳多少个？ 【答案】(1)个 (2)个 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，理解基准数是解题关键． （1）先算出第一名和第八名的实际跳绳数，再相减得到两人的数量差； （2）先计算名孩子的跳绳成绩总和，再结合基准数求出总跳绳数，然后除以人数得到平均数． 【详解】（1）解：据题可知，第名的实际跳绳数为个，第名的实际跳绳数为个． 则第名比第名同学多跳了（个）． 答：个． （2）解：， 前名孩子的基准总个数为（个）， 则总跳绳数为（个）， 故名孩子平均跳绳数为（个）． 答：个． 【变式11-1】（25-26七年级上·福建南平·期中）刚刚升入初一，学习成绩优异但体育一般的王晴同学未雨绸缪，已经为将来的体育中考做起了准备.上周末她在家练习1分钟跳绳，以每分钟150下为基准，超过或不足的部分分别用正负数来表示，8次成绩（单位：下）分别是－10，－8，－5，－2，＋2，＋8，＋3，－4. （1）成绩最好的一次比最差的一次多跳多少下？ （2）求王晴这8次跳绳的平均成绩. 【答案】（1）18下；（2）148下. 【分析】（1）先比较超过或不足部分的数据，计算最大值与最小值的差即可； （2）先计算超过或不足部分的数据的平均成绩，再计算王晴的平均成绩 【详解】解：（1）最好的一次为+8，最差的一次为-10， 8-(-10)=18            答：成绩最好的一次比最差的一次多跳18下；    （2）－10+(－8)+(－5)+(－2)＋2＋8＋3+(－4)=－16 平均成绩为： 答：8次平均成绩为148下 【点睛】本题考查了正负数的应用，解决本题也可先计算出王晴八次跳绳的成绩，然后再求解． 【变式11-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）七班派出名同学参加数学竞赛，老师以分为基准，把分数超过分的部分记为正数，不足部分记为负数．评分记录如下：，，，，，，，，，，，． 这名同学中最高分和最低分各是多少？ 超过基准分的和低于基准分的各有多少人？ 这十二名同学的平均成绩是多少？ 【答案】（1）最高分是95，最低分是67； (2)超过基准分的有8个，低于基准分的有4个； (3) 78.5． 【分析】（1）根据题意得出：最高分用75+20，最低分用75-8即可； （2）超出基准分的为正数，数出正数的个数即可，低于基准分的为负数，数出负数的个数即可； （3）首先算出：+15，+20，-5，-4，-3，+4，+6，+2，+3，+5，+7，-8的平均分，再加上75即可． 【详解】这名同学中最高分是：， 最低分是：； 超过基准分的有个， 低于基准分的有个； ， ∴这十二名同学的平均成绩是：． 【点睛】本题考查的是正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握这几点的是解题的关键. 【变式11-3】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）体育课上，6名学生进行引体向上测试，以1分钟做5个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，成绩如下表： 学生编号 A B C D E F 成绩／个 0 1 4 (1)这6名学生中，做得最多的学生比做得最少的学生多做几个引体向上？ (2)这6名学生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)做得最多的同学比做得最少的同学多做了7个引体向上； (2)这6名学生平均做了5个引体向上． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）算出做引体向上最多的数减去做引体向上最少的数，即可作答． （3）先算出总的引体向上数量，再除以学生人数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（个）， ∴这6名学生中，做得最多的同学比做得最少的同学多做了7个引体向上； （2）解： （个）， 则（个）． ∴这6名学生平均做了5个引体向上． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $