湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高三上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 3. 在正方体中，直线和平面所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若，则是第一、二象限的角；④若是第二象限的角，且是其终边上一点，则.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 的最小值是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ） A. 梯形可确定一个平面 B. 棱台侧棱的延长线不一定相交于一点 C. D. 若非零向量，，满足，则 11. 在四棱锥中，，，，，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 13. 的展开式中项的系数是________．（用数字作答） 14. 已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若D为边上一点，，，平分，求a． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若，且在上恒成立，求的最大值； （3）求证：. 2025-2026学年高三上学期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0 四、解答题：本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）9 【16题答案】 【答案】（1）∵，， ∴， ∴. ∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， ∴， 又因为，平面，平面， ∴平面， 又平面ACE， ∴平面平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）根据题意画出图像为： 由①②可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 要证， 只需证明：对于恒成立， 令，则， 当时，令，则， 在上单调递增，即在上为增函数. 又因为，， 所以存在使得. 由，得即即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $