湖南省G30联盟2026-2027学年高三8月第一次联考数学试题

数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.椭圆的离心率为 A. B. C. D. 2.设集合，，则 A. B. C. D. 3.已知向量，满足，，则 A. B. C. D. 4.下列表格记录的是2022年和2023年湖南部分城市常住人口的数据（单位：万人），则由表中数据可知，年度增量数据的40%分位数对应的城市为 城市 2023年常住人口 2022年常住人口 年度增量 长沙市 1051.31 1042.06 +9.25 湘潭市 270.12 270.27 -0.15 张家界市 149.69 150.40 -0.71 娄底市 374.32 376.01 -1.69 株洲市 385.20 387.11 -1.91 岳阳市 499.14 501.75 -2.61 常德市 518.68 521.30 -2.62 A.株洲市 B.岳阳市 C.娄底市 D.张家界市 5.若函数，则 A.的最大值为 B.的图象关于直线对称 C.在上单调递增 D.的图象关于点对称 6. A. B. C. D. 7.的最大值为 A. B. C. D. 8.在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若为上的奇函数，为上的偶函数，则 A. B. C. D. 10.在中，，，，为直线上一点，且，则 A.为钝角 B. C. D. 11.已知抛物线，，，，则 A.与的准线重合 B.由，，，的焦点构成的四边形的面积为4 C.同时与，，，相切的直线只有2条 D.，，，所围成封闭图形的面积大于5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将5个颜色互不相同的小球排成一排，则不同的排法数为 ▲ . 13.若直线与曲线恰有三个公共点，则= ▲ . 14.已知函数若，且，则的取值范围是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在等差数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记，证明：. 16.（15分） 如图，在三棱锥中，，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的体积. （3）求二面角的正弦值. 17.（15分） 已知双曲线的两个焦点为，，且的渐近线方程为. （1）若点在上，且，求； （2）设的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于点（异于），且关于的对称点为，若，求直线的斜率. 18.（17分） 已知函数，. （1）求在上的单调区间. （2）证明：在上存在最大值. （3）判断（2）中的是否也是在上的最大值，并说明你的理由. 19.（17分） 某判断规则基于次独立检测，每次检测成功的概率均为，其中，.若次检测中成功次数不小于，则判定为通过，否则判定为不通过.若一个具体的次检测结果满足：无论改变其中任意次检测结果，最终判定都不改变，则称这个检测结果是“稳定”的，其中. （1）当时，求一个随机检测结果是“稳定”的概率. （2）当时，记一个随机检测结果是“稳定”的概率为，证明：. （3）求一个随机检测结果是“稳定”的概率取得最小值时的（用含，的表达式表示）. 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 题号 12 9 10 11 12 13 14 答案 D 0 B B C B BC ABD ACD 120 (-o,-]u[号+o) 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分， 【3】第12题，其余答案均不得分 【第13题的答案还可以写为-号卖号 【6第14题的答案还可以写为a≤一号或e≥号 1.D【解析】本题考查椭圆的离心率，考查数学运算的核心素养， 后+号-1的离心率-高-3 2.D【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养， 因为M=(x|-2<x<2),所以MUN=(x|-5<x<2). 3.B【解析】本题考查平面向量的模与数量积，考查数学运算的核心素养. 因为a-b12+1a+b12=2(a2+b2)=13,所以a2+62=13 4.A【解析】本题考查统计中的百分位数，考查数据处理能力. 将这7个城市的年度增量（单位：万人）的数据按照从小到大的顺序排列为一2.62，一2.61， 一1.91，一1.69，一0.71，一0.15，十9.25.因为7×0.4=2.8，所以年度增量数据的40%分位 数为一1.91，对应的城市为株洲市. 5.B【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的 核心素养 因为f(x)=2sin(x+),所以f(x)的最大值为2，A错误. 由x∈(0,1)，得z+晋∈（答，），则了x)在0,1)上先增后减，C错误 因为f(-号)=2sim(-)=-2,(-3）=2sin(-）≠0，所以f(xr)的图象关于直线x 一 对称，不关于点（一3,0）对称，B正确，D错误， 6.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养. 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 因为（1+iD=2i,所以01+iD0=(2=32,所以1-iD-1+D”]-1=D1-32m=3 1-(1+i) 一i -31i. 7.C【解析】本题考查对数的运算与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 log:+log:y-loga (4)=log:y ty 2+计日-e(+y+号》因为+y+可2y+号>2眉=4g,当且 xy 仅当x=y=迈时，等号成立，所以1og(2+y+号)≥l0g:4E=log2-号， 所以-og:(x+y+号)≤-号故所求最大值为-一号 8.B【解析】本题考查正四棱柱与线面角，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养， 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D,中，因为E,F分别为棱AB,AB,的 D C 中点，所以EF∥AA1,又AA,⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD. B 连接CE,则直线CH与底面ABCD所成的角为∠HCE.在棱AA,上 取点K,使得A,K=GH,连接KH,则AH+A,G=AH+KH,A关 于EF的对称点为B,连接BH,则AH十KH=BH+KH.当B,H, D 3. K三点共线时，BH十KH取得最小值，此时HE=?,tan∠HCE= EH _3V5 CE √22+42 20,故当AH+A1G取得最小值时，直线CH与底面ABCD所成角的正 切位为源 9.BC 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 因为y=f(x)十x2为R上的奇函数，所以f(-x)+(-x)2=-C∫(x)十x2],所以f(x)十 f(-x)=一2x2,则f(0)十∫(0)=0，则f(0)=0,A借误，B正确.因为y=∫(x)一x3为R 上的偶函数，所以f(一x)-(-x)3=f(x)一x3,则f(x)一∫（一x)=2x3,D错误.又∫(1） +∫(-1)=-2，f(1)一f(-1)=2,所以f(1)=0,C正确 10,ABD【解析】本题考查解三角形，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 因为cos∠BAC=72十52-9 B 2X7X5<0,所以∠BAC为钝角，A正确 因为wB=7线-所以aB=个一五- 6,tan B =sinB_√征 cos B 5 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 所以AD=ABtan B=T厘 cosB=5,B正确，C错误. .BD-AB-42 sin∠ADC=sin(90°+B)=cosB=5 ,D正确 11.ACD【解析】本题考查直线与抛物线的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心 素养 C1与C2的准线均为直线x=0,A正确.C1,C2,C3,C,的焦点 分别为(2,0)，（一2,0），(0,2)，(0，一2)，四点构成一个正方形， 其面积为8，B错误.由对称性知，直线y=土x与四条抛物线均 相切，且C1,C2,C3,C:两两相切，则同时与C1,C2,C3,C:相切 的直线只有2条，C正确由2=40-1)，得y-子+1，则y =号则C在点(1，)处的切线为直线1：=方x+只，山与 直线y=1交于点P(分，1小.同理可得C,在点P(,1)处的切线为直线1：y=2x-, 3 1a与，交于点P,(号，)，与直线x=1交于点P,(1,),又点P,(1,1),则△P,P,P 的面积为2×(-2)×（号-1）=品，△P,P,P,的面积为号×（号-1）×(1-) 所以C,CC,C,所围成封闭图形的面积大于4X(倍+言+)=5，D正确， 12.120【解析】本题考查排列的实际应用，考查逻辑推理的核心素养与应用意识. 依题意可得不同的排法数为A=120. 18.±9 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 由(x2+y2-3)(x2+y2-6)=0,得x2+y2=3或x2+y2=6,所以曲线C是圆心均为坐标 原点，半径为和√6的两个圆，又直线y=kx十2过定点(0.2)，所以依题意可得直线y= kx十2与圆x2十y2=3相切，则 2 V+ =3,解得k=±】 14(-o,-]u[号，+o) 【解析】本题考查分段函数与导数的应用，考查逻辑推理、直观 想象及数学运算的核心素养】 当x≤0时，f(x)为增函数，当x>0时，f(x)也为增函数.因为x2= x1十a≠x1,所以a≠0，x2一x1=a, 若a>0,则x2>x1,因为∫(x1)=∫(x2),所以x1≤0，x2>0. 作出∫(x)的大致图象，如图所示，设A(x1y),B(x2y2)(x1≤0< 【高三数学·参考答案第3页（共9页）川 x,直线AB的方程为y=1u≤3)，则x1=,x:=,AB1=x&-x1=6-号3令 g0)=e-23≤3)则ge)=2-当<0时g)<0,当0<1≤3时，g'0> 0,则g)在(-9,0)上单调递减，在0,3]上单调递增，所以gm=g0)-号，则a≥号 若a<0,则：<1，同理可得a≤-号 综上a的取值范围是(-0，一]U[号，+∞)： 15.【解析】本题考查等差数列与裂项相消法求和，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， a1+d=9, (1)解：设等差数列(an)的公差为d,则 …2分 a1+8d=44, 解得 a1=4, 4分 d=5, 所以an=a1+(n-1)d=5n-1. 6分 2 (2)证明：6。=a1十a2十…十a。=5-1+5m-1m-5m+3… 8分 因为661=5+3n十-n写十 4 1 、…10分 所以6b2十b2b3+…十6bn+1= 4 5(5n+8) …12分 4 因为5(5m+8>0,所以b16:十beb,+…+b.b,+1<i0 …13分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样解答： 因为等差数列{a.}的公差d=0g二2=5,2分 9-2 所以an=a2十(n-2)d=5n-1.…6分 4 1 4 【21第(2)间中，未写“55m+8)>0,得到616：+b,6+…+6,6+1=055m十8”后，直 接得到b:b6g十6：6+十6.6+1<”，不扣分。 16.【解析】本题考查三棱锥的体积、面面垂直的证明与二面角，考查直观想象与数学运算的核心 素养 (1)证明：取AC的中点O,连接PO,BO, 由PC=PA=AB=BC,得PO⊥AC,BO⊥AC. 1分 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 因为AB⊥BC,所以AC=2,则AO=1,…2分 所以PO=BO=1,又PB=√2，所以PO+BO2=PB2,则PO⊥BO. 3分 因为BO∩AC=O,所以PO⊥平面ABC,… 4分C 又POC平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.…5分 1 1 (2)解：由(1)知PO⊥平面ABC,所以三棱锥P-ABC的体积V= 2X1X1=号 …7分 (3)解：以O为坐标原点，OB,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如 图所示，…8分 则B(1,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),…9分 则PA=(0,1,-1),BA=(-1,1,0).… 10分 设平面PAB的法向量为n=(xy,z),则n·PA=y-:=0,n·BA=-x十y=0, …11分 令x=1,得n=(1,1,1).… 12分 易知m=(1,0,0)是平面PAC的一个法向量. 13分 设二面角B-PA-C的平面角为0，则1cos01=--写 1mln5-3' …14分 sn0一故二面角BPA-C的正弦值为 15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写“BO∩AC=O”,扣1分，未写“POC平面PAC”,扣1分 【2】第(2)问中，三棱锥P-ABC的体积还可以这样计算： V=sr·P0=专××w2X1=号 31 7分 【3】第(3)问中，平面PAB的法向量不唯一，只要所求法向量是与n=(1, 1,1)共线的非零向量即可.另外，第(3)问还可以这样解答： 取PA的中点Q,连接BQ,OQ.… 8分 因为△BPA为等边三角形，所以BQLPA,且BQ= 2 …9分 在△POA中，PO=0A=1,则OQ1PA,且OQ= …10分 2 易知∠BQO是二面角B-PA-C的平面角. 11分 因为OB=1,所以cos∠BQ0= BQ2+0Q2-0B2_5 13分 2BQ·OQ 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 故二面角B-PAC的正弦值为，1-()-写 …15分 17.【解析】本题考查直线与双曲线，考查逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养， 解：(1)由C的焦点为F1(一√5,0)，F2(5,0),得c=√5，… …1分 由C的蒲近线方程为)=士分x,得-分，即Q=26, 2分 又c2=a2十b2,a>0,所以a=2,b=1. …4分 因为1|PF1|-1PF21川=2a=4,|PF11=2,所以|2-|PF2|1=4,…5分 所以川PF2|=6.… 6分 (2)由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),设l:y=k(x-2).…7分 写C的右支交于两点，得k>, 8分 设B(x1,y1),D(x2y2). 将y=k6x-2)代人号-y2=1,得(1-42)x2+16x-(16+40=0, 9分 由韦达定理得2，=162+ 4k2-1 ,则x,=2(462+1) 4k2-1 ,…10分 4k 则y1=k(x1一2)= 4k2-1 …11分 因为B关于A,的对称点为D,所以x2=4一x,=2462二32 4k 4h-y=-y1=一46= …12分 所以1A,D1=z4+2y+y=16166156+-(45) (4k2-1)2 …13分 整理得6461-95k2+31=0,即(k2-1)(642-31)=0,解得k2=1或k= 64, …14分 又k>2,所以=士1或=士，即直线1的斜率为士1或士 8 8 …15分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样解答： Va2+b=5, 依题意可得b一1 …2分 a-2, 解得a2=4,b2=1.… 4分 因为l川PF|-|PF2l|=2a=4,|PF,|=2,所以|2-|PFz|=4,…5分 所以|PF2|=6. 6分 【2】第(2)问还可以这样解答： 设B(x1,y1),D(x2,y2),l:x=my十2(m≠0).… …7分 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 由1与C的右支交于两点，得|>号，则m<2 …8分 将x=my+2代人号-2=1，得(m-42+y=0, …9分 m二4，即y=,4m 由韦达定理得0十y1=一4” 4-m2' 10分 则x1=my1十2=m· 0+2-2at 4-m2 …11分 因为B关于A:的对称点为D所以4=4一二=-= 4-m,…12分 4m 则|A,D12=(x2+2)2+y=（ 4w+2)+ 8-6m2 16m2_16(4m'-15m2+16）_ (4-m2)2 (4-m2)2 (5). …13分 整理得31m-95m2+64=0,即(m2-1(31m2-64)=0,解得m2=1或m2=-4 1' 00… …14分 又0<m<2,所以片士1或片士，即直线1的解宗为士1或±复。 …15分 18.【解析】本题考查三角函数与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， (1)解：f'(x)=cosx-[cosx十x(-sinx)]=rsin x.… …1分 当x∈[一π，π]时，f'(x)≥0，f(x)单调递增；…2分 当x∈（一2π，一π）U(π，2π)时，f'(x)<0,f(x)单调递减.…3分 所以f(x)在（一2π，2π）上的单调递增区间为[一元，π]，单调递减区间为（一2π，一π），（π， 2r). …4分 (2)证明：g'(z)=[2f'（x)-2r]·x3-[2/x)-z]·3x_2zfx)-6f(x)+x (x3)2 5分 h(x)=2xf(x)-6f(x)+x2=2x2sin x-6sin x+6xcos +x2, h'(x)=2x(xcos z-sin +1). 6分 Am(x)=xcos x-sin x+1=1-f(x),m'(z)=-xsin r. 当0<x<π时，m'(x)<0,则m(x)在(0，π)上单调递减，…7分 因为m()=0,所以当x∈(0，)时，m(x)>0,即h'(x)>0,当x∈（罗，x时m(x)< 0,即h'(x)<0, 所以h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递诚。 …8分 又h(0)=0,h(π)=x(π一6)<0，所以h(x)在(0，π)上存在唯一零点xo,…9分 当x∈(0，xo)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增 【高三数学·参考答案第7页（共9页）】 当x∈(x。,π)时，h(x)<0,g(x)<0,g(x)单调递减. …10分 所以g(x)在(0，π)上存在最大值M,且M=g(xo). 11分 (3)解：(2)中的M不是g(x)在(0，十o∞)上的最大值.…12分 理由如下： 设p(x)=2f(x)-x2(x>0),当x∈(0，十∞)时，p'(x)=2 rsin x-2x=2x(sinx-1)≤ 0,…13分 则p(x)单调递诚，所以p(x)<p(0)=0,所以当x∈(0，十∞)时，g(x)<0, 所以M=g(江0)<0.…14分 当x∈0，+0)时，g(c)=2sinx-2 cOs-z≥-2-2x-x2=-2-2-1 x33- …15分 当十时，子子立 16分 所以存在x1∈(0，十∞)，使得g(x1)>g(xo)=M. 故(2)中的M不是g(x)在(0，十∞)上的最大值.… 17分 【评分细则】 【1第(1)问的结论也可以这样写： f(x)在（一2π，2π）上的单调递增区间为（一π，π），单调递减区间为（一2π，一π），（π，2π） 【2】第(2)问中，只要得到“m()=0”与“h(x)在(0，)上单调递增，在(2，x)上单调递 减”，即可给1分 19.【解析】本题考查独立重复试验、相互独立事件的概率与新定义的综合，考查数学运算、数学 抽象及逻辑推理的核心素养。 (1)解：由“2一1稳定”可知此时=2，k=1,共进行4次独立检测，且通过条件为成功次数不 小于2 设成功次数为m,若原结果通过，则改变任意1次检测结果后仍通过，需有m一1≥2，即m ≥3：若原结果不通过，则改变任意1次检测结果后仍不通过，需有m十1<2，即m=0. 所以“2一1稳定”的检测结果对应=0，m=3或m=4.…2分 当p=2时，所求概率为C9+C+C-1+4+1-3 …4分 21 16 8 (2)证明：设某个检测结果中成功次数为m. 若该结果通过，则m≥，要使改变任意k次检测结果后仍通过，只需考虑把k次成功改为 失败的情况，故需m一k≥n,即m≥n十k;若该结果不通过，则m<n,要使改变任意k次检 测结果后仍不通过，只需考虑把k次失败改为成功的情况，故需m十k<,即m≤n一k一1. 因此一个检测结果是“n一k稳定”的充要条件为m≤n一k一1或m≥n十k.…6分 于是S(p)=克Cp'(1-p)-+3C,p(1-p)7…8分 【高三数学·参考答案第8页（共9页）】 当1区≤n-2时，同理有S1p)=名Cp(1-p)-+,是，Cp'(1-p)- 故S4(p)-S+1(p)=C8。t-p--1(1-p)++1十C2p"+t(1-p)-6.因为0<p<1,所 以右边两项均为正数，故S(p)>S+1（p).…10分 (3)解：由(2)可知，非“n一k稳定”的情况对应成功次数i满足n一k≤i≤n十k一1.… …12分 记H(p)=Cp(1一p),则S:(p)=1-H(p).所以S:(p)的最小值点等价于 H(p)的最大值点. 由[C2np'(1-p)2m-1门Y=2m[C2a-1p-1(1-p)2-1-C2-1p'(1-p)2a-1门， 得H'(p)=2m[C2'p--1(1-p)+-C5'p+←1(1-p)-t门=2mp-t1(1-p)-· [C2n(1-p)2必-Cgp24].…14分 因为0<p<1,所以2mp"--(1一p)-t>0,所以H′(p)的正负由C2n1(1-p)2- C气p24的正负决定. C=n十k n k 器合H'1=0,得（片}-得p万干 因为函数p(p)=C1(1一p)必一Cp必在(0,1)上单调递减，所以当0<p< Vn-k 一时，H'(p)>0:当粉-+a+友 n一友 n-+n十 <p<1时，H'(p)<0 图北H在石罕处取我大放8)准石受+市 Vn-k n-灭 处取得最 小值 Vn-k 故所求p一n-天+中友 …17分 【高三数学·参考答案第9页（共9页）】