专题02二次函数表达式及二次函数与一元二次方程精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数表达式及与一元二次方程的关系，系统梳理一般式、顶点式、交点式三种解析式及适用条件，明确待定系数法“选式-代点-求参-写式”四步规范，构建从表达式求解到方程根与函数图像交点对应关系的完整学习支架。 资料通过结构化知识梳理、易错点专项提示及分层题型设计（11类题型含基础到拔高），培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观），如用判别式判断交点个数强化逻辑推理，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题02二次函数表达式及二次函数与一元二次方程精讲学案 核心立意 熟练掌握二次函数三种表达式及适用条件，掌握待定系数法规范解题步骤；理解二次函数与一元二次方程的数形对应关系，能用判别式判断抛物线与x轴交点个数，解决交点判定、参数求解、函数与方程综合类问题，建立数形结合思想。 二次函数三种解析式及适用条件 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，适合已知抛物线上3个普通点 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，适合已知顶点/对称轴/最值+1个点 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，仅抛物线与x轴有2个交点时可用，适合已知x轴两交点+1个点 待定系数法｜标准四步（答题模板，学生直接套用） 第1步【选式】：根据已知条件，优先选择最简解析式； 第2步【代点】：将点坐标代入解析式，列出方程（组）； 第3步【求参】：解方程（组），求出待定系数； 第4步【写式】：代回解析式，按需整理为一般式，检验a≠0。 抛物线与坐标轴交点求法 与x轴交点：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，方程的解为交点横坐标； 与y轴交点：令x=0，直接得交点(0,c)。 二次函数与一元二次方程对应关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根。 判别式=b2-4ac（交点与根的关系） >0 ⇔ 方程有2个不相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有2个交点 =0 ⇔ 方程有2个相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴1个交点（顶点落在x轴上） <0 ⇔ 方程无实数根 ⇔ 抛物线与x轴无交点 拓展结论（韦达定理） 若抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则x1+x2=-,x1x2=，多用于代数式求值、参数计算。 ①交点式有使用前提，抛物线与x轴无两个交点时，不能使用交点式； ②顶点式符号易出错：牢记y=a(x-h)2+k，不要误写为y=a(x+h)2+k； ③解题易忽略隐含条件a≠0； ④=0规范表述：方程有两个相等实数根，不可说成“没有实数根”； ⑤区分x轴、y轴交点的求法，审题避免混淆； ⑥求出解析式后不检验，解方程组出现计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型二 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型三 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型五 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型七 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型九 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十一 根据交点确定不等式的解集 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：①选式：三点选一般式，顶点/最值+一点选顶点式，x轴两交点+一点选交点式（交点式仅限抛物线与x轴有2个交点）；②代点：将已知点坐标代入解析式，列出方程（组）；③求参：解方程（组），求出待定系数；④写式：代回解析式，按需整理为一般式，检验a≠0。 1．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 题型二：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：①令解析式中y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0；②解方程，根据判断根的情况；③有实根则写出交点(x1,0),(x2,0)；=0只有1个交点；<0无交点。 4．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 5．已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 6．已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：①令解析式中x=0；②直接计算得y=c；③写出交点坐标(0,c)。 7．抛物线与y轴交点的纵坐标是 _____． 8．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 题型四：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：①令函数值等于已知数，列出方程ax2+bx+c=m；②整理为标准一元二次方程ax2+(c-m)+bx=0；③解方程，求出x；④结合题意取舍根。 10．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 12．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 13．二次函数与一次函数图像交于点，它们的横坐标记为，记，，则下列说法正确的是（   ）． A．当时， B．若，则 C．当时， D．若，则 题型五：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：①转化：抛物线与x轴交点个数等价于方程ax2+bx+c=0实根个数；②计算判别式=b2-4ac；③>0两个交点，=0一个交点<0无交点；④结合题意列不等式求参数范围。 14．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 16．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 题型六：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：①看图：观察抛物线与x轴交点数量；②对应：交点个数就是一元二次方程实根个数；③>0两个不等实根，=0两个相等实根，<0无实根。 17．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 18．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是 ________________ ． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 0.04 19．抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型七：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：①令y=0，求出抛物线与x轴两个交点横坐标x1、x2；②截线长公式：|x1-x2|；③可结合韦达定理变形：|x1-x2|=直接计算。 20．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 21．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 22．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 23．若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型八：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：①画出二次函数y=ax2+bx+c草图；②读出抛物线与x轴交点对应的横坐标；③根据题目精度要求，保留小数，写出方程近似根。 24．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 25．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 26．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 题型九：图象法解一元二次不等式 解题思路：①先求抛物线与x轴交点；②看开口方向：a>0，图像在x轴上方对应y>0，下方对应y<0；a<0相反；③直接读出对应x的取值范围。 27．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 28．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 29．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 题型十：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：①找到临界边界（交点、顶点）；②结合抛物线开口方向、增减性；③划分区间，写出符合条件的取值范围；④注意端点能否取等号。 30．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为_____________； （2）若，则x的取值范围为_____________． 32．已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十一：根据交点确定不等式的解集 解题思路：①确定抛物线与x轴交点横坐标；②判断开口方向；③对照不等号方向，选取图像在x轴上方/下方对应的x范围；④规范写出解集，留意端点取舍。 33．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 34．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 35．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 36．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 解答题 1．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 2．已知抛物线（b、c为常数）经过点． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的函数表达式； ②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围． (2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 4．已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 5．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数表达式及二次函数与一元二次方程精讲学案 核心立意 熟练掌握二次函数三种表达式及适用条件，掌握待定系数法规范解题步骤；理解二次函数与一元二次方程的数形对应关系，能用判别式判断抛物线与x轴交点个数，解决交点判定、参数求解、函数与方程综合类问题，建立数形结合思想。 二次函数三种解析式及适用条件 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，适合已知抛物线上3个普通点 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，适合已知顶点/对称轴/最值+1个点 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，仅抛物线与x轴有2个交点时可用，适合已知x轴两交点+1个点 待定系数法｜标准四步（答题模板，学生直接套用） 第1步【选式】：根据已知条件，优先选择最简解析式； 第2步【代点】：将点坐标代入解析式，列出方程（组）； 第3步【求参】：解方程（组），求出待定系数； 第4步【写式】：代回解析式，按需整理为一般式，检验a≠0。 抛物线与坐标轴交点求法 与x轴交点：令y=0，解方程ax2+bx+c=0，方程的解为交点横坐标； 与y轴交点：令x=0，直接得交点(0,c)。 二次函数与一元二次方程对应关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根。 判别式=b2-4ac（交点与根的关系） >0 ⇔ 方程有2个不相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴有2个交点 =0 ⇔ 方程有2个相等实数根 ⇔ 抛物线与x轴1个交点（顶点落在x轴上） <0 ⇔ 方程无实数根 ⇔ 抛物线与x轴无交点 拓展结论（韦达定理） 若抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则x1+x2=-,x1x2=，多用于代数式求值、参数计算。 ①交点式有使用前提，抛物线与x轴无两个交点时，不能使用交点式； ②顶点式符号易出错：牢记y=a(x-h)2+k，不要误写为y=a(x+h)2+k； ③解题易忽略隐含条件a≠0； ④=0规范表述：方程有两个相等实数根，不可说成“没有实数根”； ⑤区分x轴、y轴交点的求法，审题避免混淆； ⑥求出解析式后不检验，解方程组出现计算错误。 题型 考察方向 难度 题型一 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 题型二 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★★ 题型三 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型四 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★★ 题型五 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★★ 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★★ 题型七 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★★ 题型八 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型九 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十一 根据交点确定不等式的解集 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：待定系数法求二次函数解析式 解题思路：①选式：三点选一般式，顶点/最值+一点选顶点式，x轴两交点+一点选交点式（交点式仅限抛物线与x轴有2个交点）；②代点：将已知点坐标代入解析式，列出方程（组）；③求参：解方程（组），求出待定系数；④写式：代回解析式，按需整理为一般式，检验a≠0。 1．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象的顶点为，设出二次函数顶点式，代入点求得答案即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为，由于抛物线过点，则有： ，解得； 因此抛物线的解析式为：． 故选：D． 2．已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的图像的顶点坐标为，可以设二次函数的解析式为，把点的坐标代入解析式，可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数过点， 可得：， 整理得：， 解得：． 故答案为： ． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 题型二：求抛物线与 x 轴的交点坐标 解题思路：①令解析式中y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0；②解方程，根据判断根的情况；③有实根则写出交点(x1,0),(x2,0)；=0只有1个交点；<0无交点。 4．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 5．已知函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（　　）    A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由可得，由图象可得，，再根据两根之和为，两根之积为，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知， ∴关于x的方程的根的判别式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之和为，两根之积为， ∴两根异号， 故选：C． 6．已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】抛物线的顶点坐标为，根据抛物线图像的性质，增减性，无理数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且开口向上，    ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 抛物线与轴的交点坐标，，与轴的交点为，当时，，， 点，，都在抛物线上， ∴，则或， ，则或， ∵， ∴， 选项，若时，，，则，故选项错误，不符合题意； 选项，若，，，则，故选项错误，不符合题意； 选项，若时，，，则，故选项正确，符合题意； 选项，若时，，，则，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质，无理数比较大小是解题的关键． 题型三：求抛物线与 y 轴的交点坐标 解题思路：①令解析式中x=0；②直接计算得y=c；③写出交点坐标(0,c)。 7．抛物线与y轴交点的纵坐标是 _____． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．将代入计算，即可求得抛物线与y轴的交点的纵坐标． 【详解】解：将代入，得， 所以抛物线与y轴的交点坐标是，纵坐标是0． 故答案为：0． 8．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 题型四：已知二次函数的函数值求自变量的值 解题思路：①令函数值等于已知数，列出方程ax2+bx+c=m；②整理为标准一元二次方程ax2+(c-m)+bx=0；③解方程，求出x；④结合题意取舍根。 10．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 11．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ______． 【答案】， 【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【解答】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴当时，可以得到方程解为或， ∵方程可以转化为方程， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 12．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 先判断当时，，即方程只有一个实数根，再确定有两个实数根，然后解出方程即可求解． 【详解】解：当时，，即， 则， ∴， ∴， ∴只有，有一个实数根， ∴有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．二次函数与一次函数图像交于点，它们的横坐标记为，记，，则下列说法正确的是（   ）． A．当时， B．若，则 C．当时， D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的综合及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据选项联立二次函数与一次函数解析式，然后化简得到一元二次方程，进而根据根与系数的关系可进行排除选项． 【详解】解：由题意可联立二次函数与一次函数得：，该方程的解即为它们图像的交点的横坐标，即为； A、当时，则一次函数为，与二次函数联立得：，即，所以根据一元二次方程根与系数的关系得：，所以；故该选项错误； B、若，同理可得：，所以；故该选项正确； C、当时，则一次函数为，与二次函数联立得：，即，所以根据一元二次方程根与系数的关系得：，所以；故该选项错误； D、若，同理可得，所以；故该选项错误； 故选B． 题型五：抛物线与 x 轴的交点问题 解题思路：①转化：抛物线与x轴交点个数等价于方程ax2+bx+c=0实根个数；②计算判别式=b2-4ac；③>0两个交点，=0一个交点<0无交点；④结合题意列不等式求参数范围。 14．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 16．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 题型六：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解题思路：①看图：观察抛物线与x轴交点数量；②对应：交点个数就是一元二次方程实根个数；③>0两个不等实根，=0两个相等实根，<0无实根。 17．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 18．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是 ________________ ． x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 0.04 【答案】 【分析】方程的解是二次函数中时对应的自变量的值，根据表格中的符号变化，即可确定方程解的取值范围． 【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，， ∵二次函数的图象是连续不断的曲线， ∴当时，相应的自变量的取值范围为． 故答案为：． 19．抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知函数图象得到方程的两根为，，即可得到抛物线 的图象与轴交点横坐标为，，据此判断即可． 【详解】解：由图象可得抛物线 与直线交点的横坐标为，， 即方程的两根为，， 当时，整理得，此时方程的两根为，， ∴抛物线 的图象与轴交点横坐标为，， 各个选项中只有B选项符合题意． 题型七：求 x 轴与抛物线的截线长 解题思路：①令y=0，求出抛物线与x轴两个交点横坐标x1、x2；②截线长公式：|x1-x2|；③可结合韦达定理变形：|x1-x2|=直接计算。 20．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 21．抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 22．若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 23．若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 题型八：图象法确定一元二次方程的近似根 解题思路：①画出二次函数y=ax2+bx+c草图；②读出抛物线与x轴交点对应的横坐标；③根据题目精度要求，保留小数，写出方程近似根。 24．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 25．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为________（精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为： 或1.7 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 26．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．通过观察表格中的值随的变化，发现当时值为，当时值为，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一个解的取值范围． 【详解】解：∵当时，； 当时，， 由对应的二次函数图象可知，x在范围内取某一个值时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C． 题型九：图象法解一元二次不等式 解题思路：①先求抛物线与x轴交点；②看开口方向：a>0，图像在x轴上方对应y>0，下方对应y<0；a<0相反；③直接读出对应x的取值范围。 27．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 28．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 29．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 题型十：利用不等式求自变量或函数值的范围 解题思路：①找到临界边界（交点、顶点）；②结合抛物线开口方向、增减性；③划分区间，写出符合条件的取值范围；④注意端点能否取等号。 30．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的最小值，再求出，时的函数值，即可解决问题． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线对称轴为y轴，即直线，开口向上，y的最小值为0， 当时，y随x的增大而增大， 时，；时，， 所以当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 31．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为_____________； （2）若，则x的取值范围为_____________． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 32．已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数因式分解，再结合，，的条件化简不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：对二次函数因式分解得：， ∵点，在函数图象上， ∴，， ∴， ∵，，， ∴当，时，， ∴ 不等式化简，得， 令，解得， 由二次函数的图象可知当时，c的取值范围为． 题型十一：根据交点确定不等式的解集 解题思路：①确定抛物线与x轴交点横坐标；②判断开口方向；③对照不等号方向，选取图像在x轴上方/下方对应的x范围；④规范写出解集，留意端点取舍。 33．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 34．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 35．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 36．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 解答题 1．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 2．已知抛物线（b、c为常数）经过点． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的函数表达式； ②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围． (2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：． 【答案】(1)①；② (2) 证明：抛物线经过点， ，则， 当时，，即， 当时，，解得，， ， ， ． 【分析】（1）①用待定系数法，即可求解；②根据二次函数和不等式的关系，即可求解； （2）根据抛物线经过点，可得，则，分别求出点C、D的坐标，即可求证． 【详解】（1）解：①抛物线经过点，点， ，解得， ； ②， 顶点坐标，开口向下，点在抛物线上， ， 当时，；，即时，； 点在直线的上方， 当时，m的取值范围是：； （2）略 3．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 4．已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1) 证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 5．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式得或， 解不等式得， 又因， ∴ ∴的最大值为； （3）解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $