10.4-10.5 平面与平面间的位置关系与异面直线间的距离（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦平面与平面的位置关系及异面直线间的距离，系统梳理面面平行、垂直的判定与性质定理，二面角的概念及计算，异面直线距离的定义与求法，构建从线面关系到面面关系的知识脉络，提供定理的文字、图形、符号三重表示及10类分层题型作为学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，通过正方体、三棱柱等模型培养空间观念（数学眼光），典例与变式训练强化推理论证能力（数学思维），符号语言与图形结合提升表达精准度（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

10.4.10.5 平面与平面间的位置关系与异面直线间的距离 教学目标 1.理解平面与平面的两种位置关系 2.掌握面面平行的判定定理与性质定理 3.理解二面角相关概念会求解二面角大小 4.了解异面直线之间距离的含义与求法 5.强化空间想象能力与立体几何推理论证能力 教学重难点 重点.面面平行判定与性质二面角计算 难点.面面平行条件识别二面角平面角的寻找异面直线距离求解 知识点01 面面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条__相交直线____与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ,， , __ ____ 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线__平行____于另一个平面 ,______ 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面___相交___，那么两条___交线___平行 ,,______ 知识点02 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的__垂线____，则这两个平面垂直    __ ____、____________ 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_____的直线与另一个平面垂直    ______、______、______、__ ____⇒__ ____ 知识点03 二面角的有关概念 （1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. （2）二面角：从一条直线出发的__两个半平面________所组成的图形称为二面角，这条直线称为__二面角的棱___，这两个半平面称为_二面角的面____. 如图，以直线为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__垂直于___棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围：_______．平面角是直角的二面角称为__直二面角___. 知识点04 异面直线间的距离定义 两条异面直线的_公垂线段_____的长度叫做这两条异面直线的距离． 两条异面直线的公垂线有几条？__只有一条_____ 题型01 面面关系有关命题的判断 【典例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【变式1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型02 证明面面平行 【典例1】（24-25高二上·上海静安·期中）若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【变式3】如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.求证：平面 平面. 题型03 面面平行的性质及其应用 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【变式2】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【变式3】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 题型04 面面平行的存在性 【典例1如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【变式1】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【变式2】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 题型05 证明面面垂直 【典例1】（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【变式1】如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【变式2】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【变式3】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 题型06 面面垂直的性质及其应用 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【变式2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式3】（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 题型07 面面垂直的存在性 【典例1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【变式1】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【变式2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【变式3】如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且． (1)求证:平面; (2)若， （i）求证:平面； （ii）在棱上是否存在点N，使得平面平面?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 题型08 求二面角 【典例1】如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且． (1)求证:平面; (2)若， （i）求证:平面； （ii）在棱上是否存在点N，使得平面平面?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， .    (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【变式2】如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， .    (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【变式3】（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 题型09 由二面角求其他量 【典例1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【变式1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段检测）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【变式3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 题型10 异面直线间的距离 【典例1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【变式1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是______. 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的余弦值的大小． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 5．（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 6．（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. (1)证明：平面丄平面； (2)若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 7．（25-26高三·天津·一轮复习）在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．证明：侧面平面； 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面 平面； (3) 平面平面． 9．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 10．如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 11．如图，在等腰中，，分别为线段的中点，与分别是以为边的等边三角形，现将与分别沿向上折起，则在翻折的过程中，下列结论中可能正确的是______．（填序号） ①；                    ②； ③平面平面；        ④． 12．（25-26高二上·上海·期中）如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 15．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4.10.5 平面与平面间的位置关系与异面直线间的距离 教学目标 1.理解平面与平面的两种位置关系 2.掌握面面平行的判定定理与性质定理 3.理解二面角相关概念会求解二面角大小 4.了解异面直线之间距离的含义与求法 5.强化空间想象能力与立体几何推理论证能力 教学重难点 重点.面面平行判定与性质二面角计算 难点.面面平行条件识别二面角平面角的寻找异面直线距离求解 知识点01 面面平行判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条__相交直线____与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ,， , __ ____ 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线__平行____于另一个平面 ,______ 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面___相交___，那么两条___交线___平行 ,,______ 知识点02 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的__垂线____，则这两个平面垂直    __ ____、____________ 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_____的直线与另一个平面垂直    ______、______、______、__ ____⇒__ ____ 知识点03 二面角的有关概念 （1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. （2）二面角：从一条直线出发的__两个半平面________所组成的图形称为二面角，这条直线称为__二面角的棱___，这两个半平面称为_二面角的面____. 如图，以直线为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__垂直于___棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，二面角的平面角的取值范围：_______．平面角是直角的二面角称为__直二面角___. 知识点04 异面直线间的距离定义 两条异面直线的_公垂线段_____的长度叫做这两条异面直线的距离． 两条异面直线的公垂线有几条？__只有一条_____ 题型01 面面关系有关命题的判断 【典例1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理及空间想象逐一判断即可. 【详解】A：若，，则或，错， B：若，，则平行、异面、相交均可能，错， C：假设，因，则，又，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，对， D：平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，（如：三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧），错. 故选：C 【变式1】（2025高二上·上海松江·专题练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．，，则 B．，，则 C．若m，n是异面直线，，，，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理及空间想象逐一判断即可. 【详解】A：若，，则或，错， B：若，，则平行、异面、相交均可能，错， C：假设，因，则，又，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，对， D：平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，（如：三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧），错. 故选：C 【变式2】（2025·上海杨浦·一模）若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面垂直的性质判断B；根据空间直线的位置关系判断C；根据面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A：，，，则有可能与异面，A不对； 对于B：，，则有可能 ，B不对； 对于C：，，则有可能与异面，C不对； 对于D：，，则在内必存在直线，则，而， 则有，D对. 故选：D 题型02 证明面面平行 【典例1】（24-25高二上·上海静安·期中）若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面垂直的性质判断B；根据空间直线的位置关系判断C；根据面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A：，，，则有可能与异面，A不对； 对于B：，，则有可能 ，B不对； 对于C：，，则有可能与异面，C不对； 对于D：，，则在内必存在直线，则，而， 则有，D对. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1) 证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 (2) 证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 (3) 线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1) 证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 (2) 证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 (3) 线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 【变式3】如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.求证：平面 平面. 【答案】 连接交于点，连接.由三棱柱的性质可知四边形均为平行四边形，为的中点. 为的中点，为的中位线，. 又平面平面 平面. 在平行四边形中，分别为棱的中点，则四边形为平行四边形，. 又平面平面 平面. ，平面， 平面 平面. 题型03 面面平行的性质及其应用 【典例1】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为______________. 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 【变式2】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【答案】(1) 如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； (2) 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面； （2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点． 【变式3】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【答案】(1) 如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； (2) 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面； （2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点． 题型04 面面平行的存在性 【典例1如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. (2) 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【变式1】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1) 连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，PQ不在平面内， 故平面. (2)，证明如下： 当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即，故，所以. 又平面，PR不在平面内， 所以平面，又，平面. 所以平面平面. 【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可； （2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可. 【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 证明略； （2）当的值为时，能使平面平面. 【变式2】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1) 连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，PQ不在平面内， 故平面. (2)，证明如下： 当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即，故，所以. 又平面，PR不在平面内， 所以平面，又，平面. 所以平面平面. 【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可； （2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可. 【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 证明略； （2）当的值为时，能使平面平面. 题型05 证明面面垂直 【典例1】（25-26高三下·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. (1)求证：平面平面PAC： (2)若E是PC的中点，四棱锥P-ABCD的体积为，求ED与平面PAC所成角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形得，由底面得，故平面，从而平面平面； （2）设，由体积公式及已知体积解得；利用中位线得 且 ，，由 平面知线面角为，计算得角的大小. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以， 又因为底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）设，底面为菱形，， 因此菱形面积，四棱锥体积​， 由题可知​​，得，即. 由于，则为中点，故. 连接，又由于是的中点，则 ，， 从而底面，即， 又，从而平面，可知与平面所成角为. ，由于 ， 故与平面所成角的大小为. 【变式1】如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明：记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 【点睛】 【变式2】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 【变式3】如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 题型06 面面垂直的性质及其应用 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与平面所成角为； (3)，理由如下： 在中，因为是的中点，是的中点，故； 因为平面，且平面； 故平面； 又因为平面平面，且平面， 故． 【分析】（1）在平面图中，根据三角形中已知两边及其夹角，利用余弦定理计算第三边即可； （2）利用线面角的作角方法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与交点，直线与投影所形成的夹角为线面角，通过解三角形的方法计算夹角即可； （3）根据线面平行的性质可知，过平面的平行线的平面与已知平面平行，交线与这条直线平行，由此进行证明即可． 【详解】（1）在中，已知，，； 由余弦定理可得， 整理得，解得； （2） 如图所示，作，连接； 因为平面，且平面，故平面平面； 因为平面平面，且，平面， 故平面，故为直线与平面所成角； 由（1）知，在中，已知，，， 故为直角三角形，； 根据面积公式可得，解得， 则； 在中，，，， 可得，则， 在中，由余弦定理可得 ， 解得； 故在直角三角形中，， 因为，故； 故直线与平面所成角为； 【变式1】（25-26高一下·上海·期末）如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． (1)求：线段的长； (2)求：直线与平面所成角的大小； (3)连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与平面所成角为； (3)，理由如下： 在中，因为是的中点，是的中点，故； 因为平面，且平面； 故平面； 又因为平面平面，且平面， 故． 【分析】（1）在平面图中，根据三角形中已知两边及其夹角，利用余弦定理计算第三边即可； （2）利用线面角的作角方法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与交点，直线与投影所形成的夹角为线面角，通过解三角形的方法计算夹角即可； （3）根据线面平行的性质可知，过平面的平行线的平面与已知平面平行，交线与这条直线平行，由此进行证明即可． 【详解】（1）在中，已知，，； 由余弦定理可得， 整理得，解得； （2） 如图所示，作，连接； 因为平面，且平面，故平面平面； 因为平面平面，且，平面， 故平面，故为直线与平面所成角； 由（1）知，在中，已知，，， 故为直角三角形，； 根据面积公式可得，解得， 则； 在中，，，， 可得，则， 在中，由余弦定理可得 ， 解得； 故在直角三角形中，， 因为，故； 故直线与平面所成角为； 【变式2】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）略 （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 【变式3】（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明如下： 因为、分别为线段、上的点，且， 所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)证明如下： 因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 【分析】（1）利用三角形等比例性质，根据线面平行的判定推理即得. （2）连接，根据给定条件，根据勾股定理及余弦定理求得，根据面面垂直性质定理平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. 题型07 面面垂直的存在性 【典例1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 【变式1】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且． (1)求证:平面; (2)若， （i）求证:平面； （ii）在棱上是否存在点N，使得平面平面?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2)（i）因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，故， 所以，又，平面， 所以平面. （ii）存在点， 【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证. （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为M，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 题型08 求二面角 【典例1】如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且． (1)求证:平面; (2)若， （i）求证:平面； （ii）在棱上是否存在点N，使得平面平面?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2)（i）因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，故， 所以，又，平面， 所以平面. （ii）存在点， 【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定即可证. （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据和得到，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂直的判定即可证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为M，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式1】如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， .    (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)如图，因为，点 为 的中点，所以，所以， 又因为 是等边三角形， 所以，所以，所以， 因为平面 ，所以 平面 ； (2) (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先应用四边形是平行四边形得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出二面角的平面角是，最后应用边长得出角的大小； （3）先设点到平面的距离为，应用等体积法计算求出，再应用线面角正弦计算求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，因为 是等边三角形，所以， 取，因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， ∴二面角的平面角是， 因为 是等边三角形，，所以， 所以，则，所以二面角 为．    （3）设点到平面的距离为， 所以，所以， 又因为，所以 ，所以， 设直线 与平面 所成角为，所以. 【变式2】如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， .    (1)求证: 平面 ； (2)求二面角 的大小； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)如图，因为，点 为 的中点，所以，所以， 又因为 是等边三角形， 所以，所以，所以， 因为平面 ，所以 平面 ； (2) (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先应用四边形是平行四边形得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出二面角的平面角是，最后应用边长得出角的大小； （3）先设点到平面的距离为，应用等体积法计算求出，再应用线面角正弦计算求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，因为 是等边三角形，所以， 取，因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， ∴二面角的平面角是， 因为 是等边三角形，，所以， 所以，则，所以二面角 为．    （3）设点到平面的距离为， 所以，所以， 又因为，所以 ，所以， 设直线 与平面 所成角为，所以. 【变式3】（25-26高二下·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证； （2）过作，垂足为，求证平面，即可得出点到平面的距离，再求出点到直线的距离，即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为， 所以，则， 所以点到直线的距离为， 所以二面角的平面角的正弦值为， 由于二面角的平面角为钝角，则其正切值为， 故二面角的大小为. 题型09 由二面角求其他量 【典例1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； (2)3 【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合，即可得出线面垂直； （2）应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用边长计算求值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 【变式1】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； (2)3 【分析】（1）应用面面垂直性质定理结合，即可得出线面垂直； （2）应用二面角定义得出二面角的平面角为，再应用边长计算求值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段检测）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，作图，通过异面直线所成角的性质，找到异面直线与所成角为，然后，利用余弦定理和中位线性质，分别求出和，进而得到所求角的正切值. 【详解】如图， 过作，为的中点，连接， 异面直线与所成角为，设， ，，， 又 ， ，又，且， 平面，， 在正方形中，设边长，，，， ， . 故答案为： 【变式3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 在中，由三角形中位线性质可得：，且， 结合、，可推出，且， 因此与共面，即四边形是平面四边形， 故点在平面内. (2)点到平面的距离为； (3)线面角的正弦值为. 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质，结合平行四边形的性质，推出平行且等于，得到四边形为平面四边形，由此说明在平面中； （2）由平面，结合是中点，取中点得到，再结合，推出到平面的距离等于长度的一半，代入直接得到距离结果； （3）先根据平面，确定就是二面角的平面角，结合已知余弦值和，解三角形求出到平面的高，再利用是中点，得到到平面的距离，最后结合的线段长度，通过线面角的定义直接计算出该角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为平面，且是平行四边形，所以， 因此平面, 即点到平面的距离为的长度，也就是， 又是的中点，根据中点的性质：点到平面的距离是点到平面距离的一半， 因此点到平面的距离为. （3）由平面，平面得，， 所以就是二面角的平面角，由题知， 因为，由余弦定理， 即，解得，所以, 过作于，因为平面，平面， 所以，结合，平面得平面， ，因为是的中点， 所以到平面的距离是到平面距离的一半，即， 由（1）知，，且平面，故， 在等腰中，，又， 因此在直角梯形中：， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 题型10 异面直线间的距离 【典例1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是和的中点，求异面直线与之间的距离. 【答案】 【分析】取的中点G，连接EG、FG，则可证得平面，则异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离，再转化为点与平面的距离，连接，，设，则可得为点到平面的距离，然后求解即可. 【详解】如图： 取的中点G，连接EG、FG，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线与之间的距离即为直线与平面间的距离， 即点B与平面的距离. 连接，，设. 因为 ，，所以. 因为平面，平面，所以， 因为 ，所以 因为，平面 所以平面，即为点到平面的距离. 因为，， 所以， 即异面直线EF与AB之间的距离为. 【变式1】（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在空间四边形ABCD中，，，二面角的平面角等于120°.求直线AC与BD之间的距离. 【答案】 【分析】根据垂直关系找出异面直线AC与BD的公垂线段，求出线段长度即异面直线的距离. 【详解】如图： 取BD的中点E. 因为，，所以，， 从而二面角的平面角为， 又平面，所以平面. 在中，作，垂足为F，则EF为异面直线AC与BD的公垂线段. 由，， 可得，. 因为二面角的平面角， 所以由余弦定理，得 . 由三角形面积公式，得. 所以，即为所求异面直线的距离. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）在长方体中，，，，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】根据长方体的性质得出是异面直线和的公垂线；再根据异面直线间距离的定义即可求解. 【详解】 由长方体性质可得：，平面. 因为平面, 所以， 则是异面直线和的公垂线， 所以异面直线和的距离为 故答案为： 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是______. 【答案】①③ 【分析】利用线面垂直的性质可知①符合题意；举反例知②不符合题意；利用异面直线以及线面平行的性质可知③符合题意.由线面平行的性质即可得，可能相交，可知④不符合题意； 【详解】对于①，当，不平行时，不存在直线与，都垂直， ，，故①正确； 对于②,存在一个平面，使得，；则，相交或平行（比如墙角处的三个互相垂直的平面），所以②不正确； 对于③,由，，，，所以存在过直线的平面，使得，且，即有，因为，是两条异面直线，所以相交，同时，所以可以推出，故③正确， 如图所示： 对于④，存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，比如：若直线，同时平行于与的交线，此时，是相交的（如下图所示），不能推出；所以④不正确； 故答案为 ：①③ 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错； 对于B选项，若，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．    (1)求三棱柱的体积与表面积； (2)求证：平面平面； (3)求二面角的余弦值的大小． 【答案】(1)；； (2) 证明：因D为中点，结合题意，可得， 又平面，平面，则. 因平面，，则平面. 又平面，则平面平面； (3). 【分析】（1）由题目数据可得三棱柱体积与表面积； （2）通过证明平面可完成证明； （3）由题可得为二面角的平面角，然后由余弦定理可得答案. 【详解】（1）由题， ； 三棱柱表面积为：； （2）略 （3）由（2）可得平面，因平面， 则 ，从而为二面角的平面角. 如图，连接，由题可得， ，由余弦定理，.    4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可证，，进而证明平面，即可得面面垂直； （2）分析可知是二面角的平面角，结合长度关系运算求解. 【详解】（1）如图所示，连接，    因为是菱形且知，则是等边三角形， 且是的中点，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：平面，平面，则. 且，可知是二面角的平面角， 在中，，， 故二面角的大小为. 5．（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. (2)证明：在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. (3). 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【点睛】 6．（24-25高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. (1)证明：平面丄平面； (2)若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，∴， 由四边形是正方形有， 又面面，面面，面， ∴面，面，即， 又，且面， ∴面，由面， ∴平面平面； (2)arctan 【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有、，结合面面垂直的性质可得面，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论； （2）是、的交点，连接交于，由线面垂直的性质及射影的性质可得，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角的大小. 【详解】（1）略； （2）若是、的交点，连接交于， 由面，面，即 ， 由（1）知：是在面上的射影，故，连接， ∴是二面角的平面角， 由射影定理知：，，，则，. ∴，故. ∴二面角的大小为. 7．（25-26高三·天津·一轮复习）在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．证明：侧面平面； 【答案】 由是两异面直线与的公垂线可得，，， 又是等边三角形，是的中点，所以， 因平面，故得平面， 又平面，则， 因，平面，故平面， 又平面，所以侧面平面. 【分析】先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可. 【详解】略 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体中，，，是的中点，且，，，求证： (1)平面平面； (2)平面 平面； (3) 平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）要证明平面ABC⊥平面ADC垂直，转化为证明平面; （2）要证明平面平面,转化为证明平面； （3）要证明平面平面，即证明平面. 【详解】（1）因为，且点是的中点， 所以， 由，，，所以,则， 且，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面 （2）因为，，且点是的中点， 所以，，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3）由（1）（2）可知，，， 且，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 9．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 10．如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且．求证：平面平面β． 【答案】因为，所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且，所以平面平面β. 【分析】利用平行四边形的判定与性质先证线线平行，再证线面平行，最后可证面面平行. 11．如图，在等腰中，，分别为线段的中点，与分别是以为边的等边三角形，现将与分别沿向上折起，则在翻折的过程中，下列结论中可能正确的是______．（填序号） ①；                    ②； ③平面平面；        ④． 【答案】①②③ 【分析】根据翻折过程中应关注保持不变的量结合空间中线面关系的判定定理判定①②③的正误，根据反证可判断④的正误. 【详解】对于①，若平面平面，因为，故， 而平面平面，平面，故平面， 而平面，故，故①可能正确； 对于②，设，则，且有， 当点与点重合时，故，故②可能正确； 对于③，若平面和平面同时与平面垂直， 取的中点，连结，由为等边三角形可得， 平面平面，平面，故平面， 同理平面，故， 而平面，平面，故平面， 而为的中位线，故，同理可得平面， 又因为，平面，所以平面平面， 故③可能成立； 对于④，假设与可能平行，由得，事实上， 假设不成立，因此，与不可能平行，故可能正确的结论为①②③． 故答案为：①②③. 12．（25-26高二上·上海·期中）如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【答案】(1)1； (2) (3)①；② 【分析】（1）由三角函数值进行求解； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到即为直线与平面所成角，求出各边长，，得到答案； （3）①点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，进而求出弧长得到答案； ②如图，记点在平面上的投影为，表达出，因为，所以，故. 【详解】（1），，⊥， 故； （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为；    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 【答案】(1) 取中点，连结、， 由四边形为菱形可知，，， 又平面， 平面，又因为平面，； (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可； （3）根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定理和余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为菱形的面积为， 得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为， 所以， 故点到平面的距离为； （3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接， ，，同理， ∵，平面，所以平面， 故点的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ∵，∴，， 则，，所以点的轨迹长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定定理和二面角的定义. 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明： 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. (2)存在，点为的中点，证明： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 15．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为______. 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，设，，由题意证明，进而根据面面垂直的性质定理证，根据勾股定理即可得、与的数量关系，即可求得两点间的最短距离. 【详解】 过点作，交于点，连接， 设，， 因为，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 由，， 所以，， 所以，， 同理可得，， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，是直角三角形， 所以， ， 即， 所以当，即、分别为线段、中点时，有最小值， 即、两点间的最短距离为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键通过面面垂直的性质证明，再根据，，证明是直角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $