福建莆田市2027届高三毕业班开学质量诊断练习数学试题

莆田市2027届高中毕业班开学质量诊断练习试卷 数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分， 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分， 一、选择题：每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 6 d 答案 B A D C B C D 二、选择题：每小题6分，满分18分.（本题为多项选择题，每小题中，全部选对得6分， 部分选对的得部分分，有选错得0分) 题号 9 10 11 答案 CD ABC ABD 三、填空题：每小题5分，满分15分 12.31 13.3√2 14.512 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.本小题主要考查正余弦定理，面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力 等；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心 素养；体现基础性和综合性.满分13分 法一 (1)证明：因为A+B+C=元，所以sinC=sin(A+B),2分 数学参考解答第1页（共11页) 所以2 sin Acos B=Sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,4分 Bsin Acos B-cos Asin B=0,................... .………………………..5分 所以sin(A-B）=0,… 004.6 又A-B∈(-元，元)，所以A-B=0,即A=B. .7分 (2)由（1)可得，a=b=2, .8分 因为a+c=2+√2，所以c=√2 9分 由余弦定理得，cosC=a+b2-c4+4-23 ..10分 2ab 2×2×24 .11分 所以△ABC的面积S=absinC=x2×2× 7万 .13分 2 42 法二： (1)证明：由正弦定理得，2aC0sB=c, .…2分 由余弦定理得，2a.+c2-b 2ac =C)… .4分 整理得，a2+c2-b2=c2,即a2=b2, .5分 所以a=b, .6分 所以A=B, .7分 (2)由(1)可得，a=b=2, 8分 所以△ABC是以C为顶点的等腰三角形， 9分 因为a+c=2+√2，所以c=√2 10分 过C作CD⊥AB于D,则CD= 714 .11分 2 所以△A8C的面积S=x反x45 .13分 2 16.本小题主要考查条件概率，独立性检验等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能 力，应用意识等；考查统计与概率思想，转化与化归思想等；考查逻辑推理，数学运算， 数学抽象，数学建模等核心素养；体现基础性、综合性.满分15分 解：(1)零假设H:购买AI艺术品的意愿与性别无关联。…2分 数学参考解答第2页（共11页） 根据列联表中的数据，经计算得到 x2=100x(45x15-15×252_25 60×40×70×30 14 .4分 ≈1.786<2.706.… 5分 根据小概率值=0.100的独立性检验， 没有充分证据推断H不成立，因此可以认为，成立，6分 即认为购买AI艺术品的意愿与性别无关联…7分 (2)设事件A=“所选的两名顾客至少有一名是女性”， 8分 B=“这两名顾客都愿意购买AI艺术品”，9分 P(BlA)=P®-naB) P(A)n(4) 11分 C3-C Ci-Co 12分 70×69-25×24 100×99-40×39 …13分 s141 278 …14分 所以所求的概率为141 278 15分 17.本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知 识；考查逻辑推理能力，运算求解能力等；考查转化与化归思想，数形结合思想，函数与 方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性和综合性.满 分15分. 6 4621 解：(1)依题意得， 4 2分 a=l 数学参考解答第3页（共11页) a=2, 解得 b=√2 .4分 所以C的方程为之+ -=1. .5分 42 (2) 法一 p D B'x E 依题意可知，直线1的斜率存在且不为零. 设直线：x=y+1(m≠0)，P(x,y)，O(x2,2), 6分 7分 x2,y2 =1 联立42 整理得(m2+2)y2+2my-3=0, .8分 x=y+1 2m 所以月+y2=一 )…………9分 m2+2 设原点O到l的距离为d, 因为△ODP的面积与△OEO的面积相等， 所以号Dd=Egld,得DP=Eg .10分 所以+m以-0=+m-(,+ .11分 1 依题意，与+二异号， …12分 m 所以y1+y2=- …13分 m 所以2m、1 m2+2m ，解得m=±√2， ……………14分 所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+V2y-1=0.… .15分 数学参考解答第4页（共11页） 法二： p D B衣 依题意可知，直线1的斜率存在且不为零， 设直线1：y=(x-1)(k≠0)，P(x,y),(x2,2), 6分 所以E(0,-), .7分 x2.y2 联立 =1,得(2k2+1）x2-4k2x+2k2-4=0, 42 8分 y=k(x-1) 所以x+X2= 4k2 2k2+1 9分 因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等， 所以2oDb=21oEls 10分 所以y=-x2,则k(x-1=|x2,即x,-1=x11分 依题意，x-1与X异号，… .12分 所以x-1+x2=0,则X+= 4K2 =1, 2k2+1 .13分 解得k=±V2 14分 所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0 15分 法三： D Bx E 数学参考解答第5页（共11页) 依题意可知，直线1的斜率存在且不为零， 设直线1：x=my+1（m≠0)，P(x,y），Q(x2,2), .6分 所以0，-1） .7分 m x2,y2 =1 联立 4 2 得(m2+2)y2+2my-3=0, .8分 x=my+1 2m 所以乃+y2= m2+2 9分 设原点O到l的距离为d, 因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等， 所以Dd=Eg-d,得1DP=lBg .10分 所以DE与PQ的中点重合， …11分 又因为PQ的中点 D5的中点 12分 所以为+y2=- .13分 m 所以 2m1 =,解得m=√2， m2+2m 14分 所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0. .15分 18.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面，空间角等基础知识；考查空 间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，创新意识等；考查转化与化归思想，数形结 合思想，函数与方程思想等；考查逻辑推理，数学运算，直观想象，数学抽象等核心素 养；体现基础性、综合性和创新性.满分17分. 解： E B 作AH⊥DE于H,连接AH,由翻折性质知，AH上DE.1分 (1)连接A. .AH⊥DE,A'H⊥DE, .2分 数学参考解答第6页（共11页） 又AH,AHc平面AAH,AH∩AH=H, …3分 .DE⊥平面AAH, 4分 又.AAC平面AAH, .DE⊥AA. 5分 (2) 法一： ·平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE, HC平面DE,AH LDE,6分 ∴，AH⊥平面BCDE, .H为点A在平面BCDE上的射影. .7分 又AH⊥DE,可知H的轨迹是以AD为直径的一段圆弧， 8分 .当点E从A移动至B时，H的轨迹长度从0增长至最大 点E与B重合，AB=B,又AD=1,∠EAD=元，.∠ADB=C, 3 9分 4在平面BCDB的射影的轨迹长度为1=×2元 233 10分 法二： C E B 以D为原点，以向量DA,DC的方向为x轴，y轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0),A(1,0,0).… .6分 ·平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩平面BCDE=DE, A'HC平面ADE,AH L DE,7分 ∴.AH⊥平面BCDE, 数学参考解答第7页（共11页) .H为点A在平面BCDE上的射影.8分 设∠ADB=x(a∈[0，)，则Hcos2x,cossin,0),即Hl+cos2a,1 22sin2a,0), 取AD中点0，则I2a-+兮m2a-02+0=号 2 2 2 H的轨迹是以F为园心，以号为半径的圆弧，且圆弧对应的圆周角为 0,9分 :该圆弧的长度为上×2π=亚 .10分 233 (3) 法一： C 2 B(E) 以D为原点，以向量DA，DC的方向为x轴，y轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B1,V3,0),C(0,V3,0). 过A作DE的垂线，垂足为I,求得 19 二面角-DE-C的平面角为B, 。11分 设平面A'DE的法向量为n=(x,y,z), 12分 由nDE=0,n-DA=0,得 数学参考解答第8页（共11页) x+V5y=0, 1-3c0+c -zsin=0. 13分 4 4 令x=V5,则y=-1,代入解得2=2cos2 sine 即平面A'DE的一个法向量n=√3，-1， cose sina 14分 直线BC的方向向量CB=(L,O,O),设直线BC与平面ADE所成角为p, 则s血pcos<BC,n1Bc:Hl sin0. BCII 2 .15分 /3+1+ 4cos20 sin2日 32 sin0单调递增，sin0∈ 3 ∴.sinp∈ 41 2 16分 即直线BC与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围为 92 .17分 法二： D G A B(E) 作AG⊥平面A'DE于点G,连接GH,GD. DEC平面A'DE,AG⊥DE.11分 又AH⊥DE,AG,AHc平面AGH,AG∩AH=A, .DEL平面AGH, 12分 又GHc平面AGH, .DE⊥GH, .13分 数学参考解答第9页（共11页） :.∠GHA是二面角A-DE-A的平面角， 14分 .∠GHA=0. 在△4GH中，sin0=4C AH 又AH=ADsin60°=sin60°， 设直线BC与平面4DE所成角为p,又BC∥AD,所以imp=4C=5 sin0..15分 AD 2 .0∈ 32 sin0单调递增， 2 ∴.sinp∈ …16分 3￥ 即直线BC与平面A'DE所成角的正弦值的取值范围为 4’2 17分 19.本小题主要考查导数及其应用等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力，创新意 识等；考查函数与方程思想，转化与化归思想，分类与整合思想，数形结合思想等；考查逻 辑推理，数学运算，直观想象等核心素养；体现基础性、综合性和创新性.满分17分， 解：(1)当k=1时，f(x)=ln(1+x)-x,其定义域为(-1，+o), f'(x)≠1+x1=-x 1+x …1分 由'(x)>0得-1<x<0,f()在(-1,0上单调递增；2分 由f'(x)<0得x>0，f(x)在(0，+∞)上单调递减. 3分 综上，f(x)的单调递减区间是(-1,0)，单调递增区间是(0，+o∞).4分 (2)由(1)知，f(x)=ln(1+x)-x在(0，+o)上单调递减， 所以当x∈(0，+o)时，f(x)=ln(1+x)-x<f0)=0,即x>ln(1+x).5分 由x>1n1+)得2x>1n1+2y,即x>n1+2. .6分 2i7ieN得 令x 1 0+22即m2u+)-h-n 2i-12 7分 数学参考解答第10页（共11页) 所以， 11 >an3-nl),5>( 12 }>25-ln3),…,2n->2 1、1 >。n(2n+1)-n(2n-1], 累加，得+1+ 1 …十 [ln3-In1+In5-In3+...+In(2n+1)-In(2n-1)],... > 13 2n-12 所以， 含a+W:证华 9分 (3)当x>0时，g(x)-f(x)≥1，则有 h(l+)+x(e*-2)-nl+x)-a]≥1对Vx∈(0，+oo)上恒成立， 所以k≥1+nx-e+2对x∈(0，+w)上恒成立. .10分 1.x-1+lm 令)-4x-g+2,则p= _-e"=-Inx-xe2 x2 x2 ,11分 令u(x)=-lnx-x2e*， 则u=2e+re)=e2+<0e>0, X 所以4(x)在(0，+o)单调递减， .12分 又A日-1-e>0,μ(0=e<0,由零点存在性定理知， 存在唯一零点∈仁， 使4(X。)=0,即-nx。=x02e,13分 即上n=xe,即0m上e六=xe0. 1 1、 In Xo 14分 由函数y=xe“在(0，+oo)上单调递增函数， 可得n=,即6=-，e0= 15分 所以当0<x<x,时，4(x)>0,p'(x)>0;当x>x时，4(x)<0,p'(x)<0, 所以p(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+oo)上单调递减，16分 所以，p()≤p(k)=1+l-e+2=1二-1+2=l, Xo XoXo 所以k≥p(x。)=1,即k的取值范围为k≥1.17分 数学参考解答第11页（共11页) 莆田市2027届高中毕业班开学质量诊断练习试卷 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．设全集，集合，则 A． B． C． D． 3．已知双曲线：，则的离心率为 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 5．若函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为 A． B．1 C．2 D．5 6．设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则 A．4 B． C． D． 7．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为 附： 二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 8．有6个相同的球，其中3个黄球，3个白球，依次从中无放回地随机抽取，每次取1个球，直到取出2个黄球时停止取球．记为停止取球时所取出的球的个数，则的数学期望为 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．在棱长为2的正方体中 A．直线与是异面直线 B．平面平面 C．直线到平面的距离为 D．四面体的外接球的体积为 11．已知抛物线：（）的焦点为，准线为：，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则 A． B． C．若弦的中点到的距离为，则的斜率为 D．设交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是等比数列的前项和，且，，则________． 13．直线：被圆：所截得的弦长为________． 14．定义：已知，，…，是10个互不相等的实数的一个排列，且满足，则该排列的所有可能结果有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）证明：； （2）若，求的面积． 16．（15分） 近年来AI生成的艺术品备受关注．某艺术机构为了解购买AI生成的艺术品的意愿与性别的关系，随机调查了100名顾客，得到如下列联表： 愿意 不愿意 合计 女性 45 15 60 男性 25 15 40 合计 70 30 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析购买AI艺术品的意愿是否与性别有关； （2）从这100名顾客中随机抽取两名，已知其中至少有一名为女性，求这两名顾客都愿意购买AI艺术品的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17．（15分） 已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 18．（17分） 如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，将沿翻折至． （1）证明：； （2）若平面平面，求在平面内的射影的轨迹的长度； （3）当点与重合时，记二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．（17分） 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）证明：； （3）当时，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $