25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（导学案） 一、学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用。 2.在探究一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展代数推理能力。 学习重点： 探究一元二次方程的根与系数的关系。 学习难点： 应用一元二次方程根与系数的关系解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.我们学习过哪些解一元二次方程的方法？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的求根公式体现了单根与系数的关系，那么两根与系数有什么关系呢？ （二）合作探究 思考 观察求根公式，它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 答：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子 相加 可以消去“n”， 相乘 可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. ∵x1= ，x2=， ∴x1+x2= . x1·x2= . 韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2= ，x1·x2= . 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 思考 观察等式①②，你能获得推导一元二次方程根与系数的关系的新方法吗? 注意 此法可用于推导一元n次方程根与系数的关系. （三）典例分析x2−x−56=0 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−6x−15=0； (2)3x2+7x−9=0； (3)5x−1=4x2. 中考演练（2026黑龙江绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−9=0的两个根，则x1+x2−2x1x2的值为（     ） A．16 B．−16 C．20 D．−20 中考演练（2026四川凉山州）已知一元二次方程x2+4x−3=0的两根是x1，x2，则x12+x22的值为 ． 学习笔记 中考演练（2024山东德州）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为 ． 学习笔记 （四）巩固练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−3x=15； (2)3x2+2=1−4x； (3)5x2−1=4x²−x； (4)2x2−x+2=3x+1. 2. 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 3. 一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则+ 的值为（     ） A． B．−3 C．3 D．− 提示：+ = . （五）当堂检测 1. 已知方程x2+3x=2，则下列说法正确的是（   ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是−3 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是−2 2. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2−12x+9=0的两个根，则这个长方形的面积是 ． 学习笔记 3. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为x1和x2，若(x1x2)2+x1+x2=6，求m的值． 提示：别忘了考虑Δ哦！ （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第7，8题. B组题：习题25.2：第11，12题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（导学案） 一、学习目标 1.了解一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用。 2.在探究一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展代数推理能力。 学习重点： 探究一元二次方程的根与系数的关系。 学习难点： 应用一元二次方程根与系数的关系解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.我们学习过哪些解一元二次方程的方法？ 答：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法. 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 答：一元二次方程ax2+bx+c=0的根x1= ，x2=. 3.一元二次方程的求根公式体现了单根与系数的关系，那么两根与系数有什么关系呢？ （二）合作探究 思考 观察求根公式，它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 答：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子 相加 可以消去“n”， 相乘 可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. ∵x1= ，x2=， ∴x1+x2=+==. x1·x2=·==. 韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2=，x1·x2=. 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 思考 观察等式①②，你能获得推导一元二次方程根与系数的关系的新方法吗? 分析 由①②得 ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)， ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2. 由此可得 −a(x1+x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2=，x1·x2=. 注意 此法可用于推导一元n次方程根与系数的关系. （三）典例分析x2−x−56=0 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−6x−15=0； (2)3x2+7x−9=0； (3)5x−1=4x2. 解：(1) x1+x2=−(−6)=6， x1x2=−15. (2) x1+x2=− ， x1x2==−3. (3)方程化为4x2−5x+1=0，所以 x1+x2=− = ， x1x2= . 中考演练（2026黑龙江绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−9=0的两个根，则x1+x2−2x1x2的值为（   A  ） A．16 B．−16 C．20 D．−20 中考演练（2026四川凉山州）已知一元二次方程x2+4x−3=0的两根是x1，x2，则x12+x22的值为 22 ． 解：∵一元二次方程x2+4x−3=0的两根是x1，x2， 其中a=1，b=4，c=−3 ， ∴x1+x2==−4，x1x2==−3， ∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 =(−4)2−2×(−3) =16+6=22． 中考演练（2024山东德州）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为__2028__． 解：∵a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解， ∴a2+2024a−4=0，a+b=−2024， ∴a2+2024a=4， ∴a2+2023a−b =a2+2024a−(a+b) =4−(−2024) =4+2024=2028. （四）巩固练习 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2−3x=15； (2)3x2+2=1−4x； (3)5x2−1=4x²−x； (4)2x2−x+2=3x+1. 快速核对答案 2. 已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . ∴ x1 · x2=2x2=， 即 x2=. 由题意得 x1+x2==2+ ( ) ， 解得： k=－7. 答：方程的另一个根是，k的值是－7. 3. 一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则+ 的值为（  C  ） A． B．−3 C．3 D．− 提示：+ = . （五）当堂检测 1. 已知方程x2+3x=2，则下列说法正确的是（  B   ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是−3 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是−2 2. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2−12x+9=0的两个根，则这个长方形的面积是 9 ． 解：设一元二次方程x2−12x+9=0的两个根分别为x1和x2． 根据根与系数的关系可得：x1x2= = =9． ∵长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， ∴这个长方形的面积为x1x2=9． 3. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为x1和x2，若(x1x2)2+x1+x2=6，求m的值． 提示：别忘了考虑Δ哦！ 解：(1)由题意得 Δ=(−2)2−4m>0， 解得 m<1． (2)由题意得x1+x2=2，x1x2=m， ∴m2+2=6， 解得m1=−2，m2=2， ∵m<1， ∴m=−2． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第7，8题. B组题：习题25.2：第11，12题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $