4.1.2 垂线-【红对勾】2026-2027学年七年级上册数学45分钟作业与单元评估（华东师大版·新教材）

2 基础达标 答案见活21 知识点1垂直的定义 1.如图，已知直线AB与直线CD相交于点O 下列条件中不能说明AB⊥CD的是() A.∠AOC=901 B.∠AOC=∠BOC C.∠AOC=∠BOD D.∠AOC+∠BOD=180° C 4 B D 第1题图 第2题图 2.如图，AB⊥CD,垂足为D,直线EF经过 点D.若∠1=50°，则∠2的度数为() A.120°B.130°C.140°D.150° 知识点2垂线的画法和基本性质 3.如图，在同一平面内，OA⊥1，OB⊥1，垂 足为O,则直线OA和直线OB重合的理 由是 A.两点确定一条直线 B.已知直线的垂线只有一条 A C.垂线段最短 0 D.在同一平面内，过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直 4.下列选项中，过点M作直线1的垂线，三角 板放置正确的是 片门…心 知识点③垂线段及点到直线的距离 5.体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段 AB的长度即可.这样做的数学道理是 第4章相交线与平行线189 垂线 A.垂线段最短 B.两条直线相交只有一个交点 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直 D.两点确定一条直线 跳 A 测量跳远成绩 B 第5题图 第6题图 6.如图，在三角形ABC中，AH⊥BC于点H, 若AB=4cm,AC=6cm,AH=3cm,则点 A到直线BC的距离为 cm. 能力提升 答案见活21 1.如图，A、B、C、D四点在直线l上，点M 在直线l外，MC⊥l,若MA=5cm, MB=4 cm,MC =2 cm,MD=3 cm, 点M到直线l的距离是 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm D 02 A B D E 第1题图 第2题图 2.(2024雅安中考)如图，直线AB、CD交于 点O,OE⊥AB于点O,若∠1=35°，则∠2 的度数是 () A.55°B.45°C.35°D.30° 3.(跨学科·物理)(2024常州中考)如图，推动 水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在 点A处分别施加推力F,、F2,则F1的力臂 OA大于F,的力臂OB.这一判断过程体现 的数学依据是 ) A.垂线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 90川川2对勾·HS版·七年级数学·上 C.两点确定一条直线 6.一辆汽车在直线形公路AB上由点A向点B D.过直线外一点有且只有一条直线与已知 行驶，点M、点N是分别位于公路两侧的 直线平行 村庄。 (1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时， 距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距 离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别 B P 画出点P和点Q的位置（保留作图痕迹）； 第3题图 第4题图 (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, AB的哪一段路上离M、N两村庄都越来越 BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点， 近？在哪一段路上离村庄V越来越近，而离 连结PC,则线段PC的最小值是 ( 村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结 A. 8 7 论，不必说明理由) C. 1 5 D. 5 ●M 5.作图并写出结论： 66 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请 A 过点P画出OA、OB的垂线，分别交BO ●N 的延长线于M、V,则： (1)线段 的长表示点P到直线BO 的距离； (2)线段 的长表示点M到直线AO 的距离； (3)线段ON的长表示点O到直线 的 距离； (4)点P到直线OA的距离为 B 微专题4相交线中的角度计算 方法指引在相交线中进行角度的计算，常用对顶角的性质得到两个角相等或垂直定义得到直角(90) 来解答 :1.(2024北京中考改编)如 2.如图，直线AB、CD相 A D 图，直线AB和CD相交 交于点O,若∠1+ 02 B 于点O,OE⊥OC. ∠2=70°，则∠3= 若∠AOC比∠EOB大 ( ) 16°，则∠EOB的大小为 A.1109 B.135 A.29°B.37° C.74° D.58° C.145° D.155° ,0100.因为AF=3AD, 因为∠AOB=90°，∠DOE=40°， C方B 所以AD=AF=子 所以∠AOE-∠BOD=50. 图1 E B F C 所以AE=AD+DE=7+6= 图2 3 3 4. 解：(1)因为AB=12,AC=2, 绿上所述，AB的长为或号 所以BC=AB-AC=10. -. 4.解：如图，点P即为所求 D 因为D是BC的中点， A 图1 图2 所以CD=2BC=5. ②∠MON的值不发生变化，如图2， 所以AD=AC+CD=2+5=7: 因为OM平分∠BOD,ON平 (2)7或17 B 分∠AOE, 理由是两点之间线段最短 5.解：(1)因为点M为线段AC的中点 1 所以∠BOM= 5.解：(1)补全图形如图1所示， ∠BOD,∠NOE= 点N为线段BC的中点， ∠AOE. 1 所以CM=)AC=5,CN=2BC=7 因为∠MON=∠NOE+∠BOE+ 所以MN=CM+CN=5+7=12. ∠BOM, (2)线段MN的长为2a一3 b 图1 所以∠MON= 3(∠BOD+∠AOE+ 因为∠AON=100°，OB是∠AON的 或行a+6 2∠BOE) 平分线， 6.C7.C8.C9.24°或36°或48 1 所以∠A0B=∠A0N=50. =2(∠AOB+∠DOE) 10.解：(1)因为∠AOC：∠BOC=1: 2,∠AOB=120°， 因为∠COM=125°， =2×e0+40y 所以∠AOC=1 3 ∠AOB= 所以∠DON=∠COM=180° =65°. ∠CON=125°. 120°=40°. 所以在旋转过程中∠MOV的值不 所以∠DOA=∠DON-∠AON=25°. 变，∠MON=65. (2)因为∠A0D=∠A0B, 所以∠BOD=25°+50°=75°. 7.解：(1)40° (2)①∠DOM=2∠BOE.理由如下： 所以∠AOD=60°. (2)∠DOB=2∠COE.理由如下： 如图2，设∠AOB=a,∠DOM= 当OD在∠AOB内部时， 因为∠COD是直角，OE平分∠AOD, ∠CON=180°-∠COM=3. ∠COD=∠AOD-∠AOC=20°： 所以∠COE=∠COD-∠DOE=90°- 当OD在∠AOB外部时， 1 0人B ∠AOD ∠COD=∠AOC+∠AOD=100° 故∠COD的度数为20°或100°. E 因为∠DOB=180°-∠AOD= B A 图2 2(eo-7∠a0D)小： 1.解：1)260°40 (2)如图，因为∠AOB=120°，OC平 因为OB是∠AON的平分线， 所以∠DOB=2∠COE 分∠AOB, 所以∠BON=∠AOB=a. (3)∠DOB=360°-2∠COE. 因为OE是∠AOC的平分线， 专题训练十一 利用数学思想 所以∠BOC=号∠A0B=60. 所以∠AOE=2∠A0C= 2(2a+p). 因为∠COD=20°， 求长度或角度 所以∠BOD=60°+20°=80° 所以∠BOE=∠AOE-∠AOB= 1.C2.3cm或7cm 3.解：设AC、BC的中点分别为E、F, 2(2a+B)-a=2R. 所以∠DOM=2∠BOE 则CE=AC=4cm,CP=BC ②∠BOE=40°. 1.5cm, 6.解：(1)50 如图1，点B在线段AC的延长线上时 第4章相交线和平行线 (2)20°或40°或80° EF=CE+CF=4+1.5=5.5(cm): 4.1相交线 (3)①如图1， 如图2，点B在线段AC上时，EF= 因为∠AOE=∠AOB-∠BOE, CE-CF=4-1.5=2.5(cm). 1.对顶角 ∠BOD=∠DOE-∠BOE 综上所述，AC和BC中点间的距离为 基础达标 所以∠AOE-∠BOD=∠AOB-∠DOE. 2.5cm或5.5cm. 1.C2.C3.A4.35 5.解：因为∠1+∠2=270°，且∠1=∠2,7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B；内错8.解：(1)如图所示. 所以∠1=∠2=135° 角：∠B和∠DAB:同旁内角 C D 因为∠1+∠3=180°， ∠EAB和∠B. A B 所以∠3=180°-∠1=180°-135°=45 (2)内错角：∠EAC和∠BCA,∠DAC E F 6.A7.38 和∠ACG. (2)AB∥CD.理由如下： 能力提升 (3)同旁内角：∠BAC和∠BCA, 因为ABEF,CD∥EF, 1.B2.B3.C4.D5.A6.A ∠FAC和∠ACG. 所以AB∥CD 7.对顶角相等8.24 能力提升 (3)直线CD与直线1的位置关系是 9.解：因为∠MON=70°， 1.C2.B3.B4.633 相交. 所以∠COD=∠MON=70°. 5.解：因为∠1=40°， 能力提升 设∠AOC=x,则∠BOC=3x,∠AOD= 所以∠3=∠1=40°，∠4=180°一∠1= 1.A2.B3.D4.C x+70°， 140°，即∠2的同位角是140°，∠2的同 5.解：(1)(2)如图所示. 所以∠BOD=3.x-70° 旁内角是40°. B 因为∠AOD=2∠BOD, 所以x+70°=2(3x-70°). P4 解得x=42°， 3 1 所以∠BOC=126° A 所以∠BON=180°-∠BOC=54° (3)11与1：相交，形成四个角 10.解：(1)2(2)6(3)12 6.解：同位角：∠4与∠8、∠4 与 ∠1，∠2，∠3，∠4.∠1=∠3=∠0， (4)2×(2-1)=2,3×(3-1)=6, ∠7、∠2与∠3； ∠2+∠0=180°，∠4+∠0=180°.所 4×(4-1)=12,所以若有n条直线相 内错角：∠1与∠3、∠7与∠6、∠6 以1，与l,相交形成的角与∠O相等或 交于一点，则可形成n(n一1)对对顶角. 与∠8： 互补. (5)2000×(2000-1)=3998000,所 同旁内角：∠1与∠4、∠3与∠8、∠1 6.解：因为四边形CDFE、四边形ABEF 以若有2000条直线相交于一点，则可 与∠7. 都是长方形， 形成3998000对对顶角. 7.解：∠1和∠2是直线ED和直线BD被 所以CD∥EF,AB∥EF. 2.垂线 直线AB所截得到的同位角： 所以CD∥AB ∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线 基础达标 7.解：(1)a1⊥a BD所截得到的内错角； 1.C2.C3.D4.B5.A6.3 (2)a1∥a ∠6和∠A是直线AB和直线BD被直 能力提升 线AC所截得到的同位角： (3)a1⊥a2,a1⊥a,a1∥a4,a1a,…, 1.A2.A3.A4.B ∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线 以4次为一个循环，为“⊥，⊥， 5.解：如图所示： EC所截得到的同旁内角； ∥，P. A ∠3和∠4是直线ED和直线BC被直线 因为(2025-1)÷4=506， EC所截得到的内错角； 所以a1与a22:的位置关系是a1∥ag2. ∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线 2. 平行线的判定 N EC所截得到的同旁内角， 基础达标 (1)PN(2)PM(3)PN(4)0 6.解：(1)如图所示 4.2平行线 1.B M 1.平行线 2.解：如图，因为∠1+∠3=180°，∠1 与∠2互补， 基础达标 1.D2.33.C N 4.解：能画三种，如图所示。 (2)在AP上时，离村庄M、N都越来 b A 越近； 所以∠2=∠3. 在PQ上时，离村庄N越来越近，而离 B 所以ab. 村庄M越来越远. B 3.B 微专题4 4.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠1= 1.B2.C 180°，∠B=42, 3.同位角、内错角、同旁内角 所以∠A+∠1=138°. 基础达标 5.B6.C 又因为∠A+10°=∠1， 1.B2.B3.B4.C5.③ 7.过直线外一点有且只有一条直线与这条 所以∠A+∠A+10°=138°. 6.∠B∠C、∠BAC、∠BAE 直线平行 解得∠A=64°. 参考答案1川活21