奥数思维拓展 第03讲 图形计数（专项训练） -2026-2027学年四年级上册数学北师大版

**基本信息** 以“不重不漏”为宗旨，通过分步分类思想统领枚举、对应、容斥等方法，构建从基本图形到复杂组合图形的计数体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |课前热身|2题|问题情境引入|激发兴趣，关联生活应用| |典例精析|7个主例+变式|枚举法（按大小/位置）、对应法、容斥原理、对称性|从线段/角到三角形/菱形/含特定元素图形，由简到繁递进| |课后作业|5题|综合应用|巩固分步分类思想，强化复杂图形计数能力|

第3讲 图形计数 【课前热身】 1.一辆汽车的车牌号是一个五位数，小明做倒立时，看到的车牌号变成了另一个五位数，这 个五位数比原来的五位数大78633，这辆车的车牌号是 2.乖乖虎用3个不同的数字4，b,c组成6个两位数ab,ac,ba,bc,ca,cb,他发现这6 个两位数的和恰好等于（什2）×(b+2)×(c+2),那么三位数abc最小是 第1页共10页 【学习目标】 1、认识基本图形： 2、掌握图形计数的规律。 【知识梳理】 1、图形计数的宗旨：不重不漏： 2、图形计数的两大思想：分步和分类： 3、图形计数的几种方法： (1)枚举法：按照大小和位置： (2)对应法：找到对应关系： (3)容斥原理：不重不漏： (4)利用图形对称性。 第2页共10页 【典例精析】 【例1】一条直线上有101个点，以这101个点为端点的线段有 条。 【变式训练】如图，将长度为9的线段AB九等分，那么图中所有线段的长度的总和是 B 【例2】想一想，在如图五个点之间，你最多能连出 条线段。 第3页共10页 4 E B。 。D 【变式训练】参考附图，将圆内每两点连上一条线段，一共可以连上 条线段。 ● ● 【例3】图中有」 个锐角， 个钝角 第4页共10页 【变式训练】如图，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？ 【例4】数一数，图中有()个三角形。 A.12 B.16 C.20 D.22 第5页共10页 【变式训练】数一数图中有 个三角形。 【例5】数一数，如图中包含“☆”的三角形共有 个。 ☆ 【变式训练】包含五角星的三角形一共有多少个？ 第6页共10页 【例6】四条边都相等的平行四边形叫做菱形。如图是外星人的飞碟模型图，其中共有 个菱形。 【变式训练】图中一共有 个平行四边形 第7页共10页 【例7】至少包含一根香蕉（图中香蕉用五角星替代）的长方形有多少个？ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 【变式训练】图中，含有阴影部分的长方形（含正方形）共有 个。 第8页共10页 【课后作业】 1.探险队在地堡大门上看到一个神秘的图标，这个图标上有 个三角形。 2.数一数，如图中有一块糖，那么包含这块糖的三角形共有 个。 3.请你数一数，右图共有 个正方形。 第9页共10页 4.图中的小鱼中有 个正方形。 5.如图中有 个长方形。 第10页共10页 第3讲 图形计数 【课前热身】 1．一辆汽车的车牌号是一个五位数，小明做倒立时，看到的车牌号变成了另一个五位数，这个五位数比原来的五位数大78633，这辆车的车牌号是　10968 　 ． 2．乖乖虎用3个不同的数字a，b，c组成6个两位数，，，，，，他发现这6个两位数的和恰好等于（a+2）×（b+2）×（c+2），那么三位数最小是 　 　 。 解：因为 所以20a+20b+20c+2a+2b+2c＝（a+2）×（b+2）×（c+2） 即22×（a+b+c）＝（a+2）×（b+2）×（c+2） 所以（a+2）×（b+2）×（c+2）积是22的倍数， 即（a+2）或（b+2）或（c+2）一定有一个是偶数，一定有一个是11， 因为是最小三位数a≠0， 所以a＝2，c+2＝11 所以c＝9 22×（11+b）＝4×11×（b+2） 242+22b＝44b+88 22b＝154 b＝7 所以 答：三位数最小是279。 【学习目标】 1、认识基本图形； 2、掌握图形计数的规律。 【知识梳理】 1、图形计数的宗旨：不重不漏； 2、图形计数的两大思想：分步和分类； 3、图形计数的几种方法： （1）枚举法：按照大小和位置； （2）对应法：找到对应关系； （3）容斥原理：不重不漏； （4）利用图形对称性。 【典例精析】 【例1】一条直线上有101个点，以这101个点为端点的线段有　 　 条． 解：101×（101﹣1）÷2 ＝101×100÷2 ＝5050（条） 故答案为：5050． 【变式训练】如图，将长度为9的线段AB九等分，那么图中所有线段的长度的总和是　 　 解：9×1+8×2+7×3+6×4+5×5+4×6+3×7+2×8+1×9， ＝9+16+21+24+25+24+21+16+9， ＝165， 答：图中所有线段的长度之和是165． 【例2】想一想，在如图五个点之间，你最多能连出 　 　 条线段。 解：从A点开始考虑，可以与其他四个点连成4条线段， B可以与剩下的三个点连成3条新的线段， C可以与剩下的两个点连成2条新的线段， D可以与剩下的一个点连成1条新的线段， E点不用再单独考虑， 所以一共可以连成4+3+2+1＝10（条）线段。 【变式训练】参考附图，将圆内每两点连上一条线段，一共可以连上　 　 条线段。 解：9点可以确定的线段数： 1+2+3+••••••+8＝36（条）。 答：一共可以连上36条线段。 【例3】图中有　 15 　 个锐角，　 4 　 个钝角 【变式训练】如图，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？ 解：一个顶点一个顶点的数可知： 图中共有1+1+2+2+1+1＝8个直角， 2+1+2+2+2+1+2＝12个锐角， 1+1+2+1+1＝6个钝角． 答：图中共有8个直角，12个锐角，6个钝角． 【例4】数一数，图中有（　D　）个三角形。 A．12 B．16 C．20 D．22 解：单个的三角形：12个， 由2个小三角形组成的三角形：4个， 由3个小三角形组成的三角形：4个， 由6个小三角形组成的三角形：2个， 一共：12+4+4+2＝22（个）。 答：图中有22个三角形。 【变式训练】数一数图中有 　 　 个三角形。 解：①正立三角形的个数：（4+3+2+1）×2＝20（个）； ②倒立三角形的个数：4+3+2+1＝10（个）； ③左右三角形个数：2+2＝4（个）。 综上可知，共有三角形的个数：20+10+4＝34（个）。 【例5】数一数，如图中包含“”的三角形共有　 　 个。 1+3+1+2+1＝8（个）。 答：图中包含“”的三角形共有8个。 【变式训练】包含五角星的三角形一共有多少个？ 解：由1个基本三角形组成的三角形有：1个， 由4个基本三角形组成的三角形有：2+1+1＝4（个）， 由9个基本三角形组成的三角形有：1+2＝3（个）， 由16个基本三角形组成的三角形有：1个， 即包含五角星的三角形一共有：1+4+3+1＝9（个）。 答：图中包含五角星的三角形一共有9个。 【例6】四条边都相等的平行四边形叫做菱形。如图是外星人的飞碟模型图，其中共有 　 　 个菱形。 解：观察可得，飞碟模型图中两个小三角形拼成一个菱形，拼在一起的边（也就是菱形的对角线）有19条，就有19个小菱形；飞碟模型图的上面、下面各有4个小菱形拼成1个大菱形，就有2个大菱形。总的菱形数有：19+2＝21（个）。 【变式训练】图中一共有　 　 个平行四边形． 解：（5+4+3+2+1）×（4+3+2+1） ＝15×10 ＝150（个）； 答：图中一共有150个平行四边形． 【例7】至少包含一根香蕉（图中香蕉用五角星替代）的长方形有多少个？ 解：图中共有长方形的个数数：（4+3+2+1）×（4+3+2+1）＝100（个）， 不包含任何五角星的长方形个数： （3+2+1）+（2+1）+（3+2+1）+（3+2+1﹣1）+1＝21（个）， 至少包含一个五角星的长方形个数：100﹣21＝79（个）。 答：至少包含一根香蕉（图中香蕉用五角星替代）的长方形有79个。 【变式训练】图中，含有阴影部分的长方形（含正方形）共有 　 　 个。 从外向内第三个正方形里有4个，最外面正方形里有4个，共有4+4＝8（个）， 从外向内第四个正方形里有4个，第二正方形里有4个，共有4+4＝8（个）， 综上共有：8+8＝16（个）。 【课后作业】 1．探险队在地堡大门上看到一个神秘的图标，这个图标上有 　 　 个三角形。 解：1+2×8 ＝1+16 ＝17（个） 答：这个图标上有17个三角形。 2．数一数，如图中有一块糖，那么包含这块糖的三角形共有 　 　 个。 解：含糖的三角形：1个一数：1个；4个一数：2个；9个一数：3个；16个一数：2个， 共：1+2+3+2＝8（个） 3．请你数一数，右图共有　 　 个正方形。 正方形的总数： 10+9+3+2 ＝22+2 ＝24（个）。 答：共有24个正方形。 4．图中的小鱼中有　 　 个正方形。 解：①第一部分是左边的小图形中正方形的个数：2个； ②第二部分是右边的大图形中正方形的个数（按大小计数）：3+1+1+1＝6（个）； 综上可知，共计正方形个数：2+6＝8（个）。 5．如图中有　 　 个长方形。 长方形总数：36×2+4×2﹣1＝79（个）。 答：图中有79个长方形。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $