学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新教材北京版，范围：九年级上册第18～19章）

**基本信息** 聚焦相似与函数核心知识，通过投影投屏、平面镜测高、琴弦频率探究等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配九年级9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相似（网格交点比例）、二次函数平移、反比例函数图像|结合投屏等生活场景，基础概念与图像分析结合| |填空题|8/24|黄金分割、反比例函数性质、抛物线与直线交点|融入自然美学（黄金分割）、光的反射定律，体现数学应用| |解答题|10/72|相似证明、函数建模、实际测量（河宽）|22题测量河宽考查应用意识，24题琴弦频率探究培养模型观念，综合题分层设计梯度合理|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂)【1【/] 4.保持卡面清洁。不要折桑、不要弄破。 一、单项选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 3.[A1[B1[C1[D1 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 20.(6分) B D 请精在等题致城附等，超辄限现致锋森效！ 21.(6分) y个 5 432 -6-5-43-2-1O123.4.5.6x 234 56 22.(8分) 23.(8分) B DM B DM 图1 图2 24.(8分) fHz 1300 1200 1100 0 102030405060708090100110120L/cm ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) D B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D M G AEB' 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版九年级上册第18~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 3．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 4．如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 6．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接为的中点，连接分别与交于点N、K；则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．已知，那么______． 10．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 11．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．为的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 12．数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 13．如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 14．在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 15．如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 16．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 18．（5分）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 19．（6分）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 20．（6分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（6分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 22．（8分）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 23．（8分）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 24．（8分）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 25．（10分）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 26．（10分）已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B]IC][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 10. 11. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) 20.(6分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) y个 65 -6-5-432-lO1234.56x 3 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(8分) B DM B DM 图1 图2 24.(8分) 个Hz 1300 1200 1100 1000 600 辅新 0 102030405060708090100110120L/cm 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(10分) D R 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) y D M G主 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 3 4 5 6 7 6 B A A C C 夕 B B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.2 10.k<2 11.30-10W5或10W5-10 12.12 13.1≤x≤6 14.6 1 17.210.5 18.a<-1 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25- 26题每题10分。 17.(5分) 【答案】(1)d=-6 (2)c=9 【分析】本题考查的知识点为比例的基本性质，熟练掌握比例基本性质的变形是解题的关键。 由比例的基本性质a:b=c:d得到ad=cb,代入数值进行求解. 【详解】(1)解：a,b,c,d成比例，且a:b=c:d: ∴.ad=bc; 已知a=-2,b=3,c=4. .（-2)d=3×4 解得d=-6: 故答案为：d=-6.…2分 (2)解：a,b,c,d成比例，且a:b=c:d: .ad =bc; 1/18 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 已知a=3,b=4,d=12; .3×12=4c; 解得c=9: 故答案为：C=9.…5分 18.(5分) 【答案】(1)少=x2+2x-3 -4≤y<5 (2) 【分析】(1)利用待定系数法，代入己知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式： (2)将解析式配方为顶点式，当x=-1时，y取得最小值-4：再计算当x=-2,x=2时，分别对应的函 数值，即可得到y的取值范围， (0,-3)(2,5), y=x2+bx+c 【详解】(1)解：把 代入 C=-3 得4+2b+c=5, [b=2 解得c=-3 ·二次函数的解析式为'=r+2x-3 …2分 (2)解：将二次函数配方得'=r+2x-3=(x+-4 函数的对称轴为直线x=-1 1>0 .二次函数开口向上， ∴.当x=-1时，y取得最小值-4； 当=-2时，y=(-2+1-4=-3 当=2时.)=2+-4=5 2/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即在-2≤x<2时，y的取值范围是-4≤y<5.5分 19.(6分) 【答案】(1) y=2(x≠0) (2) < 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)求出m,n的值，比较大小即可 【详解】(1)解：y与x成反比例， :设y=k≠0 将x=4y=3代入解析式得3 Γ4 解得k=12. y关于的函数表达式为少三G≠0)：…3分 (2)解：∵点M(-3,m),N(2,)在该反比例函数图象上， 12,m-12 12 &将x=-3代入y=得m=34,将x=2代入y=天得 号-6 -4<6 .m<n.…6分 20.(6分) 【答案】(1) 证明：AB=2,BC=4,BD=1, .AB2=BD·BC, AB BC .BD AB' ∠B=∠B, ∴△ABCADBA, (2)AD=1.5 3/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. (1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可： (2)利用相似三角形的性质求解 【详解】(1)证明：AB=2,BC=4,BD=1, .AB2=BD·BC, AB BC .BDAB· ∠B=∠B, .△ABCADBA,，…3分 (2)解：△ABC∽△DBA, AC BC .DA AB' 34 .AD2, AD=1.5.…6分 21.(6分) 【答案】1)少=(x+2}+1 54 2在5+324 012.34.56x 4 1≤y<5 (3) 【分析】(1)利用配方法求解即可： (2)先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； (3)根据函数图象可得答案。 【详解】（①）解：)=+4x+5=(2+4x+4）-4+5=(x+2}+1 …2分 4/18 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：列表如下： -4 -3 -2 -1 0 y=x2+4x+5 2 2 5 函数图象见解析；…4分 (3)解：由函数图象可知，当-3≤x<0时，1≤y<5.……6分 22.(8分) 【答案】(1)20 (2)灞河支流这段的宽度为200米 【分析】本题考查平均数，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键. (1)根据平均数的定义计算，即可解答； (2)延长OA交MN于点B,易得OB、OA分别为△OMN△OEF的高.由EF∥MN,得到 OB MN ∠OMN=∠OEF,∠ONM=∠OFE,可证△OMN∽△OEF,OA=EF,求出BO,即可解答. 【详解】(1)解：m 19.8+20+20.2=20(m)】 3 故答案为：20.…2分 (2)延长OA交MN于点B,如图. B 河岸 河岸 易得OB、OA分别为△OMN△OEF的高. 河两岸互相平行， .EF∥MN, ∴.∠OMN=∠OEF,∠ONM=∠OFE .△OMN∽△OEF, 5/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 OB MN OA EF 0B_330 2030’ 解得OB=220米， AB=0B-A0=220-20=200米， 即灞河支流这段的宽度为200米.…8分 23.(8分) 4 【答案】1)5 2)Pg=24 PN=48 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比=相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】(1)解：：四边形POMN为正方形，AD是BC边上的高， ∴.PQ=PN=EDPN∥QM .AAPN∽△ABC, PN AE PO 8-PO BC=AD,即12=8， P0=24 ;…4分 (2)解：四边形2MN是矩形， ∴.PN∥QM,PQ=ED :.△APN∽△ABC, 器侣 设P2=y则PN=2y, 2y8-y 24 即2=8，解得少= 7， 1 …8分 6/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(8分) A.fHz 1300 1200 1100 1000 900 800 700 【答案】(1)600 509 450 400 300 200 100 102030405060708090100110120L/cm (2)720 (3)15 1 (4)是定值，比值为2 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可. 8000 (2②)观察数据表，发现方~L=18000为定值，故f与L成反比例关系，f= 将L=25代入万=18000 求值 =4002=400 3)分别令 和 ,求出对应的弦长，再求差 4)由f= 方代入两个反比例函数表达式，化简后判断乙，与L,的比值是否为定值。 【详解】(1)由数据表验证： f×L=900×20=600×30=450×40=…=18000 解： 厂与L成反比例关系，万=18000 L· 在坐标系中描点(20,900)、(30,600)、(40,450)、(50,360)、(60,300)、(70,257)、(80,225)、(90,200)、 (100,180) 7/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象.……2分 18000 (2)解：观察数据表，发现L=18000为定值，故f与成反比例关系，厂= L 当L=25cm时， 万=1800-720H). 25 .琴弦1的振动频率为720HZ.…4分 2×L=1200×20=800×30=…=24000 (3)解：由数据表验证： 24000 ∴3= L 当=400Hz时，L2 24000=60(cm), 400 当斤=400收时，1=180 400 =45(cm), .L2-L=60-45=15 (cm)., 即琴弦2与琴弦1的长度之差为l5Cm.…6分 (④)解：设琴弦1的长度为二，琴弦2的长度为 L, 3 由题意：斤=25， 18000324000 一X L =2L2, 4=18000=1 L2360002 .琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为2.……8分 25.(10分) 【答案】(1)45° (2) 解：①如图所示，即为所求： 8/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B ②V2AF+BF=2AM 证明如下： 如图所示，过点B,G,M分别作直线AE的垂线，垂足分别为PQS, on-\D ---G F E B --pp .∠APB=∠A0G=∠FOG=∠FSM=90°，MSI‖lOG: 由轴对称的性质可得AB=AG,∠CAG=∠CAB=45°， ∴.∠BAG=∠CAG+∠CAB=90°， .∠QAG+∠PAB=90° ,∠QAG+∠QGA=90° .∠PAB=∠QGA. △PAB≌△QGA(AAS) ..A0=BP,QG=AP 由(1)得∠BFE=45°， ∴，△BFP是等腰直角三角形， ..BP=PF, 9/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BF-BP+PF-BP 0-BP-or 2 :点M为FG的中点， .MF-FG: 2 ...MS lI OG. ∴.AFSMAFOG FS MS FM 1 ·F0QGFG2' :0s=s-05,s-0c=4r, 2 AP=AF+PF.AS-4Q+0S.OF=AF-40=AF-BF 2 4s=40rer-9a AF-BF-24F+ 2 2 4 .AS =MS. 在Rt△ASM中，由勾股定理得 M=AS+MS-AS=224F+2BF4F+BF 4 2, 2AF+BF=2AM 【分析】(1)根据题意可得∠BAF+∠ABD=45°，由三角形外角的性质即可得到答案： (2)①根据题意作图即可：②过点B,G,M分别作直线AE的垂线，垂足分别为PQS,可证明 10/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 △PAB≌aQGA(MAS),得到AQ=BP,QG=AP,证明△BFP是等腰直角三角形，推出“ =BP=2 F 2 证明aS1F0G,得到QS=N=0P.Ms-0G=4Ps=4S.24F+5 2 2 ,求出 4 ，由勾股定 理得 AM-VAS'+MS-AS=4F+BF 2,即V2AF+BF=2AM. 【详解】(1)解：∠BAC=∠BAF+∠CAE=45°，∠ABD=∠CAE, .LBAF+∠ABD=45°， .∠BFE=∠BAF+∠ABD=45°；3分 (2)解：①如图所示，即为所求： D G5分 B E ②V2AF+BF=2A ,证明如下： 如图所示，过点B,G,M分别作直线AE的垂线，垂足分别为PQS, F :.∠APB=∠AQG=∠FQG=∠FSM=90°.MSIG. 由轴对称的性质可得AB=AG,∠CAG=∠CAB=45°， .∠BAG=∠CAG+∠CAB=90°， 11/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·∠0AG+∠PAB=90°， :∠QAG+∠QGA=90°， .∠PAB=∠QGA, △PAB≌△QGA(AAS) ..A0=BP,QG=AP. 由(1)得∠BFE=45°， ∴.△BFP是等腰直角三角形， .BP=PF, BF-BP+PF-2BP &40=Bp=Y2r 2 :点M为FG的中点， MF=FG: 2 MS‖QG. .△FSM∽aFQG, FS MS FM 1 ÷F0QGFG2' 0s=s-50r.s-0c=4P 2 :P=AF+P所，4S=40+Qs,OF=AF-40=4f-5r 2 -ar9rj 24F+BF 4 12/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =A0+r-2r+ AF-aF-24F+8E 2 2 2 .AS =MS, 在Rt△ASM中，由勾股定理得 AM-VAS+MS-AS-2124F+2BF4F+BF 4 2 4F+BF-2AM …10分 26.(10分) 【答案】(1)少=-r+3x+4 2,D(2,6) 【分析】4)把41(-10，B(4,0)代入y=m+r+4求解即可： 1 (2)过点C作CQ川x轴交AD于点0，设D化-+3+4)，根据Sa4-4Sac,可求得PE-3PC,根据 创三角形的定5性质，求得4=3C0,则34 再求出在晚0份折式品+品，无 将D心-+3+4)代入，求得1=2，即可求得答案： 3)设M(m-m+3m+),Nm+3a+),分别求出直线MN、直线CM的解析式，可得点G,只， T华标，根韬MG=Mr,可得3十m32m,根据OF+0G=9 mn+4,4 mn+4,43 CT可得m+n3m-3-2m” 4 进而求出n值，将”=3代入2m2-6m+mm=0:求出m值，即可得解. a-b+4=0 【详解】(1)解：把A(l,0),B(4,0)代入y=a2+bx+4得： 16a+4b+4=0 13/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a=-1 解得b=3· 抛物线的表达式为》=-0+3x+4。 …2分 (2)解：如图，过点C作CQ‖x轴交AD于点Q, 对于少=-r+3x+4 ,令x=0,则=4， .C(0,4) D 4EBx 设D(-+3+4) .E(t,0) A(-1,0) .AE=t+1, 1 SAACP=SAACE, :.CP-1CE 4 .PE=3PC, :CQ∥AE ∴.△QPC∽△APE CO CP 1 AE EP3 即AE=3CQ, 14/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CQ=+1 3 sd) 设直线10的解析式为》=c+b(k≠0) 将A(-L0), 代入y=x+b, -k+b=0 +1k+b=4, 得 k=12 t+4 解得，12· b= t+4 :直线A0的解析式为y=12 12 x+ t+4t+4” 将D收-1+3+4)代入y=12 +2 t+4t+4: 得-+3+4=1212 …t+ t+4t+4, -+00-4)=12+9 t+4, 解得t=2或t=-1, 点D在第一象限， ∴t=2, 将=2代入'=-+3+4 可得=-22+3×2+4=6 .D(2,6) …6分 (3)解：过点M作MH1y轴于点H, 15/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图(2) 设-43+.+动+)，直线的解折式为=+化0 mk+b=-m2+3m+4 得nk+b=-n2+3n+4, k =3-m-n 解得b=mn+4, 产直线W的解析式为'=(3-m-m)x+mn+4 令x=0,可得y=mn+4, ∴.T(0,mn+4) 令y=0 (3-m-n)x+mn+4=0 ,则 解得x=n+4 m+n-3, . F mn+4 :∠CG0=∠MFG. .∠OFT=∠MFG ∴.OFT=∠CG0, :∠CG0+∠OCG=90°，∠OFT+∠0TM=90°. .∠OCG=∠OTM, ∴.CM=TM, MH⊥CT, 16118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :CH=TH, 又C0,4) ∴-m2+3m+4=c+业=4+mn+4=mn+8 2 2 整理得2m2-6m+mn=0, 设直线CM的解析式为'=r+6(传≠0) 0×k2+b2=4 得mk2+b2=-m2+3m+4, [k2=3-m 解得b2=4, 直线CM的解析式为”=(6-m)x+4。 令=0，则 (3-m)x+4=0 4 解得x m-3, ∠CGO=∠MFG, .MG=MF, ..XG-XM=XM-XF 即+。=2xw mn+4 4 m+n-3'm-3 =2m, 又oF+0G=3cr. 2 mn+443 m+n-3m-32(mn+4-4), 17/18 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 化简得2m=- 2mn 解得n=、4 3 代入2m2-6m+mm=0,得2m-6m- 将ns、4 3m0 解得m=0(含去)或m= 3, 将= 11 =3,代入y=(3-m-n)x+mn+4, 28 可得直线MN的解析式为y=一9.10分 18/18………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版九年级上册第18~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 3．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 4．如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 6．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接为的中点，连接分别与交于点N、K；则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．已知，那么______． 10．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 11．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．为的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 12．数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 13．如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 14．在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 15．如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 16．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 18．（5分）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 19．（6分）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 20．（6分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（6分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 22．（8分）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 23．（8分）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 24．（8分）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 25．（10分）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 26．（10分）已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北京版九年级上册第18~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 2．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 3．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 4．如图，，m分别交a，b，c于点A，B，C，n分别交a，b，c于点D，E，F，若，则线段的长为（      ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得， ∴． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 6．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 7．经过点、点的抛物线与轴有两个不同的交点，与轴的交点在轴上方，则当时，的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及坐标特点，先求对称轴直线，直线，列方程求出，代入原抛物线关系式，根据抛物线与轴有两个公共点及抛物线与轴的交点在轴的上方列不等式，，求出，最后根据抛物线的递增情况求的取值范围． 【详解】 解：∵、， ∴抛物线对称轴是直线， ∵抛物线对称轴是直线， ， ∴抛物线， ∵抛物线与轴有两个公共点， ， ， ， 则或， 解得，或， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， ， 则， 把代入， 得， ，且对称轴是直线， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ，且， ， 则当时，， 当时，， ． 8．如图，正方形的边长为4，延长至E使，以为边在上方作正方形，延长交于M，连接为的中点，连接分别与交于点N、K；则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理得到，即可判断①；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可判断②；根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到即可判断③；根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵正方形的边长为4，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，故③正确； 延长交于M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的结论有①③④． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．已知，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，关键是由已知比例关系，求代数式的值；通过拆分和倒数关系求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 10．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 11．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．为的黄金分割点，若，则的长为___________．（结果保留根号） 【答案】或 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割点的比例关系并分情况讨论是解题的关键．先根据黄金分割的定义，分和两种情况，分别确定较长线段与全线段的比例关系，再通过线段的和差求出的长度． 【详解】解：情况1：当时， ∵点为的黄金分割点（），， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵点为的黄金分割点（），， ∴， 故答案为：或． 12．数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 13．如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据函数图象的交点坐标确定不等式的解集． 根据函数图象的交点坐标可得关于的不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与直线的交点为， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，矩形与矩形的位置如图所示，点、在轴上，点、在轴上，反比例函数的图象经过点，若，则空白部分的面积的值为_____． 【答案】6 【分析】该题考查了反比例函数的几何意义，根据反比例函数中值的几何意义得出，再求出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，四边形与是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】证明，得出，，再证明，即可得，等量代换求出，同理得到证明，得到，等量代换求出，进而求解即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 16．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据题意，对进行分类讨论，再根据函数的性质，逐个求出满足条件的的取值范围即可． 【详解】解：第一种情况，当时，函数为， 当时，，不符合题意； 第二种情况，当时，函数为， 开口向上，对称轴为直线，即当时，随的增大而增大， 当时，，解得，不符合题意； 第三种情况，当时，函数为， 开口向下，对称轴为直线，顶点， 当时，即， 若，则，解得，符合题意； 当时，即， 当时，随的增大而增大， 当时，，解得， ， 不存在； 综上可得：． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共72分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-26题每题10分。 17．（5分）已知四个数成比例，且． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点为比例的基本性质，熟练掌握比例基本性质的变形是解题的关键。 由比例的基本性质得到，代入数值进行求解. 【详解】（1）解：成比例，且； ； 已知； ； 解得； 故答案为：.··················2分 （2）解：成比例，且； ； 已知; ； 解得； 故答案为：.·················5分 18．（5分）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为；·················2分 （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是．·················5分 19．（6分）已知与成反比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)点在该反比例函数的图象上，则m，n的大小关系为：____________．（用“>”“<”或“=”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的值，比较大小即可. 【详解】（1）解：与成反比例， ∴设， 将代入解析式得， 解得， ∴关于的函数表达式为；·················3分 （2）解：∵点在该反比例函数图象上， ∴将代入得，将代入得， ∵， ∴.·················6分 20．（6分）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ， ， ， ， (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ，·················3分 （2）解：△△， ， ， ．·················6分 21．（6分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：；·················2分 （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析；·················4分 （3）解：由函数图象可知，当时，．·················6分 22．（8分）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 【答案】(1)20 (2)灞河支流这段的宽度为200米 【分析】本题考查平均数，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数的定义计算，即可解答； （2）延长交MN于点B，易得分别为的高．由，得到， 可证，求出，即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：20．·················2分 （2）延长交MN于点B，如图． 易得分别为的高． 河两岸互相平行， ， ，                   ，         ， 解得米， 米， 即灞河支流这段的宽度为200米．·················8分 23．（8分）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ；·················4分 （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，．·················8分 24．（8分）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)720 (3)15 (4)是定值，比值为 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可． (2) 观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，将代入求值． (3) 分别令和，求出对应的弦长，再求差． (4) 由代入两个反比例函数表达式，化简后判断与的比值是否为定值． 【详解】（1）由数据表验证： 解： ， 与成反比例关系，， 在坐标系中描点、、、、、、、、， 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象．·················2分 （2）解：观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，， 当cm时， （Hz）， 琴弦1的振动频率为．·················4分 （3）解：由数据表验证：， ， 当Hz时，（cm）， 当Hz时，（cm）， （cm）， 即琴弦2与琴弦1的长度之差为．·················6分 （4）解：设琴弦1的长度为，琴弦2的长度为， 由题意：， ， ， 琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为．·················8分 25．（10分）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为， ∴，； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【分析】（1）根据题意可得，由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为，可证明，得到，，证明是等腰直角三角形，推出；证明，得到，，求出，由勾股定理得，即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴；·················3分 （2）解：①如图所示，即为所求； ·················5分 ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为， ∴，； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴．·················10分 26．（10分）已知抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1）：D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接、交于点P，连接，若，求点D的坐标； (3)如图（2）：点M、N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴、y轴于点F、T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）过点C作轴交于点Q，设，根据，可求得，根据相似三角形的判定与性质，求得，则，再求出直线的解析式，并将代入，求得，即可求得答案； （3）设，，分别求出直线、直线的解析式，可得点G，F，T坐标，根据，可得，根据可得，进而求出n值，将代入，求出m值，即可得解． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的表达式为；·················2分 （2）解：如图，过点C作轴交于点Q， 对于，令，则， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将代入， 得， ， 解得或， 点D在第一象限， ， 将代入，可得， ；·················6分 （3）解：过点M作轴于点H， 设，，直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，可得， ， 令，则 解得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 整理得， 设直线的解析式为， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，则 解得， ， ， ， ， 即， ， 又， ， 化简得， 解得， 将代入，得， 解得（舍去）或， 将，，代入， 可得直线的解析式为．·················10分 / 学科网（北京）股份有限公司 $