奥数思维拓展专项训练第01讲--加乘原理（专项练习）-2026-2027学年四年级上册数学北师大版

**基本信息** 以加乘原理为核心，通过定义梳理-典例精析-变式迁移的三层架构，系统构建分类与分步计数的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |原理理解|例1-2及变式|分类加法（独立方案求和）|从原理定义（加法/乘法原理）到简单分类计数，建立“完成任务途径”的抽象认知| |简单应用|例3-4及变式|分步乘法（多步骤依次相乘）|通过钥匙开锁、车票排列等场景，强化分步计数的逻辑推理| |综合拓展|例5-7及变式|综合运用（含重复元素/相邻约束）|结合数字排列、染色问题等复杂场景，实现从具体到抽象的方法迁移|

第1讲 加乘原理 【学习目标】 1、进一步学习加法原理和乘法原理； 2、学会加法原理和乘法原理的解题方法。 【知识梳理】 1、加法原理：如果完成一件任务有几类办法，在第一类办法中有种不同方法，在第二类办法中有种不同方法……，在第n类办法中有种不同方法。那么完成这件任务共有N＝＋＋＋……＋种不同的方法。  2、乘法原理（分步）：如果完成一件任务需要分成N个步骤进行，做第1步有种方法，做第2步有种方法，……做第N步有种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N=××…×（种）不同的方法。 【典例精析】 【例1】平平去给行行买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，平平买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 解：8+20+10＝38（种） 答：平平买一种礼物可以有38种不同的选法． 【变式训练】艾迪、大宽、薇儿今天想要从北京去天津旅游，从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴，如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴，那么艾迪今天去天津，不同的走法共有　 35 种． 解：由于从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴，如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴，那么根据加法原理，宫宝今天去天津，不同的走法共有23+12＝35种． 【例2】天平可以称量比较轻的物体。现在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，规定砝码只能放在天平的右端，用这架天平和这些砝码能称出 15 种不同的质量。 解：第一类，右边只放1个砝码：有1克，2克，4克，8克这4种情况； 第二类，右边只放2个砝码：1+2＝3（克），1+4＝5（克），1+8＝9（克），2+4＝6（克），2+8＝10（克），4+8＝12（克），6种情况； 第三类，右边只放3个砝码：1+2+4＝7（克），1+2+8＝11（克），1+4+8＝13（克），2+4+8＝14（克），4种情况； 第四类，右边放4个砝码：1+2+4+8＝15（克），1种情况。 即用这个天平和这些砝码可以称出4+6+4+1＝15（种）不同重量，即1∼15克都可以称出来。 答：用这架天平和这些砝码能称出15种不同的质量。 【变式训练】一架天平有1克、2克、4克、8克和16克的砝码各一个，用这些砝码一共可以在天平上称出　 31 　种不同的质量（砝码只放在天平的右侧）． 解：根据分析可得， 共有：1+2+4+8+16＝31（种）； 答：用这些砝码可以称出31种不同的重量． 【例3】一把钥匙只能开一把锁．现在有10把钥匙10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁．最多要试　 45 　 次才能将所有的钥匙和锁成功配对． 解：9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（次）， 答：最多试验45次才能配好全部的钥匙和锁。 【变式训练】某旅店招工考试，有一道题：“用20把不同钥匙开20个客房门，如果不知道哪把钥匙开哪一个门，最多要试开　 190 　次，才能把钥匙与门锁配对妥当．” 解：19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1， ＝（19+1）×19÷2， ＝10×19， ＝190（次）； 答：最多要试开190次，才能把钥匙与门锁配对妥当． 【例4】从广州到武汉的铁路上共有大小车站8个（包括起点站，终点站），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足广州到武汉途中所有乘客的需求？ 解：8×（8﹣1） ＝8×7 ＝56（种） 答：铁路局要为乘客准备56种不同的车票才能满足广州到武汉途中所有乘客的需求． 【变式训练】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？ 解：6+2＝8（个） 8×（8﹣1）÷2 ＝8×7÷2 ＝28（种） 答：铁路局要为这次快车准备28种不同的车票． 【例5】用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数． 解：4×3×2×1+3×4×3 ＝24+36 ＝60（个） 答：能形成60个不同的四位数． 【变式训练】用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 解：5×4×3×2＝120（个） 2×4×3×2＝48（个） 答：可以组成120个无重复数字的四位数，其中偶数有48个． 【例6】艾迪要把4种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如图所示，如果要求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那么共有　 96 　 种不同的贴法． 解：根据乘法原理，共有4×3×2×2×2＝96种不同的贴法． 【变式训练】如题图所示，有A、B、C、D、E五个区域，现用4种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域只染1种颜色。有多少种染色方法？ 解：4×3×2×2×3＝144（种）。 答：有144种染色方法。 【例7】在右面每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），有　 　 种放法． 解：每个方格中有2种填法，故2×2×2×2＝16（种）． 【变式训练】在6×6的方格中，先放一枚白棋子，再放一枚黑棋子，要求两个棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少种不同结果？ 解：第一枚棋子有6×6＝36（种）放法， 第二枚棋子有5×5＝25（种）放法， 故共有36×25＝900（种）不同结果． 答：共有900种不同结果． 【课后作业】 1．假期小严准备读一些课外书，有2本不同的科技书、5本不同的世界名著、3本不同的人物传记，小严要从三类书中各选一本阅读，则小严一共有　 30 　 种不同的选法． 解：2×5×3＝30（种）； 2．现有九把钥匙九把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多要试多少次才可知哪把钥匙开哪把锁？ 8+7+6+…+2+1＝36次 答：最多要试36次才可知哪把钥匙开哪把锁． 3．某国际会议洽谈贸易，有5家日本公司，6家英国公司，7家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，要求安排　 107 　 次会谈场次． 解：（1）7家中国公司和5家日本公司洽谈次数：7×5＝35（次）， （2）7家中国公司和6家英国公司：7×6＝42（次）， （3）5家日本公司和6家英国公司：5×6＝30（次）， 一共洽谈次数：35+42+30＝107（次）； 答：要求安排107次会谈场次． 4．在红、黄、白、蓝4种颜色中选择若干种涂在图中，要求相邻的区域涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？ 解：4×3×3×2＝72（种）； 答：共有72种不同涂法． 5．用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第 505 个数是510234。 解：最高位是1时六位数的个数：1×5×4×3×2×1＝120（个）， 最高位是1、2、3、4时六位数的个数：120×4＝480（个）， 即从小到大最高位是5时的第一个数是第480+1＝481（个），即501234， 当最高位是5，万位是0时的个数为：1×1×4×3×2×1＝24（个）， 480+24＝504（个）， 即最高位是5，万位是1时的最小数为510234， 即从小到大的第504+1＝505（个）。 答：用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是510234。 6．图中有25个小方格，把写有“希”、“望”、“杯”、“竞”、“赛”的五张小卡片依次放入，且每行、每列都只能出现一张小卡片，那么共有　 14400 　 种放法． 解：25×16×9×4×1＝14400（种）； 答：共有14400种放法． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 加乘原理 【学习目标】 1、进一步学习加法原理和乘法原理； 2、学会加法原理和乘法原理的解题方法。 【知识梳理】 1、加法原理：如果完成一件任务有几类办法，在第一类办法中有种不同方法，在第二类办法中有种不同方法……，在第n类办法中有种不同方法。那么完成这件任务共有N＝＋＋＋……＋种不同的方法。  2、乘法原理（分步）：如果完成一件任务需要分成N个步骤进行，做第1步有种方法，做第2步有种方法，……做第N步有种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N=××…×（种）不同的方法。 【典例精析】 【例1】平平去给行行买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，平平买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 【变式训练】艾迪、大宽、薇儿今天想要从北京去天津旅游，从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴，如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴，那么艾迪今天去天津，不同的走法共有　 　 种． 【例2】天平可以称量比较轻的物体。现在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，规定砝码只能放在天平的右端，用这架天平和这些砝码能称出 　 　 种不同的质量。 【变式训练】一架天平有1克、2克、4克、8克和16克的砝码各一个，用这些砝码一共可以在天平上称出　 　 种不同的质量（砝码只放在天平的右侧）． 【例3】一把钥匙只能开一把锁．现在有10把钥匙10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁．最多要试　 　 次才能将所有的钥匙和锁成功配对． 【变式训练】某旅店招工考试，有一道题：“用20把不同钥匙开20个客房门，如果不知道哪把钥匙开哪一个门，最多要试开　 　 次，才能把钥匙与门锁配对妥当．” 【例4】从广州到武汉的铁路上共有大小车站8个（包括起点站，终点站），铁路局要为乘客准备多少种不同的车票才能满足广州到武汉途中所有乘客的需求？ 【变式训练】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？ 【例5】用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数． 【变式训练】用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 【例6】艾迪要把4种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如图所示，如果要求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那么共有　 　 种不同的贴法． 【变式训练】如题图所示，有A、B、C、D、E五个区域，现用4种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域只染1种颜色。有多少种染色方法？ 【例7】在右面每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），有　 　 种放法． 【变式训练】在6×6的方格中，先放一枚白棋子，再放一枚黑棋子，要求两个棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少种不同结果？ 【课后作业】 1．假期小严准备读一些课外书，有2本不同的科技书、5本不同的世界名著、3本不同的人物传记，小严要从三类书中各选一本阅读，则小严一共有　 　 种不同的选法． 2．现有九把钥匙九把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多要试多少次才可知哪把钥匙开哪把锁？ 3．某国际会议洽谈贸易，有5家日本公司，6家英国公司，7家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，要求安排　 　 次会谈场次． 4．在红、黄、白、蓝4种颜色中选择若干种涂在图中，要求相邻的区域涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？ 5．用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第 个数是510234。 6．图中有25个小方格，把写有“希”、“望”、“杯”、“竞”、“赛”的五张小卡片依次放入，且每行、每列都只能出现一张小卡片，那么共有　 　 种放法． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $