专题06 用频率估计概率、概率的简单应用 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦“用频率估计概率、概率的简单应用”核心知识点，系统梳理频率的定义与计算、频率与概率的区别联系、用频率估计概率的原理，以及标记重捕法、游戏公平性判断等应用，构建从理论到实践的学习支架。 资料以知识清单细化概念、10类题型归纳应用，结合抛掷纪念币、标记重捕法估算总体等实例，培养学生抽象能力、推理意识与数据观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过易错点分析与练习查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

专题06 用频率估计概率、概率的简单应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.频率的定义与计算、频率与概率的区别联系、用频率估计概率的原理与适用场景 2.标记重捕法估算总体数量、生活概率估算、游戏公平性判断 ✅古典概型适用于有限等可能的固定场景，而频率估计概率适配所有随机试验，是对古典概型的重要补充。结合样本估计总体的统计思想，可解决生活、统计中的实际概率问题，是同步学习与考试的重点内容。 ✺学习目标 1.掌握频数、频率的定义与计算方法，明晰频率与概率的本质区别与内在关联。 2.理解频率稳定性定理，熟练掌握用频率估计概率的核心原理与适用前提。 3.能准确区分古典概型公式计算、频率估算两种概率求解方法的适用场景。 4.掌握标记重捕法、概率实际估算、游戏公平性判断等教材核心应用题型。 ✺题型归纳 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 题型2.求某事件的频率 题型3.由频率估计概率 题型4.用频率估计概率的综合应用 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.游戏的公平性 题型10.课堂小结 ✺知识清单 知识点一：频率的概念与计算 1.频数：在相同条件的重复试验中，事件发生的次数称为频数； 2.频率：频数与试验总次数的比值，为该事件的发生频率。 3.计算公式：频率= 4.频率核心特征：频率是随机试验的统计值，具有波动性。试验次数越少，频率波动越大、稳定性越差；试验次数越多，频率越稳定，逐渐趋近于固定数值。 知识点二：用频率估计概率 1.频率稳定性定理：相同条件下进行大量重复试验，随机事件的发生频率会逐渐稳定在某一个固定常数附近。 2.概率估算原理：当试验次数足够多时，可将稳定后的频率值，作为该事件概率的估计值。 3.适用范围：不受古典概型“结果有限、等可能”条件限制，适用于所有随机试验，是求解非等可能事件概率的唯一方法。 4.频率与概率辨析：概率是事件本身固有的恒定理论值，与试验次数无关；频率是随机试验的近似统计值，存在波动性。试验次数越多，频率对概率的估计精度越高，但二者无法完全等同。 知识点三：概率的简单实际应用 ▲本节依托概率理论与频率估算思想，解决生活、统计中的基础实际问题，为教材重点应用型内容，核心包含三类经典题型。 1.标记重捕法 适用场景：无法直接统计的生物种群、总体数量估算。 核心思想：样本标记频率近似等于总体标记概率。 操作步骤：初次捕获个体并标记 → 放回总体充分混合 → 二次随机重捕 → 统计数据代入公式估算。 标准公式：总体数量≈ 2.生活概率估算：利用大量试验得到的稳定频率估算事件概率，可用于预测产品合格率、种子发芽率、事件发生次数等实际问题。 3.游戏公平性判断：分别计算游戏双方获胜的概率，概率相等则游戏公平，概率不等则游戏不公平。 知识点四：易错点汇总 1.概念误区：频率≠概率。频率是试验近似值，概率是理论定值，仅可近似替代，不能等同。 2.条件误区：仅大量重复试验的稳定频率可估算概率，少量试验的波动频率无参考价值。 3.方法误区：有限等可能试验可选用古典概型精准计算或频率估算；非等可能、无限结果试验只能用频率估计概率。 4.计算误区：统计频数、总试验次数时易出现漏算、多算，需有序枚举，保证数据准确。 知识点五、核心总结 1.核心关系：概率恒定不变，频率随机波动，大量试验下频率趋近于概率。 2.方法互补：频率估计概率弥补了古典概型的局限性，适用范围更广。 3.核心思想：以样本估计总体，用统计规律解决实际概率问题。 4.解题流程：判断试验场景 → 选择对应方法 → 统计运算 → 结合实际规范作答。 ✺题型精讲 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 1．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 2．下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 【答案】(1)说法不正确，理由如下：在做抛瓶盖的试验时，每名学生应该尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计，这样做的目的是保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求． (2)说法不正确，理由如下：因为随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，所以原说法错误． (3)说法不正确，理由如下：因为用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，所以原说法错误． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断C、D；根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断A、B． 【详解】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，正确理解题意是解题的关键． 题型2.求某事件的频率 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【答案】D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 2．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 【答案】 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 3．在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【分析】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【详解】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 题型3.由频率估计概率 1．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，取试验次数足够大时的稳定频率即可得到概率的估计值． 【详解】∵由表格数据可得，随着投掷次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在常数附近， ∴投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 2．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 3．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． (1)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． (2)在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】(1)9个 (2)抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 由（1）可知，袋中红球的数量为（个）， 增加3个黄球后，总球数变为（个），红球数量不变， 此时抽中一等奖的概率为； ∵ ， ∴ 抽中一等奖的概率减小． 【分析】（1）先求出抽中一等奖和抽中二等奖的概率，得到抽中三等奖，即白球的概率，将其乘以袋中球的总数，即可求解； （2）求出变化后的概率，比较大小后，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为，抽中白球的概率为， 故袋中白球的数量约为：（个）． （2） 略 题型4.用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则该袋子中的白色球可能有（    ） A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 【答案】B 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数，即可求出答案． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 2．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 【答案】10 【分析】大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，可利用频率估计概率，再结合概率公式列方程求解n． 【详解】解：∵试验次数足够多时，摸到黑球的频率稳定在摸到黑球的概率附近，观察表格数据可得，摸到黑球的频率稳定于， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是， ∴可得， 解得． 3．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 2．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【答案】A 【分析】填在最高位即可． 【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选． 【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大． 2．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 题型7.概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 2．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 3．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】 盈利了， 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】略 题型8.概率的其他应用 1．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 【详解】解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． 2．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 3．为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 【答案】(1) (2)选择方案一更为实惠 【分析】（1）利用列表法列出所有等可能的抽取结果，数出获得8折优惠的结果数，根据概率公式计算概率即可； （2）分别计算方案一的实际付款金额，和方案二的平均实际付款金额，比较大小后即可判断哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：列表得所有抽取两张的等可能结果如下： 第一次第二次    乘积 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之积（即获得8折优惠）的结果有8种． 所以获得8折优惠的概率为． （2）解：若顾客选择方案一，购物金额为300元，实际付款为： （元） 若顾客选择方案二，由（1）可知： ，对应9折，实际付款元 ，对应8折，实际付款元 ，对应7折，实际付款元 方案二的平均实际付款为： （元） 因为， 所以顾客选择方案一更为实惠． 题型9.游戏的公平性 1．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件 B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义和事件的分类．根据概率的定义和随机事件、不可能事件的概念判断各选项． 【详解】解： 抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为， 选项A：连续抛2次，有1次正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件，原说法正确，不符合题意； 选项B：每次抛硬币正面朝上概率为，10次均正面朝上概率为，是随机事件，原说法错误，符合题意； 选项C：大量重复试验时，频率稳定于概率，大约每1000次出现500次正面朝上，原说法正确，不符合题意； 选项D：双方获胜概率均为，规则公平，原说法正确，不符合题意； 故选B． 2．如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何概率的意义及应用，熟练掌握几何概率的大小与对应区域面积占比的关系是解题的关键． （1）想让团团获胜的可能性大，则指针停在阴影区域的概率要大，则选转盘； （2）想让圆圆获胜的可能性大，则指针停在白色区域的概率要大，则选转盘； （3）由于转盘指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大，所以想让游戏公平，要选择转盘． 【详解】（1）解：因为转盘中阴影区域的面积比白色区域的面积大， 所以指针停在阴影区域的概率大，则想让团团获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （2）解：因为转盘中白色区域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针停在白色区域的概率大，则想让圆圆获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （3）解：因为转盘的阴影区域的面积与白色区域的面积一样，指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大， 所以想让游戏公平，要选择转盘玩． 故答案为：． 3．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 2．在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】D 【分析】利用频率估计概率，结合总球数计算红球数量． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右， ∴黄球的个数为， ∴袋中红球的个数为个． 3．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 二、填空题 4．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 5．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 6．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 三、解答题 7．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，然后变形即可求出b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 8．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 9．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 用频率估计概率、概率的简单应用 同步培优讲义 ✺知识框架 1.频率的定义与计算、频率与概率的区别联系、用频率估计概率的原理与适用场景 2.标记重捕法估算总体数量、生活概率估算、游戏公平性判断 ✅古典概型适用于有限等可能的固定场景，而频率估计概率适配所有随机试验，是对古典概型的重要补充。结合样本估计总体的统计思想，可解决生活、统计中的实际概率问题，是同步学习与考试的重点内容。 ✺学习目标 1.掌握频数、频率的定义与计算方法，明晰频率与概率的本质区别与内在关联。 2.理解频率稳定性定理，熟练掌握用频率估计概率的核心原理与适用前提。 3.能准确区分古典概型公式计算、频率估算两种概率求解方法的适用场景。 4.掌握标记重捕法、概率实际估算、游戏公平性判断等教材核心应用题型。 ✺题型归纳 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 题型2.求某事件的频率 题型3.由频率估计概率 题型4.用频率估计概率的综合应用 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.游戏的公平性 题型10.课堂小结 ✺知识清单 知识点一：频率的概念与计算 1.频数：在相同条件的重复试验中，事件发生的次数称为频数； 2.频率：频数与试验总次数的比值，为该事件的发生频率。 3.计算公式：频率= 4.频率核心特征：频率是随机试验的统计值，具有波动性。试验次数越少，频率波动越大、稳定性越差；试验次数越多，频率越稳定，逐渐趋近于固定数值。 知识点二：用频率估计概率 1.频率稳定性定理：相同条件下进行大量重复试验，随机事件的发生频率会逐渐稳定在某一个固定常数附近。 2.概率估算原理：当试验次数足够多时，可将稳定后的频率值，作为该事件概率的估计值。 3.适用范围：不受古典概型“结果有限、等可能”条件限制，适用于所有随机试验，是求解非等可能事件概率的唯一方法。 4.频率与概率辨析：概率是事件本身固有的恒定理论值，与试验次数无关；频率是随机试验的近似统计值，存在波动性。试验次数越多，频率对概率的估计精度越高，但二者无法完全等同。 知识点三：概率的简单实际应用 ▲本节依托概率理论与频率估算思想，解决生活、统计中的基础实际问题，为教材重点应用型内容，核心包含三类经典题型。 1.标记重捕法 适用场景：无法直接统计的生物种群、总体数量估算。 核心思想：样本标记频率近似等于总体标记概率。 操作步骤：初次捕获个体并标记 → 放回总体充分混合 → 二次随机重捕 → 统计数据代入公式估算。 标准公式：总体数量≈ 2.生活概率估算：利用大量试验得到的稳定频率估算事件概率，可用于预测产品合格率、种子发芽率、事件发生次数等实际问题。 3.游戏公平性判断：分别计算游戏双方获胜的概率，概率相等则游戏公平，概率不等则游戏不公平。 知识点四：易错点汇总 1.概念误区：频率≠概率。频率是试验近似值，概率是理论定值，仅可近似替代，不能等同。 2.条件误区：仅大量重复试验的稳定频率可估算概率，少量试验的波动频率无参考价值。 3.方法误区：有限等可能试验可选用古典概型精准计算或频率估算；非等可能、无限结果试验只能用频率估计概率。 4.计算误区：统计频数、总试验次数时易出现漏算、多算，需有序枚举，保证数据准确。 知识点五、核心总结 1.核心关系：概率恒定不变，频率随机波动，大量试验下频率趋近于概率。 2.方法互补：频率估计概率弥补了古典概型的局限性，适用范围更广。 3.核心思想：以样本估计总体，用统计规律解决实际概率问题。 4.解题流程：判断试验场景 → 选择对应方法 → 统计运算 → 结合实际规范作答。 ✺题型精讲 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 1．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 2．下列说法正确吗？请说明理由． (1)在做抛瓶盖的试验时，每名学生用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班学生的数据进行估计； (2)在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； (3)在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值． 3．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 题型2.求某事件的频率 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 2．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 3．在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 题型3.由频率估计概率 1．某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 3．某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，不透明的抽奖袋中装有除颜色外其他都相同的红色、黄色、白色三种小球，红色、黄色、白色的小球分别代表一、二、三等奖，从袋子中任意摸出1个球，记下颜色后放回． (1)小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估计袋中白球的数量． (2)在（1）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 题型4.用频率估计概率的综合应用 1．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则该袋子中的白色球可能有（    ） A．6个 B．16个 C．18个 D．24个 2．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中5个黑球．每次从袋中随机摸出一球，记下其颜色后放回袋中，搅匀，称为一次摸球试验．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007 根据列表，可以估计出n的值是______________． 3．某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 2．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 3．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 2．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 3．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 题型7.概率在比赛中的应用 1．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 3．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 题型8.概率的其他应用 1．小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 2．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 3．为迎接即将到来的五一假期，商场拟举行部分商品优惠促销活动，顾客可以从以下两种方案中任选一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：购物每满元可抽奖一次，具体规则是：在一个不透明箱子里装有张大小、形状一样的卡片，张卡片分别写着数字，，，，顾客从箱内随机抽出两张卡片，两张卡片上的数字之积记为，根据的值享受不同的优惠，如表所示． 的值 1 2 4 实际付款 9折 8折 7折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树状图（或列表法）求一次抽奖获得8折优惠的概率； (2)某顾客的购物金额为元，请你运用统计与概率的相关知识，分析并判断该顾客应选择哪种方案更为实惠． 题型9.游戏的公平性 1．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（   ） A．连续抛一枚均匀硬币2次，有1次正面朝上是随机事件 B．连续抛一枚均匀硬币10次，10次均正面朝上是不可能事件 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 2．如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 3．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ ✺课堂小练 一、单选题 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 3．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 5．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为________（填“出海”、“不出海”）． 6．如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 三、解答题 7．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 8．放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 9．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $