25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案 同 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过预习自测链接求根公式、判别式等旧知，引导学生观察根与系数的关联，以探究活动为支架衔接前后知识，帮助学生理解韦达定理的推导与应用。 资料亮点在于推导过程多元，结合求根公式与因式分解法培养推理意识，应用环节强调整体代入思想发展符号意识，作业分层设计提升运算能力和模型观念，助力学生自主学习与数学思维进阶。

学案 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1. 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，理解并掌握韦达定理：，，发展推理意识与运算能力。 2. 能运用根与系数的关系，不解方程直接求出两根之和与两根之积，提升知识应用意识。 3. 能利用根与系数的关系求与两根相关的代数式的值（如倒数和、平方和等），体会整体代入思想，发展符号意识与模型观念。 学习重点：根与系数的关系（韦达定理），及其应用。 学习难点：韦达定理的推导过程；利用韦达定理求与两根相关的代数式的值（整体代入变形）；韦达定理适用的前提条件（Δ≥0）。 ► 预习自测 一、知识链接 1. 一元二次方程 的求根公式为 （当 Δ≥0 时）。 2. 根的判别式 Δ = ：当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ<0 时，方程无实数根。 3. 完全平方公式：(a+b)² = a²+2ab+b²；(a-b)² = a²-2ab+b²。 4. 分式通分：1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)。 自学自测 1. 方程 的两根为 x₁=______，x₂=______，则 x₁+x₂=______，x₁x₂=______。 2. 方程 中，a=______，b=______，c=______，则 -b/a=______，c/a=______。 3. 若 x₁、x₂ 是方程 的两根，则 x₁+x₂=______，x₁x₂=______。（用a、b、c表示） 4. 利用完全平方公式填空：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - ______。 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 我们已经学习了一元二次方程的求根公式 ，知道方程的根由系数 a、b、c 确定。那么，方程的两个根 x₁、x₂ 与系数 a、b、c 之间是否存在某种更直接的关系呢？本节课我们就来探究这个问题。 【思考】观察预习自测第1题的结果，x₁+x₂ 和 x₁x₂ 与方程的系数有什么关系？ 二、合作交流、新知探究 探究一：利用求根公式推导根与系数的关系 当 Δ≥0 时，方程 的两个根为： （1）计算两根之和 x₁+x₂： （2）计算两根之积 x₁x₂： 【结论】（韦达定理） 如果一元二次方程 的两个根为 x₁、x₂，那么： 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 探究二：利用因式分解推导根与系数的关系 我们知道，如果一元二次方程 的左边可以分解因式为 ，那么方程的两个根为 x₁ 和 x₂。 反过来，如果一元二次方程的两个根为 x₁ 和 x₂，那么： 将右边展开，得： 比较等式两边对应项的系数，得： 因此： 【说明】这种推导方法更具一般性，随着后续学习，研究一元n次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性。 探究三：韦达定理的应用——求两根之和与积 【例1】根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根 x₁、x₂ 的和与积： （1）； （2）； （3）。 解：（1）a=1，b=-6，c=-15，所以 ，。 （2）a=3，b=7，c=-9，所以 ，。 （3）方程化为 ，a=4，b=-5，c=1，所以 ，。 【方法归纳】运用韦达定理的步骤： ① 将方程化为一般形式 ax²+bx+c=0； ② 确定 a、b、c 的值（注意符号）； ③ 代入公式 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 计算。 【注意】运用韦达定理的前提是方程有实数根，即 Δ≥0。 探究四：韦达定理的拓展应用——求与两根相关的代数式的值 【例2】已知方程 的两个根为 x₁、x₂，不解方程，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）。 解：由韦达定理，得 x₁+x₂ = ，x₁x₂ = 。 （1）倒数和： （2）平方和： （3）差的平方： 【常用变形公式】（整体代入思想） （1）倒数和：1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)； （2）平方和：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂； （3）差的平方：(x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂； （4）完全平方：(x₁+1)(x₂+1) = x₁x₂ + (x₁+x₂) + 1。 三、课堂练习、巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1. 不解方程，求下列方程两个根 x₁、x₂ 的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）。 2. 已知方程 的两根为 x₁、x₂，求 x₁+x₂ 和 x₁x₂ 的值。 3. 若方程 的两根为 2 和 -3，求 p、q 的值。 【知识技能类作业】选做题： 1. 已知方程 的两根为 x₁、x₂，不解方程，求 1/x₁ + 1/x₂ 的值。 2. 已知方程 的两根为 x₁、x₂，求 x₁²+x₂² 和 (x₁-x₂)² 的值。 3. 已知关于 x 的方程 的一个根是 3，求另一个根及 m 的值。（用两种方法求解） 【综合拓展类作业】 1. 已知 x₁、x₂ 是方程 的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）(x₁+1)(x₂+1)； （2）x₁/x₂ + x₂/x₁； （3）|x₁-x₂|。 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1. 韦达定理（根与系数的关系）：若方程 的两根为 x₁、x₂，则 ，。 2. 推导方法：①求根公式法（直接计算两根之和与积）；②因式分解法（比较系数，更具一般性）。 3. 应用：①不解方程求两根之和与积；②求与两根相关的代数式的值（整体代入思想）；③已知一根求另一根及参数。 4. 前提条件：韦达定理成立的前提是方程有实数根（Δ≥0），运用时要注意检验。 5. 常用变形：1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)；x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】必做题： 1. 不解方程，求下列方程两个根 x₁、x₂ 的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）。 2. 若方程 的一个根是 1，求另一个根及 c 的值。 3. 已知方程 的两根为 x₁、x₂，求 x₁+x₂ 和 x₁x₂ 的值。 【知识技能类作业】选做题 1. 已知方程 的两个根为 x₁、x₂，求下列各式的值： （1）1/x₁ + 1/x₂； （2）x₁²+x₂²； （3）(x₁-x₂)²。 2. 已知关于 x 的一元二次方程 ，设 x₁、x₂ 是方程的两个根，且 x₁+x₂=2x₁x₂，求 k 的值。 3. 已知两个数的和为7，积为12，求这两个数。（利用韦达定理构造方程求解） 【综合拓展类作业】 1. 已知 x₁、x₂ 是方程 的两个根，求一个以 2x₁+1 和 2x₂+1 为根的一元二次方程。 答案 自学自测： 1. x₁=2，x₂=3；x₁+x₂=5；x₁x₂=6 2. a=2，b=3，c=-2；-b/a=-3/2；c/a=-1 3. ； 4. 2x₁x₂ 【课堂练习】 【知识技能类作业】必做题 1.（1）x₁+x₂=3，x₁x₂=-15；（2）x₁+x₂=4/3，x₁x₂=1/3；（3）x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1；（4）x₁+x₂=2，x₁x₂=1/2 2. x₁+x₂=4，x₁x₂=2 3. p=1，q=-6 【知识技能类作业】选做题 1. -3/2 2. x₁²+x₂²=13；(x₁-x₂)²=1 3. 另一个根为-1，m=-3（方法一：代入求m再解方程；方法二：利用韦达定理 x₁+x₂=2） 【综合拓展类作业】 1. x₁+x₂=-2，x₁x₂=-3/2 （1）(x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=-3/2-2+1=-5/2 （2）x₁/x₂+x₂/x₁=(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)=[(x₁+x₂)²-2x₁x₂]/(x₁x₂)=(4+3)/(-3/2)=-14/3 （3）|x₁-x₂|=√[(x₁-x₂)²]=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(4+6)=√10 【作业布置】 【知识技能类作业】必做题 1.（1）x₁+x₂=3，x₁x₂=-8；（2）x₁+x₂=-1/5，x₁x₂=-1；（3）x₁+x₂=4，x₁x₂=-6；（4）x₁+x₂=6/7，x₁x₂=-13/7 2. 另一个根为3，c=3 3. x₁+x₂=2/3，x₁x₂=-1/3 【知识技能类作业】选做题 1.（1）2；（2）3；（3）3 2. k=3（由韦达定理：x₁+x₂=k+1，x₁x₂=k-1，由 x₁+x₂=2x₁x₂ 得 k+1=2(k-1)，解得 k=3） 3. 这两个数为3和4 【综合拓展类作业】 1. x₁+x₂=2，x₁x₂=-1。新方程两根为 2x₁+1 和 2x₂+1，和为 2(x₁+x₂)+2=6，积为 4x₁x₂+2(x₁+x₂)+1=-4+4+1=1。所以新方程为 x²-6x+1=0。 2 学科网（北京）股份有限公司 $