数学-【轮轮清·齐鲁名校教育测评】2026年9月高三学业质量检测同类训练题
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内容正文：
2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
数学
1-1.已知集合M={x|-2<x<2},N={-√2,0，√5}，则M∩N=
A.{0}
B.{√2}
C.{-√2,0}》
D.{-√2，√5}
1-2.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-3)<0},则M∩N=
A.{0,1,2}
B.{1,2}
C.{-1,0}》
D.{1}
2-1.已知之=1则x+i=
A.1
当
c
1
2-2.已知z=1则2
C.z+z1
1
1
数
D.2
21
3-1.已知等差数列{am}满足a1十2a2=a5-1,则a?一7a1=
3-2.已知等差数列{am}满足a2十a4十a6=3,a3十a5十a7=9,则a1十ag=
41.设a6为正数且a-6=1,则2g7+
+的最小值为
4-2.已知0<a<6<2,则
A.a>1
B.b>1
C.6+1>2
0
D.a+1
6+1
a
(In x-x,x>0,
5-1.已知f(x)=
为偶函数，则f(-1)+g(-e)=
g(x),x<0
5-2.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)的图像关于直线x=-2对称，且f(x)+
f(x十2)=4，则f(2025)=
A.-2
B.2025
C.2
D.1
6-1.已知向量a=(-1,x十1)，b=(2x,1),则下列命题正确的是
羹
A.若a⊥b,则x=1
B.存在x∈R,使得a∥b
密
C.若x=0,则|a+b|=√5
D.若x=-1,则a在b上的投影向量为b
数学试题第1页（共8页）
6-2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)=
--7---------
b/日
A.-10
B.5
C.15
D.20
7-1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，且AF=3FB,线
段AB的中点为M,O为坐标原点，则OM=
A.2
B37
3
C.5
号
7-2.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线1与C交于A,B两点，且|AB
的最小值为4.过点A,B分别向y轴作垂线，垂足分别为点M,N,则|AM+2|BN|的
最小值为
8-1.已知点P在平面ABCD上的射影恰好落在直线AC上，若直线PA与平面ABCD所成
的角为60°，PA=4,且四边形ABCD是边长为√2的正方形，点P,A,B,C,D都在同一
球的球面上，则该球的表面积为
A.12π
B.15π
C.16元
D.18π
8-2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,
且DD,=AA,=CC,=3BB:=3,点E在C,上，平面BED,交AM,于点F,则
D
Di-
A
B
A.A1,B1,C1,D1四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为12π
D.截面四边形BED1F的周长的最小值为10
9-1.有一组样本数据x1,x2,·,x6,其样本平均数为3，样本方差为6.将数据x7=3也添加
到这组样本数据中，得到一组新样本数据x1,x2,…,x6,x7,则
A.两组样本的样本平均数一定相同
B.两组样本的样本极差一定相同
C.两组样本的样本中位数一定相同
D.两组样本的样本方差一定相同
数学试题第2页（共8页）
9-2.某市开展文旅专题调研，随机抽取了1000名游客的问卷，将他们的“人均花费预算”
(单位：千元)数据绘制成如下频率分布直方图，则下列结论正确的是
个频率组距
0.229
0.149
aF=
884
24681012人均花费预算/千元
A.a=0.054
B.这1000名游客中“人均花费预算”在区间2,6)内的人数为203
C.若从“人均花费预算”在区间[4,6)，[6,8)，[8,10)内的游客中，用分层随机抽样的方法
抽取100人，则“人均花费预算”在区间[6,8)内的游客有25人
D.设这组数据的85%分位数为x,则x<6
10-1.设函数f(x)=x3+mx2十n,且当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，则
A.m+n=0
B.-1≤m≤1
C.当x≥1时，f(x)≥5x-4
D.当x≤-1时，f(x)≤x
10-2.设x=(k≠0)既是函数f(x)=x3十ax2+bx的一个零点，又是f(x)的一个极值点，
且f(x)图象的对称中心的横坐标为x,则
A.a十2k=0
B.x=k是f(x)的极小值点
C.当0<x<k时，f(x+k)<f(2k+1)
D.f(x)的两个极值点之和为2xo
11.已知双曲线C名-Q>0,6>0)的左右焦点分别为FF2P为C上第一象限
内的动点，M(0,2√6)，△F1PF2的内切圆的圆心为I,且当∠F1PF2=90°时，点I的
坐标为(1,2)，则下列说法正确的是
AC的方程为无=1
B.圆I的半径小于26
C.IPM+IPF|的最小值为7
D.若∠F1IF2=120°，则|PF1|IPF2|=96
1-2.如图，已知双曲线C:,-1a>0,b>0),过原点O的直线交C于M,N两点，点A
在C上，直线AN,MN的斜率之积为-4，直线AM与x轴交于点B.若|OB|2=2OM·
OB,则C的离心率为
数学试题第3页（共8页）
12-1.已知正项等比数列{am}的前n项和为Sm,且S2=9,S4=45,则a5=
12-2.记Sn为等比数列{am}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S=。
13-1.已知函数f(x)=厂x2-2x-6,x≤0，
'g(x)=mx-2.若h(x)=f(x)g(x)只有2个
In x,x>0,
零点，则m的取值范围是
13-2.已知函数f(x)=sinx-x,若g(x)=f(x3一x一1)十f(-2x一入)有三个零点，则入
的取值范围是
A.(-3,1)
B.(-∞，-1)U(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞，-3)U(1,+∞)
14-1.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定
理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如14=32+22+
12十02.设45=a2十b2十c2十d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序实数组
(a,b,c,d)的个数为
14-2.已知不等式x1十x2十x3十x4≤13，其中x1,x2,x3,x4是非负整数，则使不等式成立的
四元数组(x1x2,x3,x4)的组数为
A.760
B.1360
C.2380
D.2510
15-1,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2+0sA-2.
c cos C
(1)证明：A=C或B=2C;
(2)若a=3,c=2,求△ABC的面积.
15-2.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=2CD=2.
(1)求2cosB-cosD的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
数学试题第4页（共8页）
16-1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上
的两点，且PG=GH=HD,
(1)证明：GF∥平面BEH;
(2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求平面BEH与平面FGK所
成的二面角的正弦值.
D
、
E
H
K
数
区
16-2.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点.
(1)证明：BD1∥平面C1DE;
(2)若AA1=2AB=4,求直线A1C与平面C1DE所成角的正弦值.
D
A
B
数学试题
第5页（共8页）
1y2
记知椭圆C十3@>6>0)的上顶点为B(0,D,左焦点为F(-1.
(1)求C的方程；
(2)若过点F且不过点B的直线L交C于P,Q两点，且BP⊥BQ,求l的方程.
7-2.已知椭圆C十1(a>>0的左右顶点分别为AA,上下顶点分别为B
B:,P为第一象限内C上的动点，A:A:=4,直线PA,PA:的斜率之积为-是
(1)求C的方程；
(2)求四边形PB1B2A2面积的最大值；
(3)直线PA2与直线A1B2交于点D,过点D且与A2B2平行的直线交直线PB1于点
E,证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程.
数学试题第6页（共8页）
18-1.已知函数fx)=2nx+是2，g(x)=c-sinx
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，g(x)<e2x十a.x,求a的取值范围；
(3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(ln)证明：f()-f'(t)>g(s)+g'(s).
18-2.已知函数f(x)=ex-1-x2-alnx.
(1)若曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为3
4
(i)求a;
（i)证明：f(x)在区间(0,1)，(1，+∞)上各恰有一个极值点；
(2)当0<x<2时，f(x)≤0，求a的值.
数学试题第7页（共8页）
19-1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满
十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若飞是一个大于1的整数，则以
为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anam-1…a1aok),其中am,
am-1,…,a0∈{0,1,2，…，k-1},且an≠0，aman-1…a1ao)=ank"十am-1k-1+…十a1k十a0,
如22=2×32+1×3+1，所以22在三进制下可写为211(3).
(1)将五进制数2115)转化成三进制数；
(2)对于任意两个不同的n十1位二进制数amam-1…a1ao2),bnbm-1…b1bo2,an=bm=
1,记随机变量X=之1a:-b:l.
1=0
(ⅰ)若n=3,求X的分布列及数学期望；
(i)证明：E(X)>
21
19-2.已知袋子中有n(n=3,4,…)个质地、大小均相同的球，编号分别为1,2，…，n.按如下方
式从袋子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为i(i=1,2,…,n),则第
二次随机一次性取出i一1个球.记完成上述两次取球后编号为k(k=1,2,…,n)的球被取出
的概率为P(n,k).
(1)若n=3,求P(3,1);
(2)证明：P(n,n)与n的取值无关；
③)设m=1,2,…,n,证明：2≤P(n+1,m+1D≤P(m,m)≤”2
数学试题第8页（共8页）2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
数学
1-1.已知集合M={x|-2<x<2},N={-√2,0，√5}，则M∩N=
A.{0}
B.{2}
C.{-√2,0}
D.{-√2，√5}》
1-2.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-3)<0},则M∩N=
A.{0,1,2}
B.{1,2}
C.{-1,0}
D.{1}
铷
的
2-1.已知z=
-则12+i=
A.1
c
√/10
D.2
1
2-2.已知z=-1则-
C.
1
D.2
-21
3-1.已知等差数列{am}满足a1十2a2=a5-1,则a7一7a1=
3-2.已知等差数列{am}满足a2十a4十a6=3,a3十a5十a7=9,则a1十ag=
41设a6为正数且a+6=1,则2
+的最小值为
部
4-2.已知0<a<b<,则
A.a>1
B.b>1
C.6
172
D.a+
<6+
1
b
(In x-x,x>0,
5-1.已知f(x)=
g(x),x<0
为偶函数，则f(-1)+g(-e)=
5-2.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)的图像关于直线x=-2对称，且f(x)十
总
f(x+2)=4,则f(2025)=
A.-2
B.2025
C.2
D.1
6-1.已知向量a=(一1，x十1)，b=(2x,1),则下列命题正确的是
A.若a⊥b,则x=1
B.存在x∈R,使得a∥b
C.若x=0,则|a+b|=√5
D.若x=-1,则a在b上的投影向量为5b
数学试题第1页（共8页）
6-2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)=
:b/
A.-10
B.5
C.15
D.20
7-1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，且AF=3FB,线
段AB的中点为M,O为坐标原点，则OM=
A.2
B32
3
C.5
n号
7-2.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点，且|AB
的最小值为4.过点A,B分别向y轴作垂线，垂足分别为点M,N,则|AM|+2BN|的
最小值为
8-1.已知点P在平面ABCD上的射影恰好落在直线AC上，若直线PA与平面ABCD所成
的角为60°，PA=4,且四边形ABCD是边长为√2的正方形，点P,A,B,C,D都在同一
球的球面上，则该球的表面积为
A.12π
B.15π
C.16π
D.18π
8-2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,
目DD,三多AA三8CC3BB,3,点E在CC上，平面BED,交AA于点F,则
A
D
A.A1,B1,C1,D1四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为12π
D.截面四边形BED1F的周长的最小值为10
9-1.有一组样本数据x1,x2,…,x6,其样本平均数为3，样本方差为6.将数据x7=3也添加
到这组样本数据中，得到一组新样本数据x1,x2,…,x6,x7,则
A.两组样本的样本平均数一定相同
B.两组样本的样本极差一定相同
C.两组样本的样本中位数一定相同
D.两组样本的样本方差一定相同
数学试题第2页（共8页）
9-2.某市开展文旅专题调研，随机抽取了1000名游客的问卷，将他们的“人均花费预算”
(单位：千元)数据绘制成如下频率分布直方图，则下列结论正确的是
个频率/组距
0.229
0.149.-
7F--
0.027
884-
024681012人均花费预算/千元
A.a=0.054
B.这1000名游客中“人均花费预算”在区间[2,6)内的人数为203
C.若从“人均花费预算”在区间[4,6)，[6,8)，[8,10)内的游客中，用分层随机抽样的方法
抽取100人，则“人均花费预算”在区间[6,8)内的游客有25人
D.设这组数据的85%分位数为x,则x<6
10-1.设函数f(x)=x3+mx2+n,且当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，则
A.m十n=0
B.-1≤m≤1
C.当x≥1时，f(x)≥5x-4
D.当x≤-1时，f(x)≤x
10-2.设x=k(k≠0)既是函数f(x)=x3十ax2十bx的一个零点，又是f(x)的一个极值点，
且f(x)图象的对称中心的横坐标为x。,则
A.a十2k=0
B.x=k是f(x)的极小值点
C.当0<x<k时，f(x+k)<f(2k+1)
D.f(x)的两个极值点之和为2xo
更-1.已知双曲线.C:名-a>0,6>0)的左石焦点分别为F,F2,P为C上第一象限
内的动点，M(0,2√6)，△F1PF2的内切圆的圆心为I,且当∠F1PF2=90°时，点I的
坐标为(1,2)，则下列说法正确的是
A.C的方程为x2一24二1
B.圆I的半径小于2√6
C.PM|+IPF1I的最小值为7
D.若∠F1IF2=120°，则|PF1I|PF2|=96
y2 x4
11-2.如图，已知双曲线C:a=1(a>0,b>0),过原点0的直线交C于M,N两点，点A
在C上，直线AN,MN的斜率之积为-4，直线AM与x轴交于点B.若|OB|2=2OM.
OB,则C的离心率为
数学试题第3页（共8页）
12-1.已知正项等比数列{am}的前n项和为Sm,且S2=9,S4=45,则a5=
12-2.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=-2,则S,=
13-1.已知函数f(x)=x2-2x-6,x≤0，
g(x)=mx-2.若h(x)=f(x)g(x)只有2个
Inx,x>0,
零点，则m的取值范围是
13-2.已知函数f(x)=sinx一x,若g(x)=f(x3一x-1)+f(-2x一λ)有三个零点，则λ
的取值范围是
A.(-3,1)
B.(-∞，-1)U(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞，-3)U(1,+∞)
14-1.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定
理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如14=32十22十
12十02.设45=a2十b2十c2十d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序实数组
(a,b,c,d)的个数为
14-2.已知不等式x1十x2十x3十x4≤13，其中x1,x2,x3,x4是非负整数，则使不等式成立的
四元数组(x1,x2,x3,x4)的组数为
A.760
B.1360
C.2380
D.2510
15-1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知+c0sA=2.
c cos C
(1)证明：A=C或B=2C;
(2)若a=3,c=2,求△ABC的面积.
15-2.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=2CD=2.
(1)求2cosB-cosD的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
数学试题第4页（共8页）
16-1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上
的两点，且PG=GH=HD
(1)证明：GF∥平面BEH;
(2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求平面BEH与平面FGK所
成的二面角的正弦值.
G
E
H
D
K
数
16-2.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点.
(1)证明：BD1∥平面C1DE;
(2)若AA1=2AB=4,求直线A1C与平面C1DE所成角的正弦值.
D
B
数学试题
第5页（共8页）
1已知椭圆C:十1(a>b>0)的上顶点为B(0,1),左焦点为F(一1
(1)求C的方程；
(2)若过点F且不过点B的直线l交C于P,Q两点，且BP⊥BQ,求l的方程.
72.已知椭圆C:
6=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,
B,P为第一象限内C上的动点，AA:=4,直线PA1,PA:的斜率之积为-
(1)求C的方程；
(2)求四边形PB1B2A2面积的最大值；
(3)直线PA2与直线A1B2交于点D,过点D且与A2B2平行的直线交直线PB1于点
E,证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程.
数学试题第6页（共8页）
18-1.已知函数f(x)=2nx+是g(x)=e-sinx
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，g(x)<e2x十ax,求a的取值范围；
(3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(1n),证明：f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
18-2.已知函数f(x)=ex-1-x2-alnx.
(1)若面线y=f(x)在点1，(1)处的切线的倾斜角为3不
(i)求a;
(i)证明：f(x)在区间(0,1)，(1，十∞)上各恰有一个极值点；
(2)当0<x<2时，f(x)≤0，求a的值.
数学试题第7页（共8页）
19-1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满
十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于1的整数，则以
为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anam-1…a1ao),其中an,
am-1,…,ao∈{0,1,2，…，k-1},且an≠0，anam-1…a1a)=ank"十an-1kn-1+…十a1k十a0,
如22=2×32+1×3+1，所以22在三进制下可写为211(3).
(1)将五进制数2115)转化成三进制数；
(2)对于任意两个不同的n十1位二进制数anan-1…a1ao(2),bnbm-1…b1bo(2),an=bm
1,记随机变量X=之a:-b:l.
=0
(1)若n=3,求X的分布列及数学期望；
(1)证明：E(X)>分
19-2.已知袋子中有n(n=3,4,…)个质地、大小均相同的球，编号分别为1,2，…，n.按如下方
式从袋子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为i(i=1,2,…,n),则第
二次随机一次性取出i一1个球.记完成上述两次取球后编号为k(k=1,2,…,n)的球被取出
的概率为P(n,k).
(1)若n=3,求P(3,1);
(2)证明：P(n,n)与n的取值无关；
(3)设m=1,2…,n,证明：≤P(n+1,m+1)≤P(n,m）≤"才是
2n1
数学试题第8页（共8页）
2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
参考答案及解析·数学
1-1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2),N=5-1.-e【解析】因为f(-1)=f(1)=ln1-1=-1,
{-√2,0，w5},所以M∩N={-√2,0}.
g(-e)=f(-e)=f(e)=1-e,所以f(-1)+
1-2.B【解析】因为M={-1,0,1,2},N={x|0<x<3},
g(-e)=-e.
所以M∩N={1,2.
5-2.C【解析】因为定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)
1+i一1，所以z十
2-1.D【解析】因为z=1÷1-D(1+D2
的图像关于直线x=一2对称，所以f(2x十4)=
f[2(-4-x)+4],即f(2x+4)=f(-2x-4),所以
+做+-》+()=
f(x)是偶函数.又f(x)+f(x十2)=4，所以f(x十4)
4-f(x十2)=4-[4-f(x)]=f(x),所以f(x)的
1
1+i
2-2.A【解标】因为x=后-1)什1D=-2-2,
周期为4.又f(-x)=f(x),f(x)+f(x十2)=4，所
所以=名+2
1
以∫(-x)+f(x+2)=4,所以∫(1)=2，所以
f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2.
3-1.3【解析】设{an}的公差为d,则由a1十2a2=as一1，
6-l.AC【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即一2x+
1
得a1+2a:+2d=a1+4d-1,整理得d-a1=2,所
x十1=0，解得x=1,故A正确；对于B,若a∥b,
以a?-7a1=6(d-a1)=3.
则(-1)×1-(x+1)×2x=0,整理得2x2十2x+1=
3-2.4【解析】由题意得a2十a6=2a4,as十a?=2a5,则
0,此方程无解，故不存在x∈R,使得a∥b,故B错误；
a2十a4十a6=3a4=3,a3十a5十a7=3a5=9,所以
对于C,当x=0时，a+b=(-1,2),所以|a+b=√5，
a4=1,a5=3,所以a1十a8=a4十a5=1十3=4.
故C正确；对于D,当x=-1时，a=(-1,0),b=
4-1.号【解析】因为a+6=1,所以2a+1+26=3,所以
(-2,1),则a·b=2,所以a在b上的投影向量为
+六-号(+品)2a+1+0)
1
6)b三2b,故D错误
1b2
6-2.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
+2+结)≥当且仅当
a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),所以
201,即a=1
a·(a-b)=15.
2b
,6=
时，等号成立，故20十十2
1
4
的最小值为号
a
4-2.C【解析】由0<a<1,得a2<1,即0<a<1,故
b
A错误b的取值可以是a,1D和[，。)故B错误，
6+1>a+>2a·
21
1
7-1.B【解析】根据对称性，不妨设直线AB的倾斜角为
a
0
=2,故C正确；a十
锐角，如图，设C的准线为l,∠AFx=0,|FB|=m,
a）-(b+6)=a-b)+62-(a-b.
则|FA|=3m.过点A作AQ⊥x轴于点Q,AA'⊥L于
ab
ab
点A',则由抛物线的定义得3mcos0+2=|AA'|=
因为0<a6<1,所以。<a,又a-6<0,所以a十
3m,同理过点B作BB'⊥1于点B',可得2一
>6+，故D错误
m©0s0=1BB1=m,解得0=60，m=专设点
,所以；
M(xM,yu),则xM-1=mcos0,解得cM=5
所以过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为
4πR2=12π，故C正确；对于D,由题意知平面
yM=3(M-1)=
23
3,故IOM|=√x,+y=V37.
ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面
BED1=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1=BE,所以
D,F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F
A
为平行四边形，则周长l=2(BE+ED1).沿CC1将相
M
邻两四边形推平，当B,E,D1三点共线时，BE十ED1
最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D正确.
D
D
B
B
B
A
7-2.2√2【解析】因为AB|min=2p=4,所以p=2,所以
抛物线C:y2=4x.设l的方程为x=my+1,A(x1,
D-----
D
1),B(x2y2,联立区=my+1,
得y2-4my-4=
y2=4x,
①
②
0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,|AM|+2|BN|=
9-1.AB【解析】因为样本数据x1,x2,·,x6的样本平均
+-+2x+2厚×号
数为3，且x7=3,所以样本数据x1,x2,…,x6,x7的
4
=22,
样本平均数也为3，且极差相同，而中位数不一定相
当且仅当y1=一√2y2时，等号成立，所以(|AM|+
同，故A,B正确，C错误；设样本数据x1,x2,…,x6
2BNI)min=22.
的样本方差为s,样本数据x1,x2,…,x6,x7的样本
8-1.C【解析】由点P在平面ABCD上的射影恰好落在
直线AC上，得平面PAC⊥平面ABCD.设BD∩AC=
方装为，则=2红，9r=5时-号2，
G,在平面PAC内，过点G作AC的垂线与PA交于
3)1=号2，-3=0<1，放D0误
点O,则OG⊥平面ABCD,所以∠PAC=60°.在
Rt△AOG中，由AG=1,得OA=2.又PA=4,所以O
9-2.ACD【解析】由题意知数据在区间[4,6)内的频率为
为PA的中点，所以OA=OP=OB=OC=OD=2,
1-2×(0.229+0.149+0.027+0.027+0.014)=
即点O为该球的球心，则球O的表面积S=4π×
0.108,所以a=0.108÷2=0.054,故A正确；“人均花
22=16π.
费预算”在区间[2,6)内的人数为1000×2×(0.149+
8-2.ACD【解析】对于A,如图①，取AA1的中点M,
0.054)=406,故B错误；“人均花费预算”在区间
DD1上靠近点D1的三等分点N,连接MN,MB1,
[4,6),[6,8),[8,10)内的游客人数之比为2：1：1，
NC1,易知四边形NMB1C1为平行四边形，四边形
所以用分层随机抽样的方法抽取100人，在区间
NMA1D1为平行四边形，所以MN∥A1D1,MN∥
[6,8)内的游客有25人，故C正确；“人均花费预算”
B1C1,则BC1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共
在区间[0,4)内的频率为(0.229十0.149)×2=0.756<
面，故A正确；对于B,由对称性知，此几何体体积是
0.85,在区间[0,6)内的频率为0.756十0.108=0.864>
底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的
0.85,所以这组数据的85%分位数x在区间[4,6)内，
所以x<6,故D正确.
半，所以V=2×2×4×2=8,故B错误；对于C,如
10-1.ABD【解析】因为当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，
图②，过A1,C1,B,D四点构造正方体ABCD
所以f(1)=1十m+n≤1，即m十n≤0①，f(-1)=
A1B2C1D2,所以外接球直径长为正方体ABCD
-1+m+n≥-1，即m+n≥0②，则由①②得
A1B2C1D2的体对角线长，所以2R=2√3，则R=√3，
m十n=0,故A正确.由上可知f(x)=x3十mx2一m,
·2·
当m=0时，f(x)=x3满足当-1≤x≤1时，-1≤
2k<2k十1，结合f(x)在区间(k,十∞)上单调递增，
f(x)≤1；当m≠0时，f'(x)=x(3x+2m),令
得f(x十)<f(2k十1)，故C正确.令f”"(x)
f(x)=0,则x-0或x=-
当-0≥1，即
(f'(x)',由f'(x)=(x-k)(3x-k),得f”(x)=
3
6x-令了，）=0，得-装从雨号十友=2X
m≤-2时，f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区
2k
=2x0,故D正确.
3
m≤-2’
3
11-1.ABD【解析】设△FPF2的内切圆的半径为r,圆
间(0,1]上单调递减，故应满足f(0)≤1，
此时
I分别切F1F2,PF2,PF1于点Q,S,T,则2a=
f(-1)≥-1，
IPFI-PF2I=(IPTI+FT)-(IPSI+
f(1)≥-1，
|F2S)=|F1T|-|F2S|=1F1Q|-|F2Q|,故点
不等式组无解：当0<一
2父1，即二8<m<0时
Q在C的右支上.又点Q在x轴上，所以Q(a,0).而
IQ⊥F1F2,所以a=x1=1,r=|IQ|=2.又
fx)在区间[-1,0)上单调递增，在区间(0，-2）
∠TPS=90°，所以四边形PSIT为正方形，则|PT|=
上单调递减，在区间（一2]上单调递抢，故应满
IPF1|=r+c+1=c+3,
|PS|=r=2.由{|PF2=r+(c-a)=c+1,解得
2<m<o,
IPF1I2+|PF2I2=(2c)2,
f(0)≤1，
c=5,所以b2=c2一a2=24,则C的方程为x2
足{f(-1)≥-1，解得-1≤m<0,同理可知当
24=1,故A正确：分别过点F1,F,作C的渐近线
f(1)≤1，
y=2√6x的平行线，易知圆I位于两平行线之间，而
()≥-1.
两平行线间的距离为4√6，所以2r<4√6，即r<
0<m≤1时也满足要求.综上，-1≤m≤1，故B
2√6，故B正确；PM|+IPF1I=|PM|+|PF2|+
正确.由题得f(x)=x3十mx2-m=x3十m(x2-1),
2≥|MF2+2=9,仅当点P在线段MF2上时，等号
取m=-1,则f(x)=x3-x2+1,所以f(2)=5.令
成立，故C错误；∠F1PF2=180°-（∠PF1F2+
h(x)=5x-4,则h(2)=6,所以f(2)<h(2),故
∠PF2F1)=180°-2（∠IF1F2+∠IF2F1)=
C错误；因为f'(1)=3+2m,f'(-1)=3-2m,且
180°-2×(180°-∠F1IF2)=180°-2(180°
-1≤m≤1，所以1≤f'(1)≤5,1≤f'(-1)≤5.又
120)=60°在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1Fz2
f(1)=1,f(-1)=-1,所以当x≤-1时，f(x)≤
|PF1I2+|PF2|2-2PF1IIPF2|cos∠F1PF2,即
f'(-1)·(x十1)-1≤x,故D正确.
10-2.ACD【解析】f'(x)=3x2+2ax十b,由题意，得
4c2=(PF1I-|PF2I)2+PF1IPF2,则|PF|·
。解得/=一26，
|PF2|=4c2-4a2=4b2=96,故D正确.
k3十ak2+bk=0,m
3欢+2a+6=0,解得{6=，故A正确f(x)
n29
【解析】设M(x1,y1),A(xo,yo),则N(-x1,
x3-2kx2+k2x=x(x-k)2,f'(x)=(x-k)(3x
1_x1」
).当>0时，)在区间（专）上单调造减，在
621
-y1).由
得5-一6=0，即
(a2621,a
62
区间(k,十∞)上单调递增，所以x=k是f(x)的极
小值点：当k<0时，f(x)在区间（一∞，k)上单调递
y1-y)y+)=1-xx+0）,所以
增，在区间（，号）上单调递减，所以x=友是f(x)
,-0十0-8.又km=1二，kw=
(yi-yo)(y1+yo)a2
的极大值点，故B错误.当0<x<k时，k<x十<
x1一x0
3·
十头，所以k·kN一分又kN·w=一4，所
a
所以f(x)为减函数，所以x3-x一1=2x+入，即
x1十x0
x3一3x-1=入，所以问题等价于方程x3-3x-1=
以瓷=6设B(,0)u≠0，由1o成2-
a2
入在R上有三个不相等的实数根，即函数g(x)=
2OM.OB,得t2=2tx1,即t=2x1.又A,B,M三点
x3一3x一1的图象与直线y=入有三个不同的交点.
由g(x)=x3-3x-1,得g'(x)=3x2-3=3(x+
共线，所以M=及BM=1，=一兰，所以N
x1一t
kMN
1)(x-1),当x∈(-∞，-1)时，g'(x)>0,g(x)单
_y1
调递增；当x∈(-1,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递
a2
减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所
462=
x1三1，则&2=4，故C的离心率e=
I1
以g(x)的极大值为g(-1)=1,极小值为g(1)=-3,
所以入的取值范围是(-3,1).
b25
14-1.60【解析】由题意知a,b,c,d均为不超过6的自然
12-1.48【解析】设等比数列{am}的公比为q,q>0,易知
数，下面分情况讨论：①当最大数为6时，45=62+
a11-g）=9,
32+02+02,此时共有A=12种情况；45=62+22+
q≠1，因为S2=9,S4=45,所以
1-9
所
22+12,此时共有A?=12种情况.②当最大数为5
a1(1-g*)
=45,
时，45=52+42+22+02，此时共有A=24种情
1-9
以-g=1
况.③当最大数为4时，45=42十42十32+22，此时共
以1-g=1+g=5,解得q=2或g=-2(舍去)，
有A=12种情况.综上，满足条件的有序实数组(a,
则a1=3,所以a5=3×24=48.
b,c,d)的个数为12+12+24+12=60.
12-2.22【解析】因为a1=2,S2=a1十a2=-2,所以14-2.C【解析】设a=x1+1,b=x2+1,c=x8+1,d=
a2=一4，故等比数列(a}的公比g=22=一2，所
x4+1,由x1+x2十x3+x4≤13，且x1,x2,x3,x4
是非负整数，将问题转化成求不等式4a十b十c十
以S,=11=g）=22.
d≤17的正整数解的组数.求方程a十b+c+d=
1-q
n(n∈N*,4≤n≤17)的正整数解，可先将n看作n
13-1.(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞)【解析】当x≤0时，
个“1”，将这n个“1”排成一排，在其中间形成的n一1
f(x)=-x2-2x-6=-(x+1)2-5<0:当x>0
个空位中选择3个空位放人隔板，则隔板隔开形成4
时，令f(x)=lnx=0,得x=1,所以f(x)只有一个
组“1”，每组“1”的和分别对应a,b,c,d的值，因此，
零点1.若h(x)=f(x)g(x)只有2个零点，显然
方程a十b十c+d=4的正整数解的组数为C,方程
h(1)=0,故x=1也是h(x)=f(x)g(x)的一个零
a十b十c十d=5的正整数解的组数为C,方程a+
点.若m=0,则函数g(x)=一2没有零点，此时
b十c十d=6的正整数解的组数为C,·,方程a十
h(x)=f(x)g(x)只有1个零点，故m=0不符合题
b十c十d=17的正整数解的组数为C16,所以原不等
意，所以m≠0.当m≠0时，令g(x)=0,得工=2
式的非负整数解的组数为C+C+C十…十C。=
则g(x)有一个异于1的零点，所以2≠1，解得m≠2.
C4+C+Cg+…+C16=Cg+Cg+…+Ci6=…=
C1,=2380.
综上，m的取值范围是(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞).
l3-2.A【解析】f(x)=sinx-x的定义域为R,且
15-1.(1)证明：由已知及正弦定理得nA+osA=2,
sin C cos C
f(-x)=sin(一x)+x=-(sinx-x)=一f(x),所以
即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sinC·
f(x)是奇函数g(x)=f(x3-x一1)十f(-2x-A)有
cos C=sin 2C.
三个零点等价于方程f(x3-x一1)=-f(-2x-A)有
又A,B,C是△ABC的内角，
三个不相等的实数根.又f(x)是奇函数，所以
sin(A+C)=sin B=sin 2C.
f(x3-x-1)=f(2x+λ).又f'(x)=cosx-1≤0，
又B,C∈(0，π)，
。4·
所以B=2C或B+2C=元.
4cos B-4cos Bcos D+cos*D9
8
②.
若B+2C=π，则由A+B+C=π，得A=C.
综上，A=C或B=2C
联立0®，解得S-
-2cos(B+D)≤6
6
(2)解：由题意知a≠c,则A≠C,
所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C.
则s,
由正弦定理得inA-a。3
当且仅当B十D=π时，等号成立，此时，四边形
sin Cc 2'
所以C-名
ABCD的面积取得最大值3y
4
16-1.(1)证明：因为PG=GH,
sin 3C sin (2C +C)=sin 2Ccos C+
所以G为PH的中点.
cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C,
又F为PB的中点，
所以sin3
3
所以由三角形中位线定理可知GF∥BH.
sin C
=4c0s2C-1=2,
因为BHC平面BEH,GF丈平面BEH,
5.
所以2cos2C=4,
所以GF∥平面BEH.
(2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正方形，
cos B=cos 2C=2cos2C-1=-
-1-
所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直
所以血B=碳五-√()-，
线分别为x轴y轴、之轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
1
故△ABC的面积SAAc=2 acsin B=
-×3×2×
W15_3/15
4
4
15-2.解：(1)如图，连接AC.
由余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC?_6-AC
F
2AB·BC
4v2
cos D=AD+CD:-AC:3-AC:
2AD·CD
22,
所以2cosB-cosD=3y2
4
A
设AD=DG=2,则B(22,0),E(10,2),G(0,0,
2),H(0,0,1),K(1,0,0),
B
所以-(10,2）i=2,2-10,G成=(1，
0,-2).
(2)因为CD=1,所以四边形ABCD的面积
设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,之1)，
HE·m=0,
1
S=SAANC+SAACD号AB·BCsin B士2ADD
则
0即1+21=0，
CDsin D=2
Hi·m=0,2x1+2y1-z1=0.
(2sin B+sin D),
令x1=1,得y1=一2，z1=-2,则平面BEH的一个
则2S2=4sinB+4 sin Bsin D+sinD①.
法向量为m=(1,一2，一2).
设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,z2),由(1)可
由(1)可知2cosB-cosD=3y2,
4,
知GF与HB共线，
·5
则
0即-2x=0,
GR·n=0,
令之=1，得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1).
HB.n=0,2x2+2y2-z2=0.
设直线A1C与平面C1DE所成的角为0，
3
令x,=2,得y2=一之z,=1,则平面FGK的-个
则sin0=1eos〈AC,m)1=A交·m
A CIm
法向最为a(2,一号小
1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1_4W14
√4+4+16×√16+4+1
21
所以cos〈m,n〉
m·n
ImIn
所以直线A1C与平面CDE所成角的正弦值
1x2+(-2×(-)+(-x1
为①红
2/29
21
29
17-1.解：(1)由题意得b=1,且由C的焦点F(一1,0)可知
4
C的半焦距c=1.
故平面BEH与平面FGK所成二面角的正弦值
又a2=b2+c2=2,
为
所以C的方程为写+y=1
16-2.(1)证明：如图，连接CD1交C1D于点G,连接EG.
(2)当1垂直于x轴时，显然BP不与BQ垂直，不符
因为正四棱柱ABCD-A1B:CD:的侧面CC1D1D
合题意.
是矩形，
当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=(x十
所以G为CD1的中点.
1)(k≠1)，P(x1,y1),Q(x2y2).
又E为BC的中点，
联立2
+y2=1,
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-
所以EG为△BCD,的中位线，
y=k(x+1),
所以EG∥BD.
2=0,
因为EGC平面C1DE,BD1史平面CDE,
4k2
22-2
所以BD1∥平面C1DE.
则x1十x2=一1十2h221x2-1十2k2
又BP⊥BQ,则BP·BQ=O.
又B驴=(x1y1-1),B=(x2,y2-1),
B
即x1x2十(y1-1)(y2-1)=0,
则(1十k2)x1x2十(k2一k)(x1十x2)十k2-2k十
1=0.
G
4k2
2k2一2
代入工1十x:=一1十2，x1x:=1十2，整理得
3k2-2k-1=0,
D
解得=一司或6=1（合去.
所以1的方程为y=合十1D.
(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方
即x+3y+1=0.
向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐
17-2.(1)解：由题意知A1(一a,0),A2(a,0)
标系，
设P(m,m(m>0,n>0),则%+
所以D(0,0,0),A1(2,0,4),C(0,2,0),C1(0,2,4)
a2+62=1.
E(1,2,0),故A1C=(-2,2,-4),DC=(0,2,4),
因为直线PA1,PA,的斜率之积为-
4
DE=(1,2,0).
设平面CDE的法向量为m=(x,y,z),
所以
n
m+a·m”a
m2-a8=
m2-a
DC·m=0,
则
2y+4z=0,
即
b2
1
D克.m=0,1z+2y=0.
a?=
4，
6·
所以a2=4b2.
2(2m-m+2)1
y十
由题意得2a=4,所以a2=4,b2=1,
2n+m-2
得
所以C的方程为号+)2=1
y=1
+1,
m
(2)解：设坐标原点为O,则△OB2A2的面积
(”1-2小y
12n-2m+4+m
2n+m-2Tn-1'
Samd
整理得y=
12n2+m2-8n-4
m2-4n2+8n-4
因为P(m,n)(m>0,n>0),且
4
十n2=1,所以四
十n2=1,得m2=1-m
4
4
边形OA2PB1的面积S四边形OA2PB1=S△POA2十
S1=X2n+m=
1
所以
121-)+m-8a-4
y=
m-4(1-）+8m-4
(g+）=,
-m2-4n+4
m2+4n-4
一1，
当且仅当？-，即m=巨a号时，等号成立。
所以点E在一定直线上，其方程为y=一1
所以SA=S20A,+Sem,≤1十2,18-1.(1)解：f'(x)-2-三-2x+1)红-1D》(x>0,
当点P的坐标为(E,受)时，四边形PB,B,A:面
当0<x<1时，f'(x)<0;
当x>1时，f'(x)>0,
积的最大值为1十√2.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间
(3)证明：由kpA2
m一2，得直线PA:的方程为y
是(1，十∞).
(2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e-e2r-sinx-
-2x-2).
n
ax,(0)=0,h'(x)=e*-2e2-cos x-a.
令h'(0)=0,则a=-2.
又直线A,B:的方程为y=-
2x-1,
当a<-2时，h'(0)>0,
2x1,
所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)>0,
由
h(x)单调递增，
2-2.
故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0,
[x=2(2n-m+2)
即g(x)>e2十ax,不符合题意.
2n+m-2’
当a≥-2时，h'(x)≤e2-2e2-cosx+2,且当
解得{
An
x>0时，e2-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2.
=
2n+m-21
令及(x)=-e2红-cosx+2,则当x>0时，
即n(2+2.2a0小
k'(x)=-2e2+sin <0,
故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(0)=0,
因为DE∥A2B2,所以kDE=kA=2,
1
所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,
线DE的方程为y十20十m-2
即g(x)<e2r十a.x.
2(2n-m+2)1
综上，a的取值范围是[一2，十∞).
2n+m-2
(3)证明：设lh=r,则r>0,t=e∈(0,1)，
又kPB1=
n-1
m
f()-g(in )=f(e)-g(r)=o-2r-
所以直线PB1的方程为y=
n-
x+1.
m
e'+sin r,
·7
由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,
故f(e')>g(r).
所以存在唯-∈（公小使得了=g,)=0,
由1-)-8（血）-s.得/e)>f1-.
且存在唯一x2∈(1,3)，使得f(x2)=g(x2)=0,
所以当0<x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当
又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区间(0，
x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2
1)上单调递减，
时，f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以0<er<1-s<1,
所以f(x)在区间(0,1)上有唯一极大值点x1,在区
-In t=r>-In(1-s),s<1-t.
间(1，十∞)上有唯一极小值点x2
令9(x)=lnx-x+1,则p'(x=1-
(2)解：由题意得f1)=0,f(x)=e1-2-2z,
x
令f'(1)=0,则a=-1.
当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增；
当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，
令h6x）=/'),则A'x)-e-+是-2，且当a<
故当x≠1时，(x)<p(1)=0,
0,x>0时，h'(x)单调递增.
所以r>-ln(1-s)>s.
①当a<-1时，令p(x)=xe-1-2x2=xg(x),
当x>0时，g'(x)=e-cosx>0.
由(1)易知p(x)在区间[1,1+ln2]上单调递减，当
令t(x)=e-cosx,x>0,
a≤p(1+ln2)时，若x∈(1,1+ln2),则f'(x)>0,
则t'(x)=e十sinx>0,
f(x)单调递增，此时f(1+ln2)>f(1)=0,不符合
故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增，
题意；
所以f(t)=f(e')>g(r)>g(-ln(1-s)>
当p(1+ln2)<a<-1时，存在唯一的x3∈(1,1十
g(s)>0.
ln2),使得f'(x3)=0,且当x∈(1，x3)时，f'(x)>
当0<x<1时，设x3[f'(x)+g'(1-x)]<2(x2
0,f(x)单调递增，则f(x3)>f(1)=0,不符合题意.
1)+x[e'-x-cos(1-x)]=u(x),
@当-1Ka<0时f1)<0,f(-是)-e1+
u'(x)=4z+e!-*-cos(1-x)+x[-e!-*-sin(1-
x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e-x-1)>0,
2e+4>0,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,f'(x)=
故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0.
h(x)单调递减，
又g'(x)单调递增，s<1一t,
故存在唯一的x∈（一81）使得f(x)=0,且
所以0<g(s)<g'(1-t)<-f'(t).
综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)十g'(s),
当x∈(x4,1)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，
则f(x4)>f(1)=0,不符合题意.
即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
⑧当≥0时，1（日）=e1+a->0，不符合
1
18-2.(1)(1)解：易得f'(x)=e-1-a
一2x
题意.
由题意可得f(1)=-a-1=am经=-1，解得
④当a=一1时，h'(x)在区间(0,2)上单调递增，且
a=0.
'(1)=-2<0,h'(2)=e>0
（i)证明：此时f(x)=e2-1-x2,x>0,
所以存在唯一的xo∈(1,2)，使得h'(xo)=0.当0<
则f'(x)=e-1-2x.
x<x0时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当xo<x<2
令g(x)=f'(x),则g'(x)=e-1-2.
时，h'(x)>0,h(x)单调递增，
令g'(x)=0,则x=1+ln2.
故当x∈(1,2)时，f'(x)=h(x)<max{f'(1),
当0<x<1+ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；
f'(2)}=0,f(x)单调递减，
当x>1+ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增.
且当x∈(0,1)时，f'(x)=h(x)>h(1)=0,f(x)单
调递增，
又g(20)-。(e2-1D>0,g1)=-1<0,g1+
所以当x∈(0,2)时，f(x)≤f(1)=0,符合题意.
ln2)=-2ln2<0,g(3)=e2-6>0,
综上，a=一1.
·8·
19-1.(1)解：由题意将五进制数211c)转化为十进制数，得
所以X的所有可能取值为1,2,3，…，n.
2116)=2×52+1×5+1=56.
当X=m(m=1,2,3,…,n)时，二进制数
因为56=2×33+0×32+0×3+2，
amam-1·…·a1ao(2),bnbn-1…b1bo(2)有m位取值不
所以56=2002)，
同，有n十1一m位取值相同，
除去an=b.=l,从剩余的n位中选择m位，二进制
所以五进制数2116，转化成三进制数为2002.
数anam-1…a1ao2,bnbn-1…b1bo2)在这m位上数字
(2)(1)解：若n=3,则n+1位的二进制数有
不同，其余n一m位均在同一位置，且取值相同.
10002,11112,11002,10102,1001(2,10112,
11012,1110(2),共8个，从8个数中任选2个，共有
因为X=la:-b,
-0
C=28种情况，
所以共有C:2”
A种情况，
因为X-2a:-61,
Cm·2
所以X的所有可能取值为1,2,3.
所以P(X=m)=
A号
Ca
Cm
2m-1
(m=1,2,3,,n),
当X=1时，若选择1000(2)，可以从1001(2,1010(2，
所以X的分布列为
11002中任选1个，共有3种情况；
X
1
2
3
若选择11112，可以从10112,11012,11102中任
个
C
Ca
C3
Cn
选1个，共有3种情况；
2n-1
2m-12m-1
2m-1
若选择1100(2，可以从1101(2)，1110(2中任选1个，
共有2种情况；
因为
m·n!
m.Co
m!(n-m)!
若选择1010(2)，可以从11102)，1011(2，中任选1个，
(n-1)!
共有2种情况：
(m-1D！[(n-1D-(m-1)万j=nCg,
若选择1001(2)，可以从11012)，1011(2)中任选1个，
所以E(X)=1×2+2X++nX
共有2种情况，
1
共有3+3+2+2+2=12（种）情况，
2-1=2-1(C+2C+3C+…+nC)=
放P0X=1-品=号
-C+C+C-1+…+C)=n:2-
n
2一1
当X=3时，10002，和1111(a,11002)和10112，
n·2m-1
n
10102,和11012)，10012和1110(2满足要求，共有4
2#
Γ2
种情况，
即EX>会
41
故P(X=3)=28=7'
19-2.(1)解：若n=3,则第一次取出的是编号为1的球的
所以P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1
概率为日：
31_3
若第一次取出的是编号为2的球，且第二次编号为1
7-7=7:
所以X的分布列为
的球被取由的半为日×号言：
若第一次取出的是编号为3的球，且第二次编号为1
X
1
3
3
3
1
的球被取出的概率为1×=1
、33
7
7
7
所以E(X)=1X
3
112
7
+2X
7
十3×
7=7·
(2)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
(i)证明：因为n十1位二进制数anan-1…a1a2中，
为n的球的概率为n:
1
am=1,
若第一次取出的是编号为1的球，则第二次编号为n
所以根据二进制数中0的个数可得，n十1位二进制
的球不可能被取到，故若第一次取出的是编号为1
数一共有C十C+C层十…十C”=2m个.
因为am-1十am-2十…十a1十ao≤n,
的球，且编号为m的球被取出的概率为}×0=0；
·9·
若第一次取出的是编号为i(i=2,3,…,n一1)的球，
且编号为m的球被取出的概率为】×CC
故Pa,)-日+Dg-1)-a
Ci
1)]=n2+n-2
1x-1=-1
2n(n-1)'
nn-1n(n-1)'
1-1)=1+
所以P(n,m)=
n2+n-2mn2+n-2n十2
2n(n-1)2n(n-1)2n,
故P(,m)+0+mm-D
n
1
P(m+1,m+1D=a+1+6a+)-2m+D≥
m=Dxm-1Dm2）-1
2m(n+1)
2
2
(n+1)2-(n+1)_1
所以P(n,n)与n的取值无关.
2n(n+1)
2
(3)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
为飞的球的概率为
又P(,m)-P(a+1,m+1)=(n-m)·(元
n
2(n-m)
若第一次取出的是编号为i(i=1,2,…,k一1，k十
2+1=
nn+i
(n2-1)≥0，
1,…,n)的球，且编号为的球被取出的概率为】×
1
故2≤P(n+1,m+1D≤P(,m)≤"22
i-1i-1
n-1n(n-1)'
·102026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
数学
1-1.已知集合M={x|-2<x<2},N={-√2,0，√5}，则M∩N=
A.{0}
B.{2}
C.{-√2,0}
D.{-√2，√5}》
1-2.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-3)<0},则M∩N=
A.{0,1,2}
B.{1,2}
C.{-1,0}
D.{1}
铷
的
2-1.已知z=
-则12+i=
A.1
c
√/10
D.2
1
2-2.已知z=-1则-
C.
1
D.2
-21
3-1.已知等差数列{am}满足a1十2a2=a5-1,则a7一7a1=
3-2.已知等差数列{am}满足a2十a4十a6=3,a3十a5十a7=9,则a1十ag=
41设a6为正数且a+6=1,则2
+的最小值为
部
4-2.已知0<a<b<,则
A.a>1
B.b>1
C.6
172
D.a+
<6+
1
b
(In x-x,x>0,
5-1.已知f(x)=
g(x),x<0
为偶函数，则f(-1)+g(-e)=
5-2.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)的图像关于直线x=-2对称，且f(x)十
总
f(x+2)=4,则f(2025)=
A.-2
B.2025
C.2
D.1
6-1.已知向量a=(一1，x十1)，b=(2x,1),则下列命题正确的是
A.若a⊥b,则x=1
B.存在x∈R,使得a∥b
C.若x=0,则|a+b|=√5
D.若x=-1,则a在b上的投影向量为5b
数学试题第1页（共8页）
6-2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)=
:b/
A.-10
B.5
C.15
D.20
7-1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，且AF=3FB,线
段AB的中点为M,O为坐标原点，则OM=
A.2
B32
3
C.5
n号
7-2.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点，且|AB
的最小值为4.过点A,B分别向y轴作垂线，垂足分别为点M,N,则|AM|+2BN|的
最小值为
8-1.已知点P在平面ABCD上的射影恰好落在直线AC上，若直线PA与平面ABCD所成
的角为60°，PA=4,且四边形ABCD是边长为√2的正方形，点P,A,B,C,D都在同一
球的球面上，则该球的表面积为
A.12π
B.15π
C.16π
D.18π
8-2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,
目DD,三多AA三8CC3BB,3,点E在CC上，平面BED,交AA于点F,则
A
D
A.A1,B1,C1,D1四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为12π
D.截面四边形BED1F的周长的最小值为10
9-1.有一组样本数据x1,x2,…,x6,其样本平均数为3，样本方差为6.将数据x7=3也添加
到这组样本数据中，得到一组新样本数据x1,x2,…,x6,x7,则
A.两组样本的样本平均数一定相同
B.两组样本的样本极差一定相同
C.两组样本的样本中位数一定相同
D.两组样本的样本方差一定相同
数学试题第2页（共8页）
9-2.某市开展文旅专题调研，随机抽取了1000名游客的问卷，将他们的“人均花费预算”
(单位：千元)数据绘制成如下频率分布直方图，则下列结论正确的是
个频率/组距
0.229
0.149.-
7F--
0.027
884-
024681012人均花费预算/千元
A.a=0.054
B.这1000名游客中“人均花费预算”在区间[2,6)内的人数为203
C.若从“人均花费预算”在区间[4,6)，[6,8)，[8,10)内的游客中，用分层随机抽样的方法
抽取100人，则“人均花费预算”在区间[6,8)内的游客有25人
D.设这组数据的85%分位数为x,则x<6
10-1.设函数f(x)=x3+mx2+n,且当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，则
A.m十n=0
B.-1≤m≤1
C.当x≥1时，f(x)≥5x-4
D.当x≤-1时，f(x)≤x
10-2.设x=k(k≠0)既是函数f(x)=x3十ax2十bx的一个零点，又是f(x)的一个极值点，
且f(x)图象的对称中心的横坐标为x。,则
A.a十2k=0
B.x=k是f(x)的极小值点
C.当0<x<k时，f(x+k)<f(2k+1)
D.f(x)的两个极值点之和为2xo
更-1.已知双曲线.C:名-a>0,6>0)的左石焦点分别为F,F2,P为C上第一象限
内的动点，M(0,2√6)，△F1PF2的内切圆的圆心为I,且当∠F1PF2=90°时，点I的
坐标为(1,2)，则下列说法正确的是
A.C的方程为x2一24二1
B.圆I的半径小于2√6
C.PM|+IPF1I的最小值为7
D.若∠F1IF2=120°，则|PF1I|PF2|=96
y2 x4
11-2.如图，已知双曲线C:a=1(a>0,b>0),过原点0的直线交C于M,N两点，点A
在C上，直线AN,MN的斜率之积为-4，直线AM与x轴交于点B.若|OB|2=2OM.
OB,则C的离心率为
数学试题第3页（共8页）
12-1.已知正项等比数列{am}的前n项和为Sm,且S2=9,S4=45,则a5=
12-2.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=-2,则S,=
13-1.已知函数f(x)=x2-2x-6,x≤0，
g(x)=mx-2.若h(x)=f(x)g(x)只有2个
Inx,x>0,
零点，则m的取值范围是
13-2.已知函数f(x)=sinx一x,若g(x)=f(x3一x-1)+f(-2x一λ)有三个零点，则λ
的取值范围是
A.(-3,1)
B.(-∞，-1)U(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞，-3)U(1,+∞)
14-1.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定
理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如14=32十22十
12十02.设45=a2十b2十c2十d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序实数组
(a,b,c,d)的个数为
14-2.已知不等式x1十x2十x3十x4≤13，其中x1,x2,x3,x4是非负整数，则使不等式成立的
四元数组(x1,x2,x3,x4)的组数为
A.760
B.1360
C.2380
D.2510
15-1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知+c0sA=2.
c cos C
(1)证明：A=C或B=2C;
(2)若a=3,c=2,求△ABC的面积.
15-2.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=2CD=2.
(1)求2cosB-cosD的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
数学试题第4页（共8页）
16-1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上
的两点，且PG=GH=HD
(1)证明：GF∥平面BEH;
(2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求平面BEH与平面FGK所
成的二面角的正弦值.
G
E
H
D
K
数
16-2.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点.
(1)证明：BD1∥平面C1DE;
(2)若AA1=2AB=4,求直线A1C与平面C1DE所成角的正弦值.
D
B
数学试题
第5页（共8页）
1已知椭圆C:十1(a>b>0)的上顶点为B(0,1),左焦点为F(一1
(1)求C的方程；
(2)若过点F且不过点B的直线l交C于P,Q两点，且BP⊥BQ,求l的方程.
72.已知椭圆C:
6=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,
B,P为第一象限内C上的动点，AA:=4,直线PA1,PA:的斜率之积为-
(1)求C的方程；
(2)求四边形PB1B2A2面积的最大值；
(3)直线PA2与直线A1B2交于点D,过点D且与A2B2平行的直线交直线PB1于点
E,证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程.
数学试题第6页（共8页）
18-1.已知函数f(x)=2nx+是g(x)=e-sinx
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，g(x)<e2x十ax,求a的取值范围；
(3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(1n),证明：f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
18-2.已知函数f(x)=ex-1-x2-alnx.
(1)若面线y=f(x)在点1，(1)处的切线的倾斜角为3不
(i)求a;
(i)证明：f(x)在区间(0,1)，(1，十∞)上各恰有一个极值点；
(2)当0<x<2时，f(x)≤0，求a的值.
数学试题第7页（共8页）
19-1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满
十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于1的整数，则以
为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anam-1…a1ao),其中an,
am-1,…,ao∈{0,1,2，…，k-1},且an≠0，anam-1…a1a)=ank"十an-1kn-1+…十a1k十a0,
如22=2×32+1×3+1，所以22在三进制下可写为211(3).
(1)将五进制数2115)转化成三进制数；
(2)对于任意两个不同的n十1位二进制数anan-1…a1ao(2),bnbm-1…b1bo(2),an=bm
1,记随机变量X=之a:-b:l.
=0
(1)若n=3,求X的分布列及数学期望；
(1)证明：E(X)>分
19-2.已知袋子中有n(n=3,4,…)个质地、大小均相同的球，编号分别为1,2，…，n.按如下方
式从袋子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为i(i=1,2,…,n),则第
二次随机一次性取出i一1个球.记完成上述两次取球后编号为k(k=1,2,…,n)的球被取出
的概率为P(n,k).
(1)若n=3,求P(3,1);
(2)证明：P(n,n)与n的取值无关；
(3)设m=1,2…,n,证明：≤P(n+1,m+1)≤P(n,m）≤"才是
2n1
数学试题第8页（共8页）2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
数学
1-1.已知集合M={x|-2<x<2},N={-√2,0，√5}，则M∩N=
A.{0}
B.{√2}
C.{-√2,0}》
D.{-√2，√5}
1-2.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-3)<0},则M∩N=
A.{0,1,2}
B.{1,2}
C.{-1,0}》
D.{1}
2-1.已知之=1则x+i=
A.1
当
c
1
2-2.已知z=1则2
C.z+z1
1
1
数
D.2
21
3-1.已知等差数列{am}满足a1十2a2=a5-1,则a?一7a1=
3-2.已知等差数列{am}满足a2十a4十a6=3,a3十a5十a7=9,则a1十ag=
41.设a6为正数且a-6=1,则2g7+
+的最小值为
4-2.已知0<a<6<2,则
A.a>1
B.b>1
C.6+1>2
0
D.a+1
6+1
a
(In x-x,x>0,
5-1.已知f(x)=
为偶函数，则f(-1)+g(-e)=
g(x),x<0
5-2.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)的图像关于直线x=-2对称，且f(x)+
f(x十2)=4，则f(2025)=
A.-2
B.2025
C.2
D.1
6-1.已知向量a=(-1,x十1)，b=(2x,1),则下列命题正确的是
羹
A.若a⊥b,则x=1
B.存在x∈R,使得a∥b
密
C.若x=0,则|a+b|=√5
D.若x=-1,则a在b上的投影向量为b
数学试题第1页（共8页）
6-2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)=
--7---------
b/日
A.-10
B.5
C.15
D.20
7-1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点，且AF=3FB,线
段AB的中点为M,O为坐标原点，则OM=
A.2
B37
3
C.5
号
7-2.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线1与C交于A,B两点，且|AB
的最小值为4.过点A,B分别向y轴作垂线，垂足分别为点M,N,则|AM+2|BN|的
最小值为
8-1.已知点P在平面ABCD上的射影恰好落在直线AC上，若直线PA与平面ABCD所成
的角为60°，PA=4,且四边形ABCD是边长为√2的正方形，点P,A,B,C,D都在同一
球的球面上，则该球的表面积为
A.12π
B.15π
C.16元
D.18π
8-2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1,BB1,CC1,DD1都垂直于底面ABCD,
且DD,=AA,=CC,=3BB:=3,点E在C,上，平面BED,交AM,于点F,则
D
Di-
A
B
A.A1,B1,C1,D1四点共面
B.该几何体的体积为6
C.过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为12π
D.截面四边形BED1F的周长的最小值为10
9-1.有一组样本数据x1,x2,·,x6,其样本平均数为3，样本方差为6.将数据x7=3也添加
到这组样本数据中，得到一组新样本数据x1,x2,…,x6,x7,则
A.两组样本的样本平均数一定相同
B.两组样本的样本极差一定相同
C.两组样本的样本中位数一定相同
D.两组样本的样本方差一定相同
数学试题第2页（共8页）
9-2.某市开展文旅专题调研，随机抽取了1000名游客的问卷，将他们的“人均花费预算”
(单位：千元)数据绘制成如下频率分布直方图，则下列结论正确的是
个频率组距
0.229
0.149
aF=
884
24681012人均花费预算/千元
A.a=0.054
B.这1000名游客中“人均花费预算”在区间2,6)内的人数为203
C.若从“人均花费预算”在区间[4,6)，[6,8)，[8,10)内的游客中，用分层随机抽样的方法
抽取100人，则“人均花费预算”在区间[6,8)内的游客有25人
D.设这组数据的85%分位数为x,则x<6
10-1.设函数f(x)=x3+mx2十n,且当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，则
A.m+n=0
B.-1≤m≤1
C.当x≥1时，f(x)≥5x-4
D.当x≤-1时，f(x)≤x
10-2.设x=(k≠0)既是函数f(x)=x3十ax2+bx的一个零点，又是f(x)的一个极值点，
且f(x)图象的对称中心的横坐标为x,则
A.a十2k=0
B.x=k是f(x)的极小值点
C.当0<x<k时，f(x+k)<f(2k+1)
D.f(x)的两个极值点之和为2xo
11.已知双曲线C名-Q>0,6>0)的左右焦点分别为FF2P为C上第一象限
内的动点，M(0,2√6)，△F1PF2的内切圆的圆心为I,且当∠F1PF2=90°时，点I的
坐标为(1,2)，则下列说法正确的是
AC的方程为无=1
B.圆I的半径小于26
C.IPM+IPF|的最小值为7
D.若∠F1IF2=120°，则|PF1|IPF2|=96
1-2.如图，已知双曲线C:,-1a>0,b>0),过原点O的直线交C于M,N两点，点A
在C上，直线AN,MN的斜率之积为-4，直线AM与x轴交于点B.若|OB|2=2OM·
OB,则C的离心率为
数学试题第3页（共8页）
12-1.已知正项等比数列{am}的前n项和为Sm,且S2=9,S4=45,则a5=
12-2.记Sn为等比数列{am}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S=。
13-1.已知函数f(x)=厂x2-2x-6,x≤0，
'g(x)=mx-2.若h(x)=f(x)g(x)只有2个
In x,x>0,
零点，则m的取值范围是
13-2.已知函数f(x)=sinx-x,若g(x)=f(x3一x一1)十f(-2x一入)有三个零点，则入
的取值范围是
A.(-3,1)
B.(-∞，-1)U(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-∞，-3)U(1,+∞)
14-1.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定
理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如14=32+22+
12十02.设45=a2十b2十c2十d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序实数组
(a,b,c,d)的个数为
14-2.已知不等式x1十x2十x3十x4≤13，其中x1,x2,x3,x4是非负整数，则使不等式成立的
四元数组(x1x2,x3,x4)的组数为
A.760
B.1360
C.2380
D.2510
15-1,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2+0sA-2.
c cos C
(1)证明：A=C或B=2C;
(2)若a=3,c=2,求△ABC的面积.
15-2.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=2CD=2.
(1)求2cosB-cosD的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
数学试题第4页（共8页）
16-1.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上
的两点，且PG=GH=HD,
(1)证明：GF∥平面BEH;
(2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求平面BEH与平面FGK所
成的二面角的正弦值.
D
、
E
H
K
数
区
16-2.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点.
(1)证明：BD1∥平面C1DE;
(2)若AA1=2AB=4,求直线A1C与平面C1DE所成角的正弦值.
D
A
B
数学试题
第5页（共8页）
1y2
记知椭圆C十3@>6>0)的上顶点为B(0,D,左焦点为F(-1.
(1)求C的方程；
(2)若过点F且不过点B的直线L交C于P,Q两点，且BP⊥BQ,求l的方程.
7-2.已知椭圆C十1(a>>0的左右顶点分别为AA,上下顶点分别为B
B:,P为第一象限内C上的动点，A:A:=4,直线PA,PA:的斜率之积为-是
(1)求C的方程；
(2)求四边形PB1B2A2面积的最大值；
(3)直线PA2与直线A1B2交于点D,过点D且与A2B2平行的直线交直线PB1于点
E,证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程.
数学试题第6页（共8页）
18-1.已知函数fx)=2nx+是2，g(x)=c-sinx
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>0时，g(x)<e2x十a.x,求a的取值范围；
(3)设s,t∈(0,1)，且f(1-s)=g(ln)证明：f()-f'(t)>g(s)+g'(s).
18-2.已知函数f(x)=ex-1-x2-alnx.
(1)若曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为3
4
(i)求a;
（i)证明：f(x)在区间(0,1)，(1，+∞)上各恰有一个极值点；
(2)当0<x<2时，f(x)≤0，求a的值.
数学试题第7页（共8页）
19-1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满
十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若飞是一个大于1的整数，则以
为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anam-1…a1aok),其中am,
am-1,…,a0∈{0,1,2，…，k-1},且an≠0，aman-1…a1ao)=ank"十am-1k-1+…十a1k十a0,
如22=2×32+1×3+1，所以22在三进制下可写为211(3).
(1)将五进制数2115)转化成三进制数；
(2)对于任意两个不同的n十1位二进制数amam-1…a1ao2),bnbm-1…b1bo2,an=bm=
1,记随机变量X=之1a:-b:l.
1=0
(ⅰ)若n=3,求X的分布列及数学期望；
(i)证明：E(X)>
21
19-2.已知袋子中有n(n=3,4,…)个质地、大小均相同的球，编号分别为1,2，…，n.按如下方
式从袋子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为i(i=1,2,…,n),则第
二次随机一次性取出i一1个球.记完成上述两次取球后编号为k(k=1,2,…,n)的球被取出
的概率为P(n,k).
(1)若n=3,求P(3,1);
(2)证明：P(n,n)与n的取值无关；
③)设m=1,2,…,n,证明：2≤P(n+1,m+1D≤P(m,m)≤”2
数学试题第8页（共8页）
2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
参考答案及解析·数学
1-1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2),N=5-1.-e【解析】因为f(-1)=f(1)=ln1-1=-1,
{-√2,0，W5},所以M∩N={-√2,0}
g(-e)=f(-e)=f(e)=1-e,所以f(-1)+
1-2.B【解析】因为M={-1,0,1,2},N={x|0<x<3},
g(-e)=-e.
所以M∩N={1,2).
5-2.C【解析】因为定义域为R的函数f(x)满足f(2x+4)
21D【锦标】因为：片a岁所以：十
的图像关于直线x=一2对称，所以f(2x+4)=
f[2(-4-x)+4],即f(2x+4)=f(-2x-4),所以
i-名+故1+=（合）+()-四
f(x)是偶函数.又f(x)+f(x十2)=4，所以f(x+4)=
1+i
4-f(x十2)=4-[4-f(x)]=f(x),所以f(x)的
2-2.A【解析】因为z=(1-1D(+)
1
1
2
2
i
周期为4.又f(-x)=f(x),f(x)+f(x十2)=4，所
所以z=一
1
以f(-x)十∫(x十2)=4，所以∫(1)=2，所以
2+2i
f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2.
3-1.3【解析】设{an}的公差为d,则由a1+2a2=as-1,
6-1.AC【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即一2x+
1
得a1十2a1十2d=a十4d-1,整理得d-a1=2,所
x十1=0，解得x=1,故A正确；对于B,若a∥b,
以a?-7a1=6(d-a1)=3.
则(-1)×1-(x十1)×2x=0,整理得2x2+2x+1=
3-2.4【解析】由题意得a2十a6=2a4,a3十a?=2a5,则
0,此方程无解，故不存在x∈R,使得a∥b,故B错误；
a2十a4十as=3a4=3,a3+a5十a7=3a5=9,所以
对于C,当x=0时，a+b=(-1,2),所以|a十b=√5，
a4=1,a5=3,所以a1十a8=a4十a5=1十3=4.
故C正确；对于D,当x=-1时，a=(-1,0),b=
4-1号【解析】因为a+6=1,所以2a+1+26=3,所以
(-2,1),则a·b=2,所以a在b上的投影向量为
a+品=(+品)(2+1+2b)-
1
ap号6，放D猫误
6-2.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
++结)≥当仅当a
2b
a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),所以
2a站，即a-6=受时，等号成立，故十品
1
1
1
a·(a-b)=15.
2b
V
的最小值为手
a
4-2.C【解析】由0<a<1,得a2<1,即0<a<1,故
b
A错误6的取值可以是a,1D和[1，。)故B错误，
6+1>a+1
>2
1
/a·
a
=2,故C正确；a十
7-1.B【解析】根据对称性，不妨设直线AB的倾斜角为
锐角，如图，设C的准线为l,∠AFx=0,|FB|=m,
)-(b+若)-a-)+b2=a-).6是
则|FA=3m.过点A作AQ⊥x轴于点Q,AA'⊥l于
ab
点A',则由抛物线的定义得3mcos0+2=|AA'|=
因为0<ab<1,所以2。<0，又a-6<0,所以a十
3m,同理过点B作BB'⊥1于点B',可得2一
>6+名，放D错误。
mcos0=BB1=m,解符0=60，n=专设点
Mw）,则w-1=mcs0,解得u=号，所以
所以过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为
4πR2=12π，故C正确；对于D,由题意知平面
m=5u-1D-2,故OM=V+5-
ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面
3
BED1=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1=BE,所以
D1F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F
为平行四边形，则周长1=2(BE十ED1).沿CC,将相
M
邻两四边形推平，当B,E,D1三点共线时，BE十ED
0
最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D正确.
D
D
B
D:
A
7-2.2√2【解析】因为AB|mn=2p=4,所以p=2,所以
抛物线C:y2=4x.设l的方程为x=my十1，A(x1,
D-----
D--
),B(x2y),联立=my+1,
得y2-4my-4=
y2=4x,
①
②
0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,|AM|+2|BN|=
9-1.AB【解析】因为样本数据x1,x2,,x6的样本平均
+2-+x-+×-2，
数为3，且x7=3,所以样本数据x1,x2,…,x6,x7的
4
样本平均数也为3，且极差相同，而中位数不一定相
当且仅当y1=一√2y2时，等号成立，所以(|AM|十
同，故A,B正确，C错误；设样本数据x1,x2,…,x6
2|BN|)min=2√2
的样本方差为s,样本数据x1,x2,·,x6,x7的样本
8-1.C【解析】由点P在平面ABCD上的射影恰好落在
直线AC上，得平面PAC⊥平面ABCD.设BD∩AC=
1(x:
方差为s,则=6之(c:-3)2=6,5号=70
G,在平面PAC内，过点G作AC的垂线与PA交于
3=2(,-3)P-85<,放D错误
点O,则OG⊥平面ABCD,所以∠PAC=60°.在
71
Rt△AOG中，由AG=1,得OA=2.又PA=4,所以O
9-2.ACD【解析】由题意知数据在区间[4,6)内的频率为
为PA的中点，所以OA=OP=OB=OC=OD=2,
1-2×(0.229+0.149+0.027+0.027+0.014)=
即点O为该球的球心，则球O的表面积S=4π×
0.108,所以a=0.108÷2=0.054,故A正确；“人均花
22=16π.
费预算”在区间[2,6)内的人数为1000×2×(0.149+
8-2.ACD【解析】对于A,如图①，取AA,的中点M,
0.054)=406,故B错误；“人均花费预算”在区间
DD1上靠近点D1的三等分点N,连接MN,MB1,
[4,6),[6,8),[8,10)内的游客人数之比为2：1：1，
NC1,易知四边形NMB1C为平行四边形，四边形
所以用分层随机抽样的方法抽取100人，在区间
NMA1D1为平行四边形，所以MN∥A1D1,MN∥
[6,8)内的游客有25人，故C正确；“人均花费预算”
B1C,则B1C1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共
在区间[0,4)内的频率为(0.229+0.149)×2=0.756<
面，故A正确；对于B,由对称性知，此几何体体积是
0.85,在区间[0,6)内的频率为0.756十0.108=0.864>
底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的
0.85,所以这组数据的85%分位数x在区间[4,6)内，
1
所以x<6,故D正确.
半，所以V=2×2×4×2=8,故B错误：对于C,如
10-1.ABD【解析】因为当-1≤x≤1时，一1≤f(x)≤1，
图②，过A1,C1,B,D四点构造正方体ABCD
所以f(1)=1+m十n≤1，即m+n≤0①，f(-1)=
A1B,C1D2,所以外接球直径长为正方体ABCD
-1+m+n≥-1，即m+n≥0②，则由①②得
A1B2C1D2的体对角线长，所以2R=23,则R=√3，
m十n=0,故A正确.由上可知f(x)=x3+mx2一m,
·2·
当m=0时，f(x)=x3满足当-1≤x≤1时，-1≤
2k<2k+1,结合f(x)在区间(k,+∞)上单调递增，
f(x)≤1；当m≠0时，f'(x)=x(3x+2m),令
得f(x+)<f(2k十1)，故C正确.令f"(x)=
f(x)=0,则x=0成z=-当-0≥1，即
(f'(x)',由f'(x)=(x-)(3x-k),得f(x)=
3
6x-统令了红)=0，得，-华从面号+及=2×
m≤-2时，f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区
2k
3
=2xo,故D正确.
11-1.ABD【解析】设△F1PF2的内切圆的半径为r,圆
间(0,1]上单调递减，故应满足f(0)≤1，
此时
I分别切F1F2,PF2,PF1于点Q,S,T,则2a=
f(-1)≥-1，
IPFI-PF2I=(IPTI+F,TI)-(IPSI+
f(1)≥-1，
|F2SI)=|F1T1-|F2S|=1F1Q|-|F2Q|,故点
不等式组无解，当0<
20<1,即-<m<0时，
Q在C的右支上.又点Q在x轴上，所以Q(a,0).而
fe)在区间[-1,0)上单调递地，在区间(0，一罗）
IQ⊥F1F2,所以a=x1=1,r=|IQ|=2.又
∠TPS=90°，所以四边形PSIT为正方形，则|PT|=
上单道减，在区间（一2，]上单调递增，放应满
|PF1|=r+c+1=c+3,
|PS|=r=2.由|PF2=r+(c-a)=c+1,解得
3
<m<0,
|PF112+|PF2|2=(2c)2,
f(0)≤1，
c=5,所以b2=c2一a2=24,则C的方程为x2
足f(-1)≥-1，解得-1≤m<0,同理可知当
24=1,故A正确：分别过点F1,F2作C的渐近线
f(1)≤1，
y=26x的平行线，易知圆I位于两平行线之间，而
两平行线间的距离为4√6，所以2r<4√6，即r<
0<m≤1时也满足要求.综上，-1≤m≤1，故B
2√6，故B正确；|PM|+IPF1I=|PM|+|PF2|+
正确.由题得f(x)=x3十mx2-m=x3十m(x2-1),
2≥|MF2|+2=9,仅当点P在线段MF2上时，等号
取m=-1,则f(x)=x3-x2+1,所以f(2)=5.令
成立，故C错误；∠F1PF2=180°-（∠PF1F2+
h(x)=5x-4,则h(2)=6,所以f(2)<h(2),故
∠PF2F1)=180°-2（∠IF1F2+∠IF2F1)=
C错误；因为f′(1)=3+2m,f'(-1)=3-2m,且
180°-2×(180°-∠F1IF2)=180°-2(180°
-1≤m≤1，所以1≤f'(1)≤5,1≤f'(-1)≤5.又
120)=60°.在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F22=
f(1)=1,f(-1)=-1,所以当x≤-1时，f(x)≤
|PF1I2+|PF2|2-2PF1IIPF2lcos∠F1PF2,即
f'(-1)·(x十1)-1≤x,故D正确.
4c2=(PF1I-|PF2l)2+|PF1IPF2I,则|PF1|·
10-2.ACD【解析】f′(x)=3x2+2ax十b,由题意，得
|PF2=4c2一4a2=4b2=96,故D正确.
(ki+ak2+bk=0,
解得口一2，
故A正确.f(x)
3k2+2ak+b=0,b=k2,
山-2
【解析】设M(x1,y1),A(xo,yo),则N(-x1,
x3-2kx2+k2x=x(x-k)2,f'(x)=(x-k)(3x
y_x」
k).当>0时，fx)在区间（夸k)上单调通减，在
621
一y1).由
得二6-号=0，即
(a261,a
62
区间(k,十∞)上单调递增，所以x=k是f(x)的极
小值点：当k<0时，f(x)在区间（一∞，k)上单调递
(y-y)(y+y)=z1-xo)x1+x0）,所以
增，在区间(，专）上单调递减，所以x=k是f()
a
(yi-yo)(yi+yo)a2
的极大值点，故B错误.当0<x<k时，k<x十k<
=)z1十zo)b:又w=1-0,eaw
·3·
十头，所以kau一分又ka·点w=一4，所
所以∫(x)为减函数，所以x3一x一1=2x十入，即
x1十x0
x3一3x-1=入，所以问题等价于方程x3一3.x一1=
以二-a2设B(4,0)(u≠0)，由1Oi12
入在R上有三个不相等的实数根，即函数g(x)=
kMN
2OM·OB,得t2=2tx1,即t=2x1.又A,B,M三点
x3-3x一1的图象与直线y=入有三个不同的交点.
由g(x)=x3-3x-1,得g'(x)=3x2-3=3(x+
共线，所以k出=侧=二=一兰，所以字
x1-t
1)(x-1),当x∈(-o∞，-1)时，g'(x)>0,g(x)单
y1
调递增；当x∈(-1,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递
a2
462=
y1
1,则1
。=4,故C的离心率e=
减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所
x
以g(x)的极大值为g(-1)=1,极小值为g(1)=-3,
625
所以入的取值范围是（一3,1）.
14-1.60【解析】由题意知a,b,c,d均为不超过6的自然
12-1.48【解析】设等比数列{am}的公比为q,g>0,易知
数，下面分情况讨论：①当最大数为6时，45=62+
e1-g）=9,
32+02+02,此时共有A=12种情况；45=62+2+
1-q
q≠1，因为S2=9,S4=45,所以
所
22+12,此时共有A?=12种情况.②当最大数为5
a1(1-g4)
=45,
时，45=52+42+22+02，此时共有A=24种情
1-q
况.③当最大数为4时，45=42十4+32十22，此时共
哥中g=言解得g=2度g=-2含去
有A=12种情况.综上，满足条件的有序实数组(a,
则a1=3,所以a5=3×24=48.
b,c,d)的个数为12+12+24+12=60.
12-2.22【解析】因为a1=2,S2=a1+a2=-2,所以14-2.C【解析】设a=x1十1，b=x2+1,c=x3+1,d=
a2=-4,故等比数列(a.}的公比g=22=一2，所
x4十1，由x1+x2十x3十x4≤13，且x1,x2,x3,x4
是非负整数，将问题转化成求不等式4≤a+b+c+
以5。=a11-g2=22.
d≤17的正整数解的组数.求方程a十b十c+d=
1-9
n(n∈N*,4≤n≤17)的正整数解，可先将n看作n
13-1.(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞)【解析】当x≤0时，
个“1”，将这n个“1”排成一排，在其中间形成的n一1
f(x)=-x2-2x-6=-(x+1)2-5<0;当x>0
个空位中选择3个空位放入隔板，则隔板隔开形成4
时，令f(x)=lnx=0,得x=1,所以f(x)只有一个
组“1”，每组“1”的和分别对应a,b,c,d的值，因此，
零点1.若h(x)=f(x)g(x)只有2个零点，显然
方程a+b十c十d=4的正整数解的组数为C?,方程
h(1)=0,故x=1也是h(x)=f(x)g(x)的一个零
a+b十c十d=5的正整数解的组数为C好，方程a+
点.若m=0,则函数g(x)=一2没有零点，此时
b十c十d=6的正整数解的组数为C,…,方程a十
h(x)=f(x)g(x)只有1个零点，故m=0不符合题
b十c十d=17的正整数解的组数为C6,所以原不等
意，所以m≠0，当m≠0时，令g(x)=0,得x=2
式的非负整数解的组数为C+C+C+十C6=
则g(x)有一个异于1的零点，所以2≠1，解得m≠2.
C4+C+Cg+…+Ci6=Cg+Cg+…+C6=…=
C1,=2380.
综上，m的取值范围是(-∞，0)U(0,2)U(2,十∞).
13-2.A【解析】f(x)=sinx-x的定义域为R,且
151.1证明：由已知及正弦定理得出合+合2。
f(-x)=sin(-x)十x=-(sinx-x)=-f(x),所以
即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sinC·
f(x)是奇函数.g(x)=f(x3-x一1)十f(-2x一入)有
cos C=sin 2C.
三个零点等价于方程f(x3-x-1)=-f(-2x一入)有
又A,B,C是△ABC的内角，
三个不相等的实数根.又f(x)是奇函数，所以
sin(A+C)=sin B=sin 2C.
f(x3-x-1)=f(2x+A).又f'(x)=cosx-1≤0，
又B,C∈(0，π)，
·4·
所以B=2C或B+2C=元.
4cos2 B-4cos Bcos D+cos'D=9
②
若B十2C=π，则由A十B十C=π，得A=C.
联立①②，解得S2=
31
综上，A=C或B=2C.
16
-2as(B+D)≤8，
(2)解：由题意知a≠c,则A≠C,
所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C.
则s,
由正弦定理得inA-a=3
当且仅当B十D=元时，等号成立，此时，四边形
sin C c2'
所以出光-号
ABCD的面积取得最大值3
4
16-1.(1)证明：因为PG=GH,
sin 3C sin (2C+C)=sin 2Ccos C+
所以G为PH的中点.
cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C,
又F为PB的中点，
所以sin3
3
sin C
=4cos2C-1=2:
所以由三角形中位线定理可知GF∥BH,
因为BHC平面BEH,GF丈平面BEH,
所以2cos2C=4’
5
所以GF∥平面BEH.
(2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正方形，
则cosB-s20-2cs3C-1--1-
所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直
所以如B=1碳B-()-年，
线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
故△ABC的面积S△ABC=
2acsin B=-
2×3X2X
w/15_3√/15
4
4
15-2.解：(1)如图，连接AC.
由余弦定理得cOSB=AB2+BC2-AC6-AC
2AB·BC
4√2
cos D=AD+CD:-AC:3-AC:
D
2AD·CD
22
4
所以2c0sB-c0sD=3V2
4
A
设AD=DG=2,则B2,20),E(1,02）G0,0
2),H(0,0,1),K(1,0,0),
所以H成=(1,0,2）筋=(2,2，-1).G成=1，
0,-2).
(2)因为CD=1,所以四边形ABCD的面积
设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,z1),
SSaE+S6am-号AB,BCnB+号AD·
H正·m=0,
1
则
0即1+221=0，
HB·m=0,
CDnD=号(2mB+D.
2x1+2y1-z1=0.
令x1=1,得y1=-2,z1=-2,则平面BEH的一个
则2S2=4sin2B+4 sin Bsin D+sin2D①
法向量为m=(1,一2，一2).
设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,z2),由(1)可
由(1)可知2cosB-osD-3y2
4
知G市与HB共线，
·5·
则
”即-2=0,
GR·n=0,
令x=1,得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1).
HB.n=0,{2x2+2y2-z2=0.
设直线AC与平面C1DE所成的角为0，
3
令x:=2,得y:=-名z:=1,则平面FGK的-个
sin 0-I cos m)Am
ACIm
法向量为n=(2,-号，1小：
1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1_4W14
√4+4+16×√16+4+1
21
所以1cos〈m,n〉=
m·n
mn
所以直线A:C与平面CDE所成角的正弦值
1×2+(-2)×
（-2)+(-2x1
为①
2√/29
21
29
17-1.解：(1)由题意得b=1,且由C的焦点F(一1,0)可知
C的半焦距c=1.
故平面BEH与平面FGK所成二面角的正弦值
又a2=b2+c2=2,
为得
所以C的方程为号+)2=1
16-2.(1)证明：如图，连接CD1交C1D于点G,连接EG.
(2)当l垂直于x轴时，显然BP不与BQ垂直，不符
因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面CC1D1D
合题意
是矩形，
当1不垂直于x轴时，设直线1的方程为y=k(x十
所以G为CD1的中点.
1)(k≠1)，P(x1y1),Q(x2y2).
又E为BC的中点，
联立2+y=1,
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-
所以EG为△BCD1的中位线，
(y=k(x+1),
所以EG∥BD1.
2=0,
因为EGC平面C1DE,BD1中平面C1DE,
4k2
2k2-2
所以BD1∥平面C1DE.
则x1十x=一1十2k2x1x2-1+2k2
又BP⊥BQ,则BP·BO=0.
又B2=(x1y1-1),B戒=(x2y2-1),
即x1x2十(y1-1)(y2-1)=0
则(1十k2)x1x2十(k2-k)(x1十x2)+k2-2k十
1=0.
4k2
2k2-2
代入x1十x:=一1十2，x1x?=十22，整理得
3k2-2k-1=0,
解得飞=一
3或k=1(舍去)，
所以1的方程为=一日十1D。
(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,D心，DD的方
即x+3y+1=0.
向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐17-2.(1)解：由题意知A1(-a,0),A2(a,0)
标系，
设P(m,nm)(m>0,n>0),则+
所以D(0,0,0),A1(2,0,4),C(0,2,0),C1(0,2,4)
。+6=1.
1
E(1,2,0),故A1C=(-2,2,-4),DC=(0,2,4),
因为直线PA1,PA2的斜率之积为一
4
D2=(1,2,0).
设平面C1DE的法向量为m=(x,y,z),
所以”
n
、n2
m十a
m a ma=
m2-a2
则
DC1·m=0,2y+4z=0,
即
b2
1
Di,m=0,x+2y=0.
a2
4
。6
所以a2=4b2.
y+
、4n1r
2(2m-m+2)1
由题意得2a=4,所以a2=4,b2=1,
2n+m-2-2x
2n+m-2
由
得
所以C的方程为+y=1
y=1
+1,
m
(2)解：设坐标原点为O,则△OB2A2的面积
_12n-2m+4Lm
(-2小y=12m专+”
1
S△02A2=2X2X1=1.
整理得y=12m2十m2-8m-4
m2-4n2+8n-4
因为P(,m)m>0,>0),且实+2=1，所以四
由受+m=1,得公=1-
4
边形OA2PB1的面积S四边形oA2PB1=S△POA2十
5a=号X2+号m=
+n≤
12-)十m-8-4
2
所以y=
m-41-)+8m-4
√2(g+n）=,
-m2-4n+4
m2+4n-4
一1
当且仅当兮，即m=m号时，等号成立。
所以点E在一定直线上，其方程为y=一1.
所以S造ASAo,十S边0zP十2,18-1.)解：'()三名-名-2Xx十x-1(x>0
当点P的坐标为(2，号)时，因边形PB,B,A:面
当0<x<1时，f'(x)<0;
当x>1时，f'(x)>0,
积的最大值为1+√2.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间
n
（3)证明：由&：一m一2得直线PA,的方程为y
是(1，十+∞).
(2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e-e2r-sinx-
n
m-2x-2).
ax,h(0)=0,h'(x)=e*-2e2z-cos x-a.
令h'(0)=0,则a=-2.
又直线A1B:的方程为y=-
2x-1,
当a<-2时，h'(0)>0,
1
所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)>0,
y=-
2x1,
由
h(x)单调递增，
故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0,
即g(x)>e2十ax,不符合题意.
2(2n-m+2)
x=
2n+m-2,
当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2x-cosx+2,且当
解得
An
x>0时，e-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2.
y
2n+m-2’
令k(x)=-e2a一cosx+2,则当x>0时，
即D(2(2m-m+2
4n
k'(x)=-2e2:+sin <0,
、2n+m-2
,2m+m-2
故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(0)=0,
1
因为DE∥A2B2,所以kDE=kA22=
2
所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,
所以直线DE的方程为y十2n十m-2=
An
1
2
即g(x)<e2r十ax.
2(2n-m+2)1
综上，a的取值范围是[-2，十∞).
2n+m-2
(3)证明：设ln=7,则r>0,t=e∈(0,1)，
又kPB1=
n-1
故f)-g(）=fe)-g(r)=e-2x
所以直线PB1的方程为y=”二之
mx+1.
e+sin r
由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,
故f(e)>g(r).
所以存在唯一(2川)，使得了✉)一8）-0，
且存在唯一x2∈(1,3)，使得f(x2)=g(x2)=0,
由1-)=g血）=g,得e>f1-》
所以当0<x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当
又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区间(0，
x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2
1)上单调递减，
时，∫'(x)>0,(x)单调递增，
所以0<e<1-s<1,
所以f(x)在区间(0,1)上有唯一极大值点x1,在区
-In t=r>-In(1-s),s<1-t.
间(1，十∞)上有唯一极小值点x2
令p(x)=lnx-x+1,则p(x)=1-x
2)解：由题意得f)=0广x)=心1-兰-2，
令f'(1)=0,则a=-1.
当0<x<1时，p'(x)>0,9(x)单调递增；
当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，
令A)=),则Nx)=e1+是-2，且当a<
故当x≠1时，p(x)<p(1)=0,
0,x>0时，h'(x)单调递增.
所以r>-ln(1-s)>s.
①当a<-1时，令p(x)=xe-1-2x2=xg(x),
当x>0时，g'(x)=e-cosx>0.
由(1)易知p(x)在区间[1,1十ln2]上单调递减，当
令t(x)=e2-cosx,x>0,
a≤p(1+ln2)时，若x∈(1,1+ln2),则f'(x)>0,
则t'(x)=e+sinx>0,
f(x)单调递增，此时f(1+ln2)>f(1)=0,不符合
故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增，
题意；
所以f(t)=f(e)>g(r)>g(-ln(1-s)>
当p(1+ln2)<a<-1时，存在唯一的x3∈(1,1+
g(s)>0.
ln2),使得f'(x3)=0,且当x∈(1，x3)时，f'(x)>
当0<x<1时，设x3[f'(x)+g'(1-x)]<2(x2-
0,f(x)单调递增，则f(x3)>f(1)=0,不符合题意.
1)+x[e!-*-cos(1-z)]=u(x),
②当-1<a<0时f')<0,f(-是)=e1+
'(x)=4x+e!-+-cos(1-z)+x[-el-+-sin(1-
x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e-x-1)>0,
2e+a>0,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,f'(x)=
故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0.
h(x)单调递减，
又g'(x)单调递增，s<1-t,
故存在唯一的x∈(-01小使得f(x)=0,且
所以0<g'(s)<g'(1-t)<-f'(t).
当x∈(x4,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，
综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)十g'(s),
则(x4)>f(1)=0,不符合题意
即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
当≥0时，（日）=e+a>0，不将合
1
18-2.(1)(1)解：易得f'(x)=e-1-4-2x,
题意
由题意可得∫(1)=-a-1=1an不=-1，解得
④当a=一1时，h'(x)在区间(0,2)上单调递增，且
a=0.
2'(1)=-2<0,h'(2)=e-2>0
(i)证明：此时f(x)=e1一x2,x>0,
所以存在唯一的xo∈(1,2)，使得h'(x0)=0.当0<
则f'(x)=e-1-2x.
x<xo时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当xo<x<2
令g(x)=f'(x),则g'(x)=e1-2.
时，h'(x)>0,h(x)单调递增，
令g'(x)=0,则x=1+ln2.
故当x∈(1,2)时，f'(x)=h(x)<max{f'(1),
当0<x<1十ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；
f'(2)}=0,f(x)单调递减，
当x>1+ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增
且当x∈(0,1)时，f'(x)=h(x)>h(1)=0,f(x)单
又g(20)。(a-10>0,g1)=-1<0,g1+
调递增，
所以当x∈(0,2)时，f(x)≤f(1)=0,符合题意.
1n2)=-2ln2<0,g(3)=e2-6>0,
综上，a=一1.
·8·
19-1.(1)解：由题意将五进制数211)转化为十进制数，得
所以X的所有可能取值为1,2,3，…，n
2116)=2×52+1×5+1=56.
当X=m(m=1,2,3,…,n)时，二进制数
因为56=2×33+0×32+0×3+2，
anam-1·…·a1ao(2),bnbn-1…b1b(2)有m位取值不
所以56=2002(a),
同，有n十1一m位取值相同，
所以五进制数2116，转化成三进制数为2002(：
除去an=bn=l,从剩余的n位中选择m位，二进制
数anam-1…a1ao2,bnbn-1…b1b2在这m位上数字
(2)(1)解：若n=3,则n+1位的二进制数有
不同，其余n一m位均在同一位置，且取值相同.
10002,11112,11002,1010c2,10012,10112,
11012,11102,共8个，从8个数中任选2个，共有
因为X=21a:-bl,
-0
C=28种情况
所以共有C22
A种情况，
因为X=2a:-bi,
C%·2
所以X的所有可能取值为1,2,3.
A
C
所以P(X=m)=
C
27m=1,23,,m,
当X=1时，若选择1000(2)，可以从1001(2,1010(2)，
所以X的分布列为
11002中任选1个，共有3种情况；
X
1
2
3
n
若选择11112，可以从10112,11012,11102中任
Cz
C
Ci
C
选1个，共有3种情况；
P
2n-1
2m-1
2m-1
2m-1
若选择11002)，可以从11012,1110(2，中任选1个，
m·n!
共有2种情况；
因为
mCo
m!(n-m)月
若选择1010(2)，可以从1110(2)，1011(2，中任选1个，
(n-1)!
共有2种情况；
(m-1D！[(n-1)-(m-1)]=C01,
若选择1001(2，可以从11012,1011(2，中任选1个，
所以E(X)=1×2+2X2二+…+nX
共有2种情况，
Ca
1
共有3+3+2+2+2=12（种）情况，
2-1=2-1(C+2C+3C+…+nC)=
故PCX=0-品-号
2-7(C-+Cg-1+C-1+…+c)=”:2
n
2”-1>
当X=3时，10002，和11112,11002)和1011，
n·2m-1
n
10102)和11012)，10012和11102满足要求，共有4
2#
种情况，
即E(X)>受
41
故P(X=3)=28=7'
19-2.(1)解：若n=3,则第一次取出的是编号为1的球的
所以P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1-
概率为了：
9-7-号
若第一次取出的是编号为2的球，且第二次编号为1
1.11
所以X的分布列为
的球被取出的概率为3×？=6：
X
若第一次取出的是编号为3的球，且第二次编号为1
1
2
11
3
3
1
的球被取出的概率为1X3=3,
7
7
7
所以E(X)=1X3
+2X3
(2)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
（i)证明：因为n十1位二进制数anan-1…a1ao2中，
为n的球的概率为
1
am=1,
若第一次取出的是编号为1的球，则第二次编号为n
所以根据二进制数中0的个数可得，n十1位二进制
的球不可能被取到，故若第一次取出的是编号为1
数一共有C十C十C十…十C=2m个.
因为am-1十am-2十…十a1十ao≤n,
的球，且编号为n的球被取出的概率为】X0=0;
n
·9·
若第一次取出的是编号为i(i=2,3,…,n一1)的球，
且编号为n的球被取出的概率为】×CC
故Pa,)=}+D2-D-
n
Ci
10]=n2+n-2k
1×---1
2n(n-1)'
nn-1n(n-1)
1-1)=+
所以P(m,m)=”士n-2m<n2十n-2n+2
故P(n,n)=元
2n(n-1)2n(n-1)-2m,
n(n-1)2
1
P(n+1,m十1D=6m+1+6a+D-2m+D≥
-1Dn-2）-1
2m(n+1)
22
(n+1)2-(n+1)1
所以P(n,n)与n的取值无关.
2n(n+1)
2
(3)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
为长的球的概率为日
又P(,m)-P(a+1,m+1)=(-m)·(n是1
若第一次取出的是编号为i(i=1,2,…,k一1，k十
2+1=
2(n-m)
nTn+1)-n(m2-)≥0，
1,,n)的球，且编号为的球被取出的概率为】×
放<Pa+1,m+1Pa,m)"”是
1
i-1_i-1
n-1n(n-1)'
·10。2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
参考答案及解析·数学
1-1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2),N=5-1.-e【解析】因为f(-1)=f(1)=ln1-1=-1,
{-√2,0，w5},所以M∩N={-√2,0}.
g(-e)=f(-e)=f(e)=1-e,所以f(-1)+
1-2.B【解析】因为M={-1,0,1,2},N={x|0<x<3},
g(-e)=-e.
所以M∩N={1,2.
5-2.C【解析】因为定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)
1+i一1，所以z十
2-1.D【解析】因为z=1÷1-D(1+D2
的图像关于直线x=一2对称，所以f(2x十4)=
f[2(-4-x)+4],即f(2x+4)=f(-2x-4),所以
+做+-》+()=
f(x)是偶函数.又f(x)+f(x十2)=4，所以f(x十4)
4-f(x十2)=4-[4-f(x)]=f(x),所以f(x)的
1
1+i
2-2.A【解标】因为x=后-1)什1D=-2-2,
周期为4.又f(-x)=f(x),f(x)+f(x十2)=4，所
所以=名+2
1
以∫(-x)+f(x+2)=4,所以∫(1)=2，所以
f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2.
3-1.3【解析】设{an}的公差为d,则由a1十2a2=as一1，
6-l.AC【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即一2x+
1
得a1+2a:+2d=a1+4d-1,整理得d-a1=2,所
x十1=0，解得x=1,故A正确；对于B,若a∥b,
以a?-7a1=6(d-a1)=3.
则(-1)×1-(x+1)×2x=0,整理得2x2十2x+1=
3-2.4【解析】由题意得a2十a6=2a4,as十a?=2a5,则
0,此方程无解，故不存在x∈R,使得a∥b,故B错误；
a2十a4十a6=3a4=3,a3十a5十a7=3a5=9,所以
对于C,当x=0时，a+b=(-1,2),所以|a+b=√5，
a4=1,a5=3,所以a1十a8=a4十a5=1十3=4.
故C正确；对于D,当x=-1时，a=(-1,0),b=
4-1.号【解析】因为a+6=1,所以2a+1+26=3,所以
(-2,1),则a·b=2,所以a在b上的投影向量为
+六-号(+品)2a+1+0)
1
6)b三2b,故D错误
1b2
6-2.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
+2+结)≥当且仅当
a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),所以
201,即a=1
a·(a-b)=15.
2b
,6=
时，等号成立，故20十十2
1
4
的最小值为号
a
4-2.C【解析】由0<a<1,得a2<1,即0<a<1,故
b
A错误b的取值可以是a,1D和[，。)故B错误，
6+1>a+>2a·
21
1
7-1.B【解析】根据对称性，不妨设直线AB的倾斜角为
a
0
=2,故C正确；a十
锐角，如图，设C的准线为l,∠AFx=0,|FB|=m,
a）-(b+6)=a-b)+62-(a-b.
则|FA|=3m.过点A作AQ⊥x轴于点Q,AA'⊥L于
ab
ab
点A',则由抛物线的定义得3mcos0+2=|AA'|=
因为0<a6<1,所以。<a,又a-6<0,所以a十
3m,同理过点B作BB'⊥1于点B',可得2一
>6+，故D错误
m©0s0=1BB1=m,解得0=60，m=专设点
,所以；
M(xM,yu),则xM-1=mcos0,解得cM=5
所以过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为
4πR2=12π，故C正确；对于D,由题意知平面
yM=3(M-1)=
23
3,故IOM|=√x,+y=V37.
ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面
BED1=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1=BE,所以
D,F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F
A
为平行四边形，则周长l=2(BE+ED1).沿CC1将相
M
邻两四边形推平，当B,E,D1三点共线时，BE十ED1
最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D正确.
D
D
B
B
B
A
7-2.2√2【解析】因为AB|min=2p=4,所以p=2,所以
抛物线C:y2=4x.设l的方程为x=my+1,A(x1,
D-----
D
1),B(x2y2,联立区=my+1,
得y2-4my-4=
y2=4x,
①
②
0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,|AM|+2|BN|=
9-1.AB【解析】因为样本数据x1,x2,·,x6的样本平均
+-+2x+2厚×号
数为3，且x7=3,所以样本数据x1,x2,…,x6,x7的
4
=22,
样本平均数也为3，且极差相同，而中位数不一定相
当且仅当y1=一√2y2时，等号成立，所以(|AM|+
同，故A,B正确，C错误；设样本数据x1,x2,…,x6
2BNI)min=22.
的样本方差为s,样本数据x1,x2,…,x6,x7的样本
8-1.C【解析】由点P在平面ABCD上的射影恰好落在
直线AC上，得平面PAC⊥平面ABCD.设BD∩AC=
方装为，则=2红，9r=5时-号2，
G,在平面PAC内，过点G作AC的垂线与PA交于
3)1=号2，-3=0<1，放D0误
点O,则OG⊥平面ABCD,所以∠PAC=60°.在
Rt△AOG中，由AG=1,得OA=2.又PA=4,所以O
9-2.ACD【解析】由题意知数据在区间[4,6)内的频率为
为PA的中点，所以OA=OP=OB=OC=OD=2,
1-2×(0.229+0.149+0.027+0.027+0.014)=
即点O为该球的球心，则球O的表面积S=4π×
0.108,所以a=0.108÷2=0.054,故A正确；“人均花
22=16π.
费预算”在区间[2,6)内的人数为1000×2×(0.149+
8-2.ACD【解析】对于A,如图①，取AA1的中点M,
0.054)=406,故B错误；“人均花费预算”在区间
DD1上靠近点D1的三等分点N,连接MN,MB1,
[4,6),[6,8),[8,10)内的游客人数之比为2：1：1，
NC1,易知四边形NMB1C1为平行四边形，四边形
所以用分层随机抽样的方法抽取100人，在区间
NMA1D1为平行四边形，所以MN∥A1D1,MN∥
[6,8)内的游客有25人，故C正确；“人均花费预算”
B1C1,则BC1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共
在区间[0,4)内的频率为(0.229十0.149)×2=0.756<
面，故A正确；对于B,由对称性知，此几何体体积是
0.85,在区间[0,6)内的频率为0.756十0.108=0.864>
底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的
0.85,所以这组数据的85%分位数x在区间[4,6)内，
所以x<6,故D正确.
半，所以V=2×2×4×2=8,故B错误；对于C,如
10-1.ABD【解析】因为当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，
图②，过A1,C1,B,D四点构造正方体ABCD
所以f(1)=1十m+n≤1，即m十n≤0①，f(-1)=
A1B2C1D2,所以外接球直径长为正方体ABCD
-1+m+n≥-1，即m+n≥0②，则由①②得
A1B2C1D2的体对角线长，所以2R=2√3，则R=√3，
m十n=0,故A正确.由上可知f(x)=x3十mx2一m,
·2·
当m=0时，f(x)=x3满足当-1≤x≤1时，-1≤
2k<2k十1，结合f(x)在区间(k,十∞)上单调递增，
f(x)≤1；当m≠0时，f'(x)=x(3x+2m),令
得f(x十)<f(2k十1)，故C正确.令f”"(x)
f(x)=0,则x-0或x=-
当-0≥1，即
(f'(x)',由f'(x)=(x-k)(3x-k),得f”(x)=
3
6x-令了，）=0，得-装从雨号十友=2X
m≤-2时，f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区
2k
=2x0,故D正确.
3
m≤-2’
3
11-1.ABD【解析】设△FPF2的内切圆的半径为r,圆
间(0,1]上单调递减，故应满足f(0)≤1，
此时
I分别切F1F2,PF2,PF1于点Q,S,T,则2a=
f(-1)≥-1，
IPFI-PF2I=(IPTI+FT)-(IPSI+
f(1)≥-1，
|F2S)=|F1T|-|F2S|=1F1Q|-|F2Q|,故点
不等式组无解：当0<一
2父1，即二8<m<0时
Q在C的右支上.又点Q在x轴上，所以Q(a,0).而
IQ⊥F1F2,所以a=x1=1,r=|IQ|=2.又
fx)在区间[-1,0)上单调递增，在区间(0，-2）
∠TPS=90°，所以四边形PSIT为正方形，则|PT|=
上单调递减，在区间（一2]上单调递抢，故应满
IPF1|=r+c+1=c+3,
|PS|=r=2.由{|PF2=r+(c-a)=c+1,解得
2<m<o,
IPF1I2+|PF2I2=(2c)2,
f(0)≤1，
c=5,所以b2=c2一a2=24,则C的方程为x2
足{f(-1)≥-1，解得-1≤m<0,同理可知当
24=1,故A正确：分别过点F1,F,作C的渐近线
f(1)≤1，
y=2√6x的平行线，易知圆I位于两平行线之间，而
()≥-1.
两平行线间的距离为4√6，所以2r<4√6，即r<
0<m≤1时也满足要求.综上，-1≤m≤1，故B
2√6，故B正确；PM|+IPF1I=|PM|+|PF2|+
正确.由题得f(x)=x3十mx2-m=x3十m(x2-1),
2≥|MF2+2=9,仅当点P在线段MF2上时，等号
取m=-1,则f(x)=x3-x2+1,所以f(2)=5.令
成立，故C错误；∠F1PF2=180°-（∠PF1F2+
h(x)=5x-4,则h(2)=6,所以f(2)<h(2),故
∠PF2F1)=180°-2（∠IF1F2+∠IF2F1)=
C错误；因为f'(1)=3+2m,f'(-1)=3-2m,且
180°-2×(180°-∠F1IF2)=180°-2(180°
-1≤m≤1，所以1≤f'(1)≤5,1≤f'(-1)≤5.又
120)=60°在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1Fz2
f(1)=1,f(-1)=-1,所以当x≤-1时，f(x)≤
|PF1I2+|PF2|2-2PF1IIPF2|cos∠F1PF2,即
f'(-1)·(x十1)-1≤x,故D正确.
10-2.ACD【解析】f'(x)=3x2+2ax十b,由题意，得
4c2=(PF1I-|PF2I)2+PF1IPF2,则|PF|·
。解得/=一26，
|PF2|=4c2-4a2=4b2=96,故D正确.
k3十ak2+bk=0,m
3欢+2a+6=0,解得{6=，故A正确f(x)
n29
【解析】设M(x1,y1),A(xo,yo),则N(-x1,
x3-2kx2+k2x=x(x-k)2,f'(x)=(x-k)(3x
1_x1」
).当>0时，)在区间（专）上单调造减，在
621
-y1).由
得5-一6=0，即
(a2621,a
62
区间(k,十∞)上单调递增，所以x=k是f(x)的极
小值点：当k<0时，f(x)在区间（一∞，k)上单调递
y1-y)y+)=1-xx+0）,所以
增，在区间（，号）上单调递减，所以x=友是f(x)
,-0十0-8.又km=1二，kw=
(yi-yo)(y1+yo)a2
的极大值点，故B错误.当0<x<k时，k<x十<
x1一x0
3·
十头，所以k·kN一分又kN·w=一4，所
a
所以f(x)为减函数，所以x3-x一1=2x+入，即
x1十x0
x3一3x-1=入，所以问题等价于方程x3-3x-1=
以瓷=6设B(,0)u≠0，由1o成2-
a2
入在R上有三个不相等的实数根，即函数g(x)=
2OM.OB,得t2=2tx1,即t=2x1.又A,B,M三点
x3一3x一1的图象与直线y=入有三个不同的交点.
由g(x)=x3-3x-1,得g'(x)=3x2-3=3(x+
共线，所以M=及BM=1，=一兰，所以N
x1一t
kMN
1)(x-1),当x∈(-∞，-1)时，g'(x)>0,g(x)单
_y1
调递增；当x∈(-1,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递
a2
减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所
462=
x1三1，则&2=4，故C的离心率e=
I1
以g(x)的极大值为g(-1)=1,极小值为g(1)=-3,
所以入的取值范围是(-3,1).
b25
14-1.60【解析】由题意知a,b,c,d均为不超过6的自然
12-1.48【解析】设等比数列{am}的公比为q,q>0,易知
数，下面分情况讨论：①当最大数为6时，45=62+
a11-g）=9,
32+02+02,此时共有A=12种情况；45=62+22+
q≠1，因为S2=9,S4=45,所以
1-9
所
22+12,此时共有A?=12种情况.②当最大数为5
a1(1-g*)
=45,
时，45=52+42+22+02，此时共有A=24种情
1-9
以-g=1
况.③当最大数为4时，45=42十42十32+22，此时共
以1-g=1+g=5,解得q=2或g=-2(舍去)，
有A=12种情况.综上，满足条件的有序实数组(a,
则a1=3,所以a5=3×24=48.
b,c,d)的个数为12+12+24+12=60.
12-2.22【解析】因为a1=2,S2=a1十a2=-2,所以14-2.C【解析】设a=x1+1,b=x2+1,c=x8+1,d=
a2=一4，故等比数列(a}的公比g=22=一2，所
x4+1,由x1+x2十x3+x4≤13，且x1,x2,x3,x4
是非负整数，将问题转化成求不等式4a十b十c十
以S,=11=g）=22.
d≤17的正整数解的组数.求方程a十b+c+d=
1-q
n(n∈N*,4≤n≤17)的正整数解，可先将n看作n
13-1.(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞)【解析】当x≤0时，
个“1”，将这n个“1”排成一排，在其中间形成的n一1
f(x)=-x2-2x-6=-(x+1)2-5<0:当x>0
个空位中选择3个空位放人隔板，则隔板隔开形成4
时，令f(x)=lnx=0,得x=1,所以f(x)只有一个
组“1”，每组“1”的和分别对应a,b,c,d的值，因此，
零点1.若h(x)=f(x)g(x)只有2个零点，显然
方程a十b十c+d=4的正整数解的组数为C,方程
h(1)=0,故x=1也是h(x)=f(x)g(x)的一个零
a十b十c十d=5的正整数解的组数为C,方程a+
点.若m=0,则函数g(x)=一2没有零点，此时
b十c十d=6的正整数解的组数为C,·,方程a十
h(x)=f(x)g(x)只有1个零点，故m=0不符合题
b十c十d=17的正整数解的组数为C16,所以原不等
意，所以m≠0.当m≠0时，令g(x)=0,得工=2
式的非负整数解的组数为C+C+C十…十C。=
则g(x)有一个异于1的零点，所以2≠1，解得m≠2.
C4+C+Cg+…+C16=Cg+Cg+…+Ci6=…=
C1,=2380.
综上，m的取值范围是(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞).
l3-2.A【解析】f(x)=sinx-x的定义域为R,且
15-1.(1)证明：由已知及正弦定理得nA+osA=2,
sin C cos C
f(-x)=sin(一x)+x=-(sinx-x)=一f(x),所以
即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sinC·
f(x)是奇函数g(x)=f(x3-x一1)十f(-2x-A)有
cos C=sin 2C.
三个零点等价于方程f(x3-x一1)=-f(-2x-A)有
又A,B,C是△ABC的内角，
三个不相等的实数根.又f(x)是奇函数，所以
sin(A+C)=sin B=sin 2C.
f(x3-x-1)=f(2x+λ).又f'(x)=cosx-1≤0，
又B,C∈(0，π)，
。4·
所以B=2C或B+2C=元.
4cos B-4cos Bcos D+cos*D9
8
②.
若B+2C=π，则由A+B+C=π，得A=C.
综上，A=C或B=2C
联立0®，解得S-
-2cos(B+D)≤6
6
(2)解：由题意知a≠c,则A≠C,
所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C.
则s,
由正弦定理得inA-a。3
当且仅当B十D=π时，等号成立，此时，四边形
sin Cc 2'
所以C-名
ABCD的面积取得最大值3y
4
16-1.(1)证明：因为PG=GH,
sin 3C sin (2C +C)=sin 2Ccos C+
所以G为PH的中点.
cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C,
又F为PB的中点，
所以sin3
3
所以由三角形中位线定理可知GF∥BH.
sin C
=4c0s2C-1=2,
因为BHC平面BEH,GF丈平面BEH,
5.
所以2cos2C=4,
所以GF∥平面BEH.
(2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正方形，
cos B=cos 2C=2cos2C-1=-
-1-
所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直
所以血B=碳五-√()-，
线分别为x轴y轴、之轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
1
故△ABC的面积SAAc=2 acsin B=
-×3×2×
W15_3/15
4
4
15-2.解：(1)如图，连接AC.
由余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC?_6-AC
F
2AB·BC
4v2
cos D=AD+CD:-AC:3-AC:
2AD·CD
22,
所以2cosB-cosD=3y2
4
A
设AD=DG=2,则B(22,0),E(10,2),G(0,0,
2),H(0,0,1),K(1,0,0),
B
所以-(10,2）i=2,2-10,G成=(1，
0,-2).
(2)因为CD=1,所以四边形ABCD的面积
设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,之1)，
HE·m=0,
1
S=SAANC+SAACD号AB·BCsin B士2ADD
则
0即1+21=0，
CDsin D=2
Hi·m=0,2x1+2y1-z1=0.
(2sin B+sin D),
令x1=1,得y1=一2，z1=-2,则平面BEH的一个
则2S2=4sinB+4 sin Bsin D+sinD①.
法向量为m=(1,一2，一2).
设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,z2),由(1)可
由(1)可知2cosB-cosD=3y2,
4,
知GF与HB共线，
·5
则
0即-2x=0,
GR·n=0,
令之=1，得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1).
HB.n=0,2x2+2y2-z2=0.
设直线A1C与平面C1DE所成的角为0，
3
令x,=2,得y2=一之z,=1,则平面FGK的-个
则sin0=1eos〈AC,m)1=A交·m
A CIm
法向最为a(2,一号小
1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1_4W14
√4+4+16×√16+4+1
21
所以cos〈m,n〉
m·n
ImIn
所以直线A1C与平面CDE所成角的正弦值
1x2+(-2×(-)+(-x1
为①红
2/29
21
29
17-1.解：(1)由题意得b=1,且由C的焦点F(一1,0)可知
4
C的半焦距c=1.
故平面BEH与平面FGK所成二面角的正弦值
又a2=b2+c2=2,
为
所以C的方程为写+y=1
16-2.(1)证明：如图，连接CD1交C1D于点G,连接EG.
(2)当1垂直于x轴时，显然BP不与BQ垂直，不符
因为正四棱柱ABCD-A1B:CD:的侧面CC1D1D
合题意.
是矩形，
当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=(x十
所以G为CD1的中点.
1)(k≠1)，P(x1,y1),Q(x2y2).
又E为BC的中点，
联立2
+y2=1,
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-
所以EG为△BCD,的中位线，
y=k(x+1),
所以EG∥BD.
2=0,
因为EGC平面C1DE,BD1史平面CDE,
4k2
22-2
所以BD1∥平面C1DE.
则x1十x2=一1十2h221x2-1十2k2
又BP⊥BQ,则BP·BQ=O.
又B驴=(x1y1-1),B=(x2,y2-1),
B
即x1x2十(y1-1)(y2-1)=0,
则(1十k2)x1x2十(k2一k)(x1十x2)十k2-2k十
1=0.
G
4k2
2k2一2
代入工1十x:=一1十2，x1x:=1十2，整理得
3k2-2k-1=0,
D
解得=一司或6=1（合去.
所以1的方程为y=合十1D.
(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方
即x+3y+1=0.
向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐
17-2.(1)解：由题意知A1(一a,0),A2(a,0)
标系，
设P(m,m(m>0,n>0),则%+
所以D(0,0,0),A1(2,0,4),C(0,2,0),C1(0,2,4)
a2+62=1.
E(1,2,0),故A1C=(-2,2,-4),DC=(0,2,4),
因为直线PA1,PA,的斜率之积为-
4
DE=(1,2,0).
设平面CDE的法向量为m=(x,y,z),
所以
n
m+a·m”a
m2-a8=
m2-a
DC·m=0,
则
2y+4z=0,
即
b2
1
D克.m=0,1z+2y=0.
a?=
4，
6·
所以a2=4b2.
2(2m-m+2)1
y十
由题意得2a=4,所以a2=4,b2=1,
2n+m-2
得
所以C的方程为号+)2=1
y=1
+1,
m
(2)解：设坐标原点为O,则△OB2A2的面积
(”1-2小y
12n-2m+4+m
2n+m-2Tn-1'
Samd
整理得y=
12n2+m2-8n-4
m2-4n2+8n-4
因为P(m,n)(m>0,n>0),且
4
十n2=1,所以四
十n2=1,得m2=1-m
4
4
边形OA2PB1的面积S四边形OA2PB1=S△POA2十
S1=X2n+m=
1
所以
121-)+m-8a-4
y=
m-4(1-）+8m-4
(g+）=,
-m2-4n+4
m2+4n-4
一1，
当且仅当？-，即m=巨a号时，等号成立。
所以点E在一定直线上，其方程为y=一1
所以SA=S20A,+Sem,≤1十2,18-1.(1)解：f'(x)-2-三-2x+1)红-1D》(x>0,
当点P的坐标为(E,受)时，四边形PB,B,A:面
当0<x<1时，f'(x)<0;
当x>1时，f'(x)>0,
积的最大值为1十√2.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间
(3)证明：由kpA2
m一2，得直线PA:的方程为y
是(1，十∞).
(2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e-e2r-sinx-
-2x-2).
n
ax,(0)=0,h'(x)=e*-2e2-cos x-a.
令h'(0)=0,则a=-2.
又直线A,B:的方程为y=-
2x-1,
当a<-2时，h'(0)>0,
2x1,
所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)>0,
由
h(x)单调递增，
2-2.
故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0,
[x=2(2n-m+2)
即g(x)>e2十ax,不符合题意.
2n+m-2’
当a≥-2时，h'(x)≤e2-2e2-cosx+2,且当
解得{
An
x>0时，e2-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2.
=
2n+m-21
令及(x)=-e2红-cosx+2,则当x>0时，
即n(2+2.2a0小
k'(x)=-2e2+sin <0,
故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(0)=0,
因为DE∥A2B2,所以kDE=kA=2,
1
所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,
线DE的方程为y十20十m-2
即g(x)<e2r十a.x.
2(2n-m+2)1
综上，a的取值范围是[一2，十∞).
2n+m-2
(3)证明：设lh=r,则r>0,t=e∈(0,1)，
又kPB1=
n-1
m
f()-g(in )=f(e)-g(r)=o-2r-
所以直线PB1的方程为y=
n-
x+1.
m
e'+sin r,
·7
由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,
故f(e')>g(r).
所以存在唯-∈（公小使得了=g,)=0,
由1-)-8（血）-s.得/e)>f1-.
且存在唯一x2∈(1,3)，使得f(x2)=g(x2)=0,
所以当0<x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当
又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区间(0，
x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2
1)上单调递减，
时，f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以0<er<1-s<1,
所以f(x)在区间(0,1)上有唯一极大值点x1,在区
-In t=r>-In(1-s),s<1-t.
间(1，十∞)上有唯一极小值点x2
令9(x)=lnx-x+1,则p'(x=1-
(2)解：由题意得f1)=0,f(x)=e1-2-2z,
x
令f'(1)=0,则a=-1.
当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增；
当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，
令h6x）=/'),则A'x)-e-+是-2，且当a<
故当x≠1时，(x)<p(1)=0,
0,x>0时，h'(x)单调递增.
所以r>-ln(1-s)>s.
①当a<-1时，令p(x)=xe-1-2x2=xg(x),
当x>0时，g'(x)=e-cosx>0.
由(1)易知p(x)在区间[1,1+ln2]上单调递减，当
令t(x)=e-cosx,x>0,
a≤p(1+ln2)时，若x∈(1,1+ln2),则f'(x)>0,
则t'(x)=e十sinx>0,
f(x)单调递增，此时f(1+ln2)>f(1)=0,不符合
故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增，
题意；
所以f(t)=f(e')>g(r)>g(-ln(1-s)>
当p(1+ln2)<a<-1时，存在唯一的x3∈(1,1十
g(s)>0.
ln2),使得f'(x3)=0,且当x∈(1，x3)时，f'(x)>
当0<x<1时，设x3[f'(x)+g'(1-x)]<2(x2
0,f(x)单调递增，则f(x3)>f(1)=0,不符合题意.
1)+x[e'-x-cos(1-x)]=u(x),
@当-1Ka<0时f1)<0,f(-是)-e1+
u'(x)=4z+e!-*-cos(1-x)+x[-e!-*-sin(1-
x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e-x-1)>0,
2e+4>0,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,f'(x)=
故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0.
h(x)单调递减，
又g'(x)单调递增，s<1一t,
故存在唯一的x∈（一81）使得f(x)=0,且
所以0<g(s)<g'(1-t)<-f'(t).
综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)十g'(s),
当x∈(x4,1)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，
则f(x4)>f(1)=0,不符合题意.
即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
⑧当≥0时，1（日）=e1+a->0，不符合
1
18-2.(1)(1)解：易得f'(x)=e-1-a
一2x
题意.
由题意可得f(1)=-a-1=am经=-1，解得
④当a=一1时，h'(x)在区间(0,2)上单调递增，且
a=0.
'(1)=-2<0,h'(2)=e>0
（i)证明：此时f(x)=e2-1-x2,x>0,
所以存在唯一的xo∈(1,2)，使得h'(xo)=0.当0<
则f'(x)=e-1-2x.
x<x0时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当xo<x<2
令g(x)=f'(x),则g'(x)=e-1-2.
时，h'(x)>0,h(x)单调递增，
令g'(x)=0,则x=1+ln2.
故当x∈(1,2)时，f'(x)=h(x)<max{f'(1),
当0<x<1+ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；
f'(2)}=0,f(x)单调递减，
当x>1+ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增.
且当x∈(0,1)时，f'(x)=h(x)>h(1)=0,f(x)单
调递增，
又g(20)-。(e2-1D>0,g1)=-1<0,g1+
所以当x∈(0,2)时，f(x)≤f(1)=0,符合题意.
ln2)=-2ln2<0,g(3)=e2-6>0,
综上，a=一1.
·8·
19-1.(1)解：由题意将五进制数211c)转化为十进制数，得
所以X的所有可能取值为1,2,3，…，n.
2116)=2×52+1×5+1=56.
当X=m(m=1,2,3,…,n)时，二进制数
因为56=2×33+0×32+0×3+2，
amam-1·…·a1ao(2),bnbn-1…b1bo(2)有m位取值不
所以56=2002)，
同，有n十1一m位取值相同，
除去an=b.=l,从剩余的n位中选择m位，二进制
所以五进制数2116，转化成三进制数为2002.
数anam-1…a1ao2,bnbn-1…b1bo2)在这m位上数字
(2)(1)解：若n=3,则n+1位的二进制数有
不同，其余n一m位均在同一位置，且取值相同.
10002,11112,11002,10102,1001(2,10112,
11012,1110(2),共8个，从8个数中任选2个，共有
因为X=la:-b,
-0
C=28种情况，
所以共有C:2”
A种情况，
因为X-2a:-61,
Cm·2
所以X的所有可能取值为1,2,3.
所以P(X=m)=
A号
Ca
Cm
2m-1
(m=1,2,3,,n),
当X=1时，若选择1000(2)，可以从1001(2,1010(2，
所以X的分布列为
11002中任选1个，共有3种情况；
X
1
2
3
若选择11112，可以从10112,11012,11102中任
个
C
Ca
C3
Cn
选1个，共有3种情况；
2n-1
2m-12m-1
2m-1
若选择1100(2，可以从1101(2)，1110(2中任选1个，
共有2种情况；
因为
m·n!
m.Co
m!(n-m)!
若选择1010(2)，可以从11102)，1011(2，中任选1个，
(n-1)!
共有2种情况：
(m-1D！[(n-1D-(m-1)万j=nCg,
若选择1001(2)，可以从11012)，1011(2)中任选1个，
所以E(X)=1×2+2X++nX
共有2种情况，
1
共有3+3+2+2+2=12（种）情况，
2-1=2-1(C+2C+3C+…+nC)=
放P0X=1-品=号
-C+C+C-1+…+C)=n:2-
n
2一1
当X=3时，10002，和1111(a,11002)和10112，
n·2m-1
n
10102,和11012)，10012和1110(2满足要求，共有4
2#
Γ2
种情况，
即EX>会
41
故P(X=3)=28=7'
19-2.(1)解：若n=3,则第一次取出的是编号为1的球的
所以P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1
概率为日：
31_3
若第一次取出的是编号为2的球，且第二次编号为1
7-7=7:
所以X的分布列为
的球被取由的半为日×号言：
若第一次取出的是编号为3的球，且第二次编号为1
X
1
3
3
3
1
的球被取出的概率为1×=1
、33
7
7
7
所以E(X)=1X
3
112
7
+2X
7
十3×
7=7·
(2)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
(i)证明：因为n十1位二进制数anan-1…a1a2中，
为n的球的概率为n:
1
am=1,
若第一次取出的是编号为1的球，则第二次编号为n
所以根据二进制数中0的个数可得，n十1位二进制
的球不可能被取到，故若第一次取出的是编号为1
数一共有C十C+C层十…十C”=2m个.
因为am-1十am-2十…十a1十ao≤n,
的球，且编号为m的球被取出的概率为}×0=0；
·9·
若第一次取出的是编号为i(i=2,3,…,n一1)的球，
且编号为m的球被取出的概率为】×CC
故Pa,)-日+Dg-1)-a
Ci
1)]=n2+n-2
1x-1=-1
2n(n-1)'
nn-1n(n-1)'
1-1)=1+
所以P(n,m)=
n2+n-2mn2+n-2n十2
2n(n-1)2n(n-1)2n,
故P(,m)+0+mm-D
n
1
P(m+1,m+1D=a+1+6a+)-2m+D≥
m=Dxm-1Dm2）-1
2m(n+1)
2
2
(n+1)2-(n+1)_1
所以P(n,n)与n的取值无关.
2n(n+1)
2
(3)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
为飞的球的概率为
又P(,m)-P(a+1,m+1)=(n-m)·(元
n
2(n-m)
若第一次取出的是编号为i(i=1,2,…,k一1，k十
2+1=
nn+i
(n2-1)≥0，
1,…,n)的球，且编号为的球被取出的概率为】×
1
故2≤P(n+1,m+1D≤P(,m)≤"22
i-1i-1
n-1n(n-1)'
·102026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
参考答案及解析·数学
1-1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2),N=5-1.-e【解析】因为f(-1)=f(1)=ln1-1=-1,
{-√2,0，W5},所以M∩N={-√2,0}
g(-e)=f(-e)=f(e)=1-e,所以f(-1)+
1-2.B【解析】因为M={-1,0,1,2},N={x|0<x<3},
g(-e)=-e.
所以M∩N={1,2).
5-2.C【解析】因为定义域为R的函数f(x)满足f(2x+4)
21D【锦标】因为：片a岁所以：十
的图像关于直线x=一2对称，所以f(2x+4)=
f[2(-4-x)+4],即f(2x+4)=f(-2x-4),所以
i-名+故1+=（合）+()-四
f(x)是偶函数.又f(x)+f(x十2)=4，所以f(x+4)=
1+i
4-f(x十2)=4-[4-f(x)]=f(x),所以f(x)的
2-2.A【解析】因为z=(1-1D(+)
1
1
2
2
i
周期为4.又f(-x)=f(x),f(x)+f(x十2)=4，所
所以z=一
1
以f(-x)十∫(x十2)=4，所以∫(1)=2，所以
2+2i
f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2.
3-1.3【解析】设{an}的公差为d,则由a1+2a2=as-1,
6-1.AC【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即一2x+
1
得a1十2a1十2d=a十4d-1,整理得d-a1=2,所
x十1=0，解得x=1,故A正确；对于B,若a∥b,
以a?-7a1=6(d-a1)=3.
则(-1)×1-(x十1)×2x=0,整理得2x2+2x+1=
3-2.4【解析】由题意得a2十a6=2a4,a3十a?=2a5,则
0,此方程无解，故不存在x∈R,使得a∥b,故B错误；
a2十a4十as=3a4=3,a3+a5十a7=3a5=9,所以
对于C,当x=0时，a+b=(-1,2),所以|a十b=√5，
a4=1,a5=3,所以a1十a8=a4十a5=1十3=4.
故C正确；对于D,当x=-1时，a=(-1,0),b=
4-1号【解析】因为a+6=1,所以2a+1+26=3,所以
(-2,1),则a·b=2,所以a在b上的投影向量为
a+品=(+品)(2+1+2b)-
1
ap号6，放D猫误
6-2.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
++结)≥当仅当a
2b
a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),所以
2a站，即a-6=受时，等号成立，故十品
1
1
1
a·(a-b)=15.
2b
V
的最小值为手
a
4-2.C【解析】由0<a<1,得a2<1,即0<a<1,故
b
A错误6的取值可以是a,1D和[1，。)故B错误，
6+1>a+1
>2
1
/a·
a
=2,故C正确；a十
7-1.B【解析】根据对称性，不妨设直线AB的倾斜角为
锐角，如图，设C的准线为l,∠AFx=0,|FB|=m,
)-(b+若)-a-)+b2=a-).6是
则|FA=3m.过点A作AQ⊥x轴于点Q,AA'⊥l于
ab
点A',则由抛物线的定义得3mcos0+2=|AA'|=
因为0<ab<1,所以2。<0，又a-6<0,所以a十
3m,同理过点B作BB'⊥1于点B',可得2一
>6+名，放D错误。
mcos0=BB1=m,解符0=60，n=专设点
Mw）,则w-1=mcs0,解得u=号，所以
所以过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为
4πR2=12π，故C正确；对于D,由题意知平面
m=5u-1D-2,故OM=V+5-
ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面
3
BED1=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1=BE,所以
D1F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F
为平行四边形，则周长1=2(BE十ED1).沿CC,将相
M
邻两四边形推平，当B,E,D1三点共线时，BE十ED
0
最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D正确.
D
D
B
D:
A
7-2.2√2【解析】因为AB|mn=2p=4,所以p=2,所以
抛物线C:y2=4x.设l的方程为x=my十1，A(x1,
D-----
D--
),B(x2y),联立=my+1,
得y2-4my-4=
y2=4x,
①
②
0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,|AM|+2|BN|=
9-1.AB【解析】因为样本数据x1,x2,,x6的样本平均
+2-+x-+×-2，
数为3，且x7=3,所以样本数据x1,x2,…,x6,x7的
4
样本平均数也为3，且极差相同，而中位数不一定相
当且仅当y1=一√2y2时，等号成立，所以(|AM|十
同，故A,B正确，C错误；设样本数据x1,x2,…,x6
2|BN|)min=2√2
的样本方差为s,样本数据x1,x2,·,x6,x7的样本
8-1.C【解析】由点P在平面ABCD上的射影恰好落在
直线AC上，得平面PAC⊥平面ABCD.设BD∩AC=
1(x:
方差为s,则=6之(c:-3)2=6,5号=70
G,在平面PAC内，过点G作AC的垂线与PA交于
3=2(,-3)P-85<,放D错误
点O,则OG⊥平面ABCD,所以∠PAC=60°.在
71
Rt△AOG中，由AG=1,得OA=2.又PA=4,所以O
9-2.ACD【解析】由题意知数据在区间[4,6)内的频率为
为PA的中点，所以OA=OP=OB=OC=OD=2,
1-2×(0.229+0.149+0.027+0.027+0.014)=
即点O为该球的球心，则球O的表面积S=4π×
0.108,所以a=0.108÷2=0.054,故A正确；“人均花
22=16π.
费预算”在区间[2,6)内的人数为1000×2×(0.149+
8-2.ACD【解析】对于A,如图①，取AA,的中点M,
0.054)=406,故B错误；“人均花费预算”在区间
DD1上靠近点D1的三等分点N,连接MN,MB1,
[4,6),[6,8),[8,10)内的游客人数之比为2：1：1，
NC1,易知四边形NMB1C为平行四边形，四边形
所以用分层随机抽样的方法抽取100人，在区间
NMA1D1为平行四边形，所以MN∥A1D1,MN∥
[6,8)内的游客有25人，故C正确；“人均花费预算”
B1C,则B1C1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共
在区间[0,4)内的频率为(0.229+0.149)×2=0.756<
面，故A正确；对于B,由对称性知，此几何体体积是
0.85,在区间[0,6)内的频率为0.756十0.108=0.864>
底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的
0.85,所以这组数据的85%分位数x在区间[4,6)内，
1
所以x<6,故D正确.
半，所以V=2×2×4×2=8,故B错误：对于C,如
10-1.ABD【解析】因为当-1≤x≤1时，一1≤f(x)≤1，
图②，过A1,C1,B,D四点构造正方体ABCD
所以f(1)=1+m十n≤1，即m+n≤0①，f(-1)=
A1B,C1D2,所以外接球直径长为正方体ABCD
-1+m+n≥-1，即m+n≥0②，则由①②得
A1B2C1D2的体对角线长，所以2R=23,则R=√3，
m十n=0,故A正确.由上可知f(x)=x3+mx2一m,
·2·
当m=0时，f(x)=x3满足当-1≤x≤1时，-1≤
2k<2k+1,结合f(x)在区间(k,+∞)上单调递增，
f(x)≤1；当m≠0时，f'(x)=x(3x+2m),令
得f(x+)<f(2k十1)，故C正确.令f"(x)=
f(x)=0,则x=0成z=-当-0≥1，即
(f'(x)',由f'(x)=(x-)(3x-k),得f(x)=
3
6x-统令了红)=0，得，-华从面号+及=2×
m≤-2时，f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区
2k
3
=2xo,故D正确.
11-1.ABD【解析】设△F1PF2的内切圆的半径为r,圆
间(0,1]上单调递减，故应满足f(0)≤1，
此时
I分别切F1F2,PF2,PF1于点Q,S,T,则2a=
f(-1)≥-1，
IPFI-PF2I=(IPTI+F,TI)-(IPSI+
f(1)≥-1，
|F2SI)=|F1T1-|F2S|=1F1Q|-|F2Q|,故点
不等式组无解，当0<
20<1,即-<m<0时，
Q在C的右支上.又点Q在x轴上，所以Q(a,0).而
fe)在区间[-1,0)上单调递地，在区间(0，一罗）
IQ⊥F1F2,所以a=x1=1,r=|IQ|=2.又
∠TPS=90°，所以四边形PSIT为正方形，则|PT|=
上单道减，在区间（一2，]上单调递增，放应满
|PF1|=r+c+1=c+3,
|PS|=r=2.由|PF2=r+(c-a)=c+1,解得
3
<m<0,
|PF112+|PF2|2=(2c)2,
f(0)≤1，
c=5,所以b2=c2一a2=24,则C的方程为x2
足f(-1)≥-1，解得-1≤m<0,同理可知当
24=1,故A正确：分别过点F1,F2作C的渐近线
f(1)≤1，
y=26x的平行线，易知圆I位于两平行线之间，而
两平行线间的距离为4√6，所以2r<4√6，即r<
0<m≤1时也满足要求.综上，-1≤m≤1，故B
2√6，故B正确；|PM|+IPF1I=|PM|+|PF2|+
正确.由题得f(x)=x3十mx2-m=x3十m(x2-1),
2≥|MF2|+2=9,仅当点P在线段MF2上时，等号
取m=-1,则f(x)=x3-x2+1,所以f(2)=5.令
成立，故C错误；∠F1PF2=180°-（∠PF1F2+
h(x)=5x-4,则h(2)=6,所以f(2)<h(2),故
∠PF2F1)=180°-2（∠IF1F2+∠IF2F1)=
C错误；因为f′(1)=3+2m,f'(-1)=3-2m,且
180°-2×(180°-∠F1IF2)=180°-2(180°
-1≤m≤1，所以1≤f'(1)≤5,1≤f'(-1)≤5.又
120)=60°.在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F22=
f(1)=1,f(-1)=-1,所以当x≤-1时，f(x)≤
|PF1I2+|PF2|2-2PF1IIPF2lcos∠F1PF2,即
f'(-1)·(x十1)-1≤x,故D正确.
4c2=(PF1I-|PF2l)2+|PF1IPF2I,则|PF1|·
10-2.ACD【解析】f′(x)=3x2+2ax十b,由题意，得
|PF2=4c2一4a2=4b2=96,故D正确.
(ki+ak2+bk=0,
解得口一2，
故A正确.f(x)
3k2+2ak+b=0,b=k2,
山-2
【解析】设M(x1,y1),A(xo,yo),则N(-x1,
x3-2kx2+k2x=x(x-k)2,f'(x)=(x-k)(3x
y_x」
k).当>0时，fx)在区间（夸k)上单调通减，在
621
一y1).由
得二6-号=0，即
(a261,a
62
区间(k,十∞)上单调递增，所以x=k是f(x)的极
小值点：当k<0时，f(x)在区间（一∞，k)上单调递
(y-y)(y+y)=z1-xo)x1+x0）,所以
增，在区间(，专）上单调递减，所以x=k是f()
a
(yi-yo)(yi+yo)a2
的极大值点，故B错误.当0<x<k时，k<x十k<
=)z1十zo)b:又w=1-0,eaw
·3·
十头，所以kau一分又ka·点w=一4，所
所以∫(x)为减函数，所以x3一x一1=2x十入，即
x1十x0
x3一3x-1=入，所以问题等价于方程x3一3.x一1=
以二-a2设B(4,0)(u≠0)，由1Oi12
入在R上有三个不相等的实数根，即函数g(x)=
kMN
2OM·OB,得t2=2tx1,即t=2x1.又A,B,M三点
x3-3x一1的图象与直线y=入有三个不同的交点.
由g(x)=x3-3x-1,得g'(x)=3x2-3=3(x+
共线，所以k出=侧=二=一兰，所以字
x1-t
1)(x-1),当x∈(-o∞，-1)时，g'(x)>0,g(x)单
y1
调递增；当x∈(-1,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递
a2
462=
y1
1,则1
。=4,故C的离心率e=
减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所
x
以g(x)的极大值为g(-1)=1,极小值为g(1)=-3,
625
所以入的取值范围是（一3,1）.
14-1.60【解析】由题意知a,b,c,d均为不超过6的自然
12-1.48【解析】设等比数列{am}的公比为q,g>0,易知
数，下面分情况讨论：①当最大数为6时，45=62+
e1-g）=9,
32+02+02,此时共有A=12种情况；45=62+2+
1-q
q≠1，因为S2=9,S4=45,所以
所
22+12,此时共有A?=12种情况.②当最大数为5
a1(1-g4)
=45,
时，45=52+42+22+02，此时共有A=24种情
1-q
况.③当最大数为4时，45=42十4+32十22，此时共
哥中g=言解得g=2度g=-2含去
有A=12种情况.综上，满足条件的有序实数组(a,
则a1=3,所以a5=3×24=48.
b,c,d)的个数为12+12+24+12=60.
12-2.22【解析】因为a1=2,S2=a1+a2=-2,所以14-2.C【解析】设a=x1十1，b=x2+1,c=x3+1,d=
a2=-4,故等比数列(a.}的公比g=22=一2，所
x4十1，由x1+x2十x3十x4≤13，且x1,x2,x3,x4
是非负整数，将问题转化成求不等式4≤a+b+c+
以5。=a11-g2=22.
d≤17的正整数解的组数.求方程a十b十c+d=
1-9
n(n∈N*,4≤n≤17)的正整数解，可先将n看作n
13-1.(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞)【解析】当x≤0时，
个“1”，将这n个“1”排成一排，在其中间形成的n一1
f(x)=-x2-2x-6=-(x+1)2-5<0;当x>0
个空位中选择3个空位放入隔板，则隔板隔开形成4
时，令f(x)=lnx=0,得x=1,所以f(x)只有一个
组“1”，每组“1”的和分别对应a,b,c,d的值，因此，
零点1.若h(x)=f(x)g(x)只有2个零点，显然
方程a+b十c十d=4的正整数解的组数为C?,方程
h(1)=0,故x=1也是h(x)=f(x)g(x)的一个零
a+b十c十d=5的正整数解的组数为C好，方程a+
点.若m=0,则函数g(x)=一2没有零点，此时
b十c十d=6的正整数解的组数为C,…,方程a十
h(x)=f(x)g(x)只有1个零点，故m=0不符合题
b十c十d=17的正整数解的组数为C6,所以原不等
意，所以m≠0，当m≠0时，令g(x)=0,得x=2
式的非负整数解的组数为C+C+C+十C6=
则g(x)有一个异于1的零点，所以2≠1，解得m≠2.
C4+C+Cg+…+Ci6=Cg+Cg+…+C6=…=
C1,=2380.
综上，m的取值范围是(-∞，0)U(0,2)U(2,十∞).
13-2.A【解析】f(x)=sinx-x的定义域为R,且
151.1证明：由已知及正弦定理得出合+合2。
f(-x)=sin(-x)十x=-(sinx-x)=-f(x),所以
即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sinC·
f(x)是奇函数.g(x)=f(x3-x一1)十f(-2x一入)有
cos C=sin 2C.
三个零点等价于方程f(x3-x-1)=-f(-2x一入)有
又A,B,C是△ABC的内角，
三个不相等的实数根.又f(x)是奇函数，所以
sin(A+C)=sin B=sin 2C.
f(x3-x-1)=f(2x+A).又f'(x)=cosx-1≤0，
又B,C∈(0，π)，
·4·
所以B=2C或B+2C=元.
4cos2 B-4cos Bcos D+cos'D=9
②
若B十2C=π，则由A十B十C=π，得A=C.
联立①②，解得S2=
31
综上，A=C或B=2C.
16
-2as(B+D)≤8，
(2)解：由题意知a≠c,则A≠C,
所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C.
则s,
由正弦定理得inA-a=3
当且仅当B十D=元时，等号成立，此时，四边形
sin C c2'
所以出光-号
ABCD的面积取得最大值3
4
16-1.(1)证明：因为PG=GH,
sin 3C sin (2C+C)=sin 2Ccos C+
所以G为PH的中点.
cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C,
又F为PB的中点，
所以sin3
3
sin C
=4cos2C-1=2:
所以由三角形中位线定理可知GF∥BH,
因为BHC平面BEH,GF丈平面BEH,
所以2cos2C=4’
5
所以GF∥平面BEH.
(2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正方形，
则cosB-s20-2cs3C-1--1-
所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直
所以如B=1碳B-()-年，
线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
故△ABC的面积S△ABC=
2acsin B=-
2×3X2X
w/15_3√/15
4
4
15-2.解：(1)如图，连接AC.
由余弦定理得cOSB=AB2+BC2-AC6-AC
2AB·BC
4√2
cos D=AD+CD:-AC:3-AC:
D
2AD·CD
22
4
所以2c0sB-c0sD=3V2
4
A
设AD=DG=2,则B2,20),E(1,02）G0,0
2),H(0,0,1),K(1,0,0),
所以H成=(1,0,2）筋=(2,2，-1).G成=1，
0,-2).
(2)因为CD=1,所以四边形ABCD的面积
设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,z1),
SSaE+S6am-号AB,BCnB+号AD·
H正·m=0,
1
则
0即1+221=0，
HB·m=0,
CDnD=号(2mB+D.
2x1+2y1-z1=0.
令x1=1,得y1=-2,z1=-2,则平面BEH的一个
则2S2=4sin2B+4 sin Bsin D+sin2D①
法向量为m=(1,一2，一2).
设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,z2),由(1)可
由(1)可知2cosB-osD-3y2
4
知G市与HB共线，
·5·
则
”即-2=0,
GR·n=0,
令x=1,得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1).
HB.n=0,{2x2+2y2-z2=0.
设直线AC与平面C1DE所成的角为0，
3
令x:=2,得y:=-名z:=1,则平面FGK的-个
sin 0-I cos m)Am
ACIm
法向量为n=(2,-号，1小：
1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1_4W14
√4+4+16×√16+4+1
21
所以1cos〈m,n〉=
m·n
mn
所以直线A:C与平面CDE所成角的正弦值
1×2+(-2)×
（-2)+(-2x1
为①
2√/29
21
29
17-1.解：(1)由题意得b=1,且由C的焦点F(一1,0)可知
C的半焦距c=1.
故平面BEH与平面FGK所成二面角的正弦值
又a2=b2+c2=2,
为得
所以C的方程为号+)2=1
16-2.(1)证明：如图，连接CD1交C1D于点G,连接EG.
(2)当l垂直于x轴时，显然BP不与BQ垂直，不符
因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面CC1D1D
合题意
是矩形，
当1不垂直于x轴时，设直线1的方程为y=k(x十
所以G为CD1的中点.
1)(k≠1)，P(x1y1),Q(x2y2).
又E为BC的中点，
联立2+y=1,
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-
所以EG为△BCD1的中位线，
(y=k(x+1),
所以EG∥BD1.
2=0,
因为EGC平面C1DE,BD1中平面C1DE,
4k2
2k2-2
所以BD1∥平面C1DE.
则x1十x=一1十2k2x1x2-1+2k2
又BP⊥BQ,则BP·BO=0.
又B2=(x1y1-1),B戒=(x2y2-1),
即x1x2十(y1-1)(y2-1)=0
则(1十k2)x1x2十(k2-k)(x1十x2)+k2-2k十
1=0.
4k2
2k2-2
代入x1十x:=一1十2，x1x?=十22，整理得
3k2-2k-1=0,
解得飞=一
3或k=1(舍去)，
所以1的方程为=一日十1D。
(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,D心，DD的方
即x+3y+1=0.
向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐17-2.(1)解：由题意知A1(-a,0),A2(a,0)
标系，
设P(m,nm)(m>0,n>0),则+
所以D(0,0,0),A1(2,0,4),C(0,2,0),C1(0,2,4)
。+6=1.
1
E(1,2,0),故A1C=(-2,2,-4),DC=(0,2,4),
因为直线PA1,PA2的斜率之积为一
4
D2=(1,2,0).
设平面C1DE的法向量为m=(x,y,z),
所以”
n
、n2
m十a
m a ma=
m2-a2
则
DC1·m=0,2y+4z=0,
即
b2
1
Di,m=0,x+2y=0.
a2
4
。6
所以a2=4b2.
y+
、4n1r
2(2m-m+2)1
由题意得2a=4,所以a2=4,b2=1,
2n+m-2-2x
2n+m-2
由
得
所以C的方程为+y=1
y=1
+1,
m
(2)解：设坐标原点为O,则△OB2A2的面积
_12n-2m+4Lm
(-2小y=12m专+”
1
S△02A2=2X2X1=1.
整理得y=12m2十m2-8m-4
m2-4n2+8n-4
因为P(,m)m>0,>0),且实+2=1，所以四
由受+m=1,得公=1-
4
边形OA2PB1的面积S四边形oA2PB1=S△POA2十
5a=号X2+号m=
+n≤
12-)十m-8-4
2
所以y=
m-41-)+8m-4
√2(g+n）=,
-m2-4n+4
m2+4n-4
一1
当且仅当兮，即m=m号时，等号成立。
所以点E在一定直线上，其方程为y=一1.
所以S造ASAo,十S边0zP十2,18-1.)解：'()三名-名-2Xx十x-1(x>0
当点P的坐标为(2，号)时，因边形PB,B,A:面
当0<x<1时，f'(x)<0;
当x>1时，f'(x)>0,
积的最大值为1+√2.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间
n
（3)证明：由&：一m一2得直线PA,的方程为y
是(1，十+∞).
(2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e-e2r-sinx-
n
m-2x-2).
ax,h(0)=0,h'(x)=e*-2e2z-cos x-a.
令h'(0)=0,则a=-2.
又直线A1B:的方程为y=-
2x-1,
当a<-2时，h'(0)>0,
1
所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)>0,
y=-
2x1,
由
h(x)单调递增，
故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0,
即g(x)>e2十ax,不符合题意.
2(2n-m+2)
x=
2n+m-2,
当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2x-cosx+2,且当
解得
An
x>0时，e-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2.
y
2n+m-2’
令k(x)=-e2a一cosx+2,则当x>0时，
即D(2(2m-m+2
4n
k'(x)=-2e2:+sin <0,
、2n+m-2
,2m+m-2
故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(0)=0,
1
因为DE∥A2B2,所以kDE=kA22=
2
所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,
所以直线DE的方程为y十2n十m-2=
An
1
2
即g(x)<e2r十ax.
2(2n-m+2)1
综上，a的取值范围是[-2，十∞).
2n+m-2
(3)证明：设ln=7,则r>0,t=e∈(0,1)，
又kPB1=
n-1
故f)-g(）=fe)-g(r)=e-2x
所以直线PB1的方程为y=”二之
mx+1.
e+sin r
由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,
故f(e)>g(r).
所以存在唯一(2川)，使得了✉)一8）-0，
且存在唯一x2∈(1,3)，使得f(x2)=g(x2)=0,
由1-)=g血）=g,得e>f1-》
所以当0<x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当
又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区间(0，
x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2
1)上单调递减，
时，∫'(x)>0,(x)单调递增，
所以0<e<1-s<1,
所以f(x)在区间(0,1)上有唯一极大值点x1,在区
-In t=r>-In(1-s),s<1-t.
间(1，十∞)上有唯一极小值点x2
令p(x)=lnx-x+1,则p(x)=1-x
2)解：由题意得f)=0广x)=心1-兰-2，
令f'(1)=0,则a=-1.
当0<x<1时，p'(x)>0,9(x)单调递增；
当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，
令A)=),则Nx)=e1+是-2，且当a<
故当x≠1时，p(x)<p(1)=0,
0,x>0时，h'(x)单调递增.
所以r>-ln(1-s)>s.
①当a<-1时，令p(x)=xe-1-2x2=xg(x),
当x>0时，g'(x)=e-cosx>0.
由(1)易知p(x)在区间[1,1十ln2]上单调递减，当
令t(x)=e2-cosx,x>0,
a≤p(1+ln2)时，若x∈(1,1+ln2),则f'(x)>0,
则t'(x)=e+sinx>0,
f(x)单调递增，此时f(1+ln2)>f(1)=0,不符合
故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增，
题意；
所以f(t)=f(e)>g(r)>g(-ln(1-s)>
当p(1+ln2)<a<-1时，存在唯一的x3∈(1,1+
g(s)>0.
ln2),使得f'(x3)=0,且当x∈(1，x3)时，f'(x)>
当0<x<1时，设x3[f'(x)+g'(1-x)]<2(x2-
0,f(x)单调递增，则f(x3)>f(1)=0,不符合题意.
1)+x[e!-*-cos(1-z)]=u(x),
②当-1<a<0时f')<0,f(-是)=e1+
'(x)=4x+e!-+-cos(1-z)+x[-el-+-sin(1-
x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e-x-1)>0,
2e+a>0,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,f'(x)=
故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0.
h(x)单调递减，
又g'(x)单调递增，s<1-t,
故存在唯一的x∈(-01小使得f(x)=0,且
所以0<g'(s)<g'(1-t)<-f'(t).
当x∈(x4,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，
综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)十g'(s),
则(x4)>f(1)=0,不符合题意
即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
当≥0时，（日）=e+a>0，不将合
1
18-2.(1)(1)解：易得f'(x)=e-1-4-2x,
题意
由题意可得∫(1)=-a-1=1an不=-1，解得
④当a=一1时，h'(x)在区间(0,2)上单调递增，且
a=0.
2'(1)=-2<0,h'(2)=e-2>0
(i)证明：此时f(x)=e1一x2,x>0,
所以存在唯一的xo∈(1,2)，使得h'(x0)=0.当0<
则f'(x)=e-1-2x.
x<xo时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当xo<x<2
令g(x)=f'(x),则g'(x)=e1-2.
时，h'(x)>0,h(x)单调递增，
令g'(x)=0,则x=1+ln2.
故当x∈(1,2)时，f'(x)=h(x)<max{f'(1),
当0<x<1十ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；
f'(2)}=0,f(x)单调递减，
当x>1+ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增
且当x∈(0,1)时，f'(x)=h(x)>h(1)=0,f(x)单
又g(20)。(a-10>0,g1)=-1<0,g1+
调递增，
所以当x∈(0,2)时，f(x)≤f(1)=0,符合题意.
1n2)=-2ln2<0,g(3)=e2-6>0,
综上，a=一1.
·8·
19-1.(1)解：由题意将五进制数211)转化为十进制数，得
所以X的所有可能取值为1,2,3，…，n
2116)=2×52+1×5+1=56.
当X=m(m=1,2,3,…,n)时，二进制数
因为56=2×33+0×32+0×3+2，
anam-1·…·a1ao(2),bnbn-1…b1b(2)有m位取值不
所以56=2002(a),
同，有n十1一m位取值相同，
所以五进制数2116，转化成三进制数为2002(：
除去an=bn=l,从剩余的n位中选择m位，二进制
数anam-1…a1ao2,bnbn-1…b1b2在这m位上数字
(2)(1)解：若n=3,则n+1位的二进制数有
不同，其余n一m位均在同一位置，且取值相同.
10002,11112,11002,1010c2,10012,10112,
11012,11102,共8个，从8个数中任选2个，共有
因为X=21a:-bl,
-0
C=28种情况
所以共有C22
A种情况，
因为X=2a:-bi,
C%·2
所以X的所有可能取值为1,2,3.
A
C
所以P(X=m)=
C
27m=1,23,,m,
当X=1时，若选择1000(2)，可以从1001(2,1010(2)，
所以X的分布列为
11002中任选1个，共有3种情况；
X
1
2
3
n
若选择11112，可以从10112,11012,11102中任
Cz
C
Ci
C
选1个，共有3种情况；
P
2n-1
2m-1
2m-1
2m-1
若选择11002)，可以从11012,1110(2，中任选1个，
m·n!
共有2种情况；
因为
mCo
m!(n-m)月
若选择1010(2)，可以从1110(2)，1011(2，中任选1个，
(n-1)!
共有2种情况；
(m-1D！[(n-1)-(m-1)]=C01,
若选择1001(2，可以从11012,1011(2，中任选1个，
所以E(X)=1×2+2X2二+…+nX
共有2种情况，
Ca
1
共有3+3+2+2+2=12（种）情况，
2-1=2-1(C+2C+3C+…+nC)=
故PCX=0-品-号
2-7(C-+Cg-1+C-1+…+c)=”:2
n
2”-1>
当X=3时，10002，和11112,11002)和1011，
n·2m-1
n
10102)和11012)，10012和11102满足要求，共有4
2#
种情况，
即E(X)>受
41
故P(X=3)=28=7'
19-2.(1)解：若n=3,则第一次取出的是编号为1的球的
所以P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1-
概率为了：
9-7-号
若第一次取出的是编号为2的球，且第二次编号为1
1.11
所以X的分布列为
的球被取出的概率为3×？=6：
X
若第一次取出的是编号为3的球，且第二次编号为1
1
2
11
3
3
1
的球被取出的概率为1X3=3,
7
7
7
所以E(X)=1X3
+2X3
(2)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
（i)证明：因为n十1位二进制数anan-1…a1ao2中，
为n的球的概率为
1
am=1,
若第一次取出的是编号为1的球，则第二次编号为n
所以根据二进制数中0的个数可得，n十1位二进制
的球不可能被取到，故若第一次取出的是编号为1
数一共有C十C十C十…十C=2m个.
因为am-1十am-2十…十a1十ao≤n,
的球，且编号为n的球被取出的概率为】X0=0;
n
·9·
若第一次取出的是编号为i(i=2,3,…,n一1)的球，
且编号为n的球被取出的概率为】×CC
故Pa,)=}+D2-D-
n
Ci
10]=n2+n-2k
1×---1
2n(n-1)'
nn-1n(n-1)
1-1)=+
所以P(m,m)=”士n-2m<n2十n-2n+2
故P(n,n)=元
2n(n-1)2n(n-1)-2m,
n(n-1)2
1
P(n+1,m十1D=6m+1+6a+D-2m+D≥
-1Dn-2）-1
2m(n+1)
22
(n+1)2-(n+1)1
所以P(n,n)与n的取值无关.
2n(n+1)
2
(3)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
为长的球的概率为日
又P(,m)-P(a+1,m+1)=(-m)·(n是1
若第一次取出的是编号为i(i=1,2,…,k一1，k十
2+1=
2(n-m)
nTn+1)-n(m2-)≥0，
1,,n)的球，且编号为的球被取出的概率为】×
放<Pa+1,m+1Pa,m)"”是
1
i-1_i-1
n-1n(n-1)'
·10。2026年9月高三年级学业质量检测同类训练题
参考答案及解析·数学
1-1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2),N=5-1.-e【解析】因为f(-1)=f(1)=ln1-1=-1,
{-√2,0，w5},所以M∩N={-√2,0}.
g(-e)=f(-e)=f(e)=1-e,所以f(-1)+
1-2.B【解析】因为M={-1,0,1,2},N={x|0<x<3},
g(-e)=-e.
所以M∩N={1,2.
5-2.C【解析】因为定义域为R的函数f(x)满足f(2x十4)
1+i一1，所以z十
2-1.D【解析】因为z=1÷1-D(1+D2
的图像关于直线x=一2对称，所以f(2x十4)=
f[2(-4-x)+4],即f(2x+4)=f(-2x-4),所以
+做+-》+()=
f(x)是偶函数.又f(x)+f(x十2)=4，所以f(x十4)
4-f(x十2)=4-[4-f(x)]=f(x),所以f(x)的
1
1+i
2-2.A【解标】因为x=后-1)什1D=-2-2,
周期为4.又f(-x)=f(x),f(x)+f(x十2)=4，所
所以=名+2
1
以∫(-x)+f(x+2)=4,所以∫(1)=2，所以
f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2.
3-1.3【解析】设{an}的公差为d,则由a1十2a2=as一1，
6-l.AC【解析】对于A,若a⊥b,则a·b=0,即一2x+
1
得a1+2a:+2d=a1+4d-1,整理得d-a1=2,所
x十1=0，解得x=1,故A正确；对于B,若a∥b,
以a?-7a1=6(d-a1)=3.
则(-1)×1-(x+1)×2x=0,整理得2x2十2x+1=
3-2.4【解析】由题意得a2十a6=2a4,as十a?=2a5,则
0,此方程无解，故不存在x∈R,使得a∥b,故B错误；
a2十a4十a6=3a4=3,a3十a5十a7=3a5=9,所以
对于C,当x=0时，a+b=(-1,2),所以|a+b=√5，
a4=1,a5=3,所以a1十a8=a4十a5=1十3=4.
故C正确；对于D,当x=-1时，a=(-1,0),b=
4-1.号【解析】因为a+6=1,所以2a+1+26=3,所以
(-2,1),则a·b=2,所以a在b上的投影向量为
+六-号(+品)2a+1+0)
1
6)b三2b,故D错误
1b2
6-2.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则
+2+结)≥当且仅当
a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),所以
201,即a=1
a·(a-b)=15.
2b
,6=
时，等号成立，故20十十2
1
4
的最小值为号
a
4-2.C【解析】由0<a<1,得a2<1,即0<a<1,故
b
A错误b的取值可以是a,1D和[，。)故B错误，
6+1>a+>2a·
21
1
7-1.B【解析】根据对称性，不妨设直线AB的倾斜角为
a
0
=2,故C正确；a十
锐角，如图，设C的准线为l,∠AFx=0,|FB|=m,
a）-(b+6)=a-b)+62-(a-b.
则|FA|=3m.过点A作AQ⊥x轴于点Q,AA'⊥L于
ab
ab
点A',则由抛物线的定义得3mcos0+2=|AA'|=
因为0<a6<1,所以。<a,又a-6<0,所以a十
3m,同理过点B作BB'⊥1于点B',可得2一
>6+，故D错误
m©0s0=1BB1=m,解得0=60，m=专设点
,所以；
M(xM,yu),则xM-1=mcos0,解得cM=5
所以过A1,C1,B,D四点的外接球的表面积为
4πR2=12π，故C正确；对于D,由题意知平面
yM=3(M-1)=
23
3,故IOM|=√x,+y=V37.
ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面
BED1=D1F,平面BCC1B1∩平面BED1=BE,所以
D,F∥BE,同理可得BF∥D1E,所以四边形BED1F
A
为平行四边形，则周长l=2(BE+ED1).沿CC1将相
M
邻两四边形推平，当B,E,D1三点共线时，BE十ED1
最小，最小值为5，所以周长的最小值为10，故D正确.
D
D
B
B
B
A
7-2.2√2【解析】因为AB|min=2p=4,所以p=2,所以
抛物线C:y2=4x.设l的方程为x=my+1,A(x1,
D-----
D
1),B(x2y2,联立区=my+1,
得y2-4my-4=
y2=4x,
①
②
0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,|AM|+2|BN|=
9-1.AB【解析】因为样本数据x1,x2,·,x6的样本平均
+-+2x+2厚×号
数为3，且x7=3,所以样本数据x1,x2,…,x6,x7的
4
=22,
样本平均数也为3，且极差相同，而中位数不一定相
当且仅当y1=一√2y2时，等号成立，所以(|AM|+
同，故A,B正确，C错误；设样本数据x1,x2,…,x6
2BNI)min=22.
的样本方差为s,样本数据x1,x2,…,x6,x7的样本
8-1.C【解析】由点P在平面ABCD上的射影恰好落在
直线AC上，得平面PAC⊥平面ABCD.设BD∩AC=
方装为，则=2红，9r=5时-号2，
G,在平面PAC内，过点G作AC的垂线与PA交于
3)1=号2，-3=0<1，放D0误
点O,则OG⊥平面ABCD,所以∠PAC=60°.在
Rt△AOG中，由AG=1,得OA=2.又PA=4,所以O
9-2.ACD【解析】由题意知数据在区间[4,6)内的频率为
为PA的中点，所以OA=OP=OB=OC=OD=2,
1-2×(0.229+0.149+0.027+0.027+0.014)=
即点O为该球的球心，则球O的表面积S=4π×
0.108,所以a=0.108÷2=0.054,故A正确；“人均花
22=16π.
费预算”在区间[2,6)内的人数为1000×2×(0.149+
8-2.ACD【解析】对于A,如图①，取AA1的中点M,
0.054)=406,故B错误；“人均花费预算”在区间
DD1上靠近点D1的三等分点N,连接MN,MB1,
[4,6),[6,8),[8,10)内的游客人数之比为2：1：1，
NC1,易知四边形NMB1C1为平行四边形，四边形
所以用分层随机抽样的方法抽取100人，在区间
NMA1D1为平行四边形，所以MN∥A1D1,MN∥
[6,8)内的游客有25人，故C正确；“人均花费预算”
B1C1,则BC1∥A1D1,所以A1,B1,C1,D1四点共
在区间[0,4)内的频率为(0.229十0.149)×2=0.756<
面，故A正确；对于B,由对称性知，此几何体体积是
0.85,在区间[0,6)内的频率为0.756十0.108=0.864>
底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的
0.85,所以这组数据的85%分位数x在区间[4,6)内，
所以x<6,故D正确.
半，所以V=2×2×4×2=8,故B错误；对于C,如
10-1.ABD【解析】因为当-1≤x≤1时，-1≤f(x)≤1，
图②，过A1,C1,B,D四点构造正方体ABCD
所以f(1)=1十m+n≤1，即m十n≤0①，f(-1)=
A1B2C1D2,所以外接球直径长为正方体ABCD
-1+m+n≥-1，即m+n≥0②，则由①②得
A1B2C1D2的体对角线长，所以2R=2√3，则R=√3，
m十n=0,故A正确.由上可知f(x)=x3十mx2一m,
·2·
当m=0时，f(x)=x3满足当-1≤x≤1时，-1≤
2k<2k十1，结合f(x)在区间(k,十∞)上单调递增，
f(x)≤1；当m≠0时，f'(x)=x(3x+2m),令
得f(x十)<f(2k十1)，故C正确.令f”"(x)
f(x)=0,则x-0或x=-
当-0≥1，即
(f'(x)',由f'(x)=(x-k)(3x-k),得f”(x)=
3
6x-令了，）=0，得-装从雨号十友=2X
m≤-2时，f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区
2k
=2x0,故D正确.
3
m≤-2’
3
11-1.ABD【解析】设△FPF2的内切圆的半径为r,圆
间(0,1]上单调递减，故应满足f(0)≤1，
此时
I分别切F1F2,PF2,PF1于点Q,S,T,则2a=
f(-1)≥-1，
IPFI-PF2I=(IPTI+FT)-(IPSI+
f(1)≥-1，
|F2S)=|F1T|-|F2S|=1F1Q|-|F2Q|,故点
不等式组无解：当0<一
2父1，即二8<m<0时
Q在C的右支上.又点Q在x轴上，所以Q(a,0).而
IQ⊥F1F2,所以a=x1=1,r=|IQ|=2.又
fx)在区间[-1,0)上单调递增，在区间(0，-2）
∠TPS=90°，所以四边形PSIT为正方形，则|PT|=
上单调递减，在区间（一2]上单调递抢，故应满
IPF1|=r+c+1=c+3,
|PS|=r=2.由{|PF2=r+(c-a)=c+1,解得
2<m<o,
IPF1I2+|PF2I2=(2c)2,
f(0)≤1，
c=5,所以b2=c2一a2=24,则C的方程为x2
足{f(-1)≥-1，解得-1≤m<0,同理可知当
24=1,故A正确：分别过点F1,F,作C的渐近线
f(1)≤1，
y=2√6x的平行线，易知圆I位于两平行线之间，而
()≥-1.
两平行线间的距离为4√6，所以2r<4√6，即r<
0<m≤1时也满足要求.综上，-1≤m≤1，故B
2√6，故B正确；PM|+IPF1I=|PM|+|PF2|+
正确.由题得f(x)=x3十mx2-m=x3十m(x2-1),
2≥|MF2+2=9,仅当点P在线段MF2上时，等号
取m=-1,则f(x)=x3-x2+1,所以f(2)=5.令
成立，故C错误；∠F1PF2=180°-（∠PF1F2+
h(x)=5x-4,则h(2)=6,所以f(2)<h(2),故
∠PF2F1)=180°-2（∠IF1F2+∠IF2F1)=
C错误；因为f'(1)=3+2m,f'(-1)=3-2m,且
180°-2×(180°-∠F1IF2)=180°-2(180°
-1≤m≤1，所以1≤f'(1)≤5,1≤f'(-1)≤5.又
120)=60°在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1Fz2
f(1)=1,f(-1)=-1,所以当x≤-1时，f(x)≤
|PF1I2+|PF2|2-2PF1IIPF2|cos∠F1PF2,即
f'(-1)·(x十1)-1≤x,故D正确.
10-2.ACD【解析】f'(x)=3x2+2ax十b,由题意，得
4c2=(PF1I-|PF2I)2+PF1IPF2,则|PF|·
。解得/=一26，
|PF2|=4c2-4a2=4b2=96,故D正确.
k3十ak2+bk=0,m
3欢+2a+6=0,解得{6=，故A正确f(x)
n29
【解析】设M(x1,y1),A(xo,yo),则N(-x1,
x3-2kx2+k2x=x(x-k)2,f'(x)=(x-k)(3x
1_x1」
).当>0时，)在区间（专）上单调造减，在
621
-y1).由
得5-一6=0，即
(a2621,a
62
区间(k,十∞)上单调递增，所以x=k是f(x)的极
小值点：当k<0时，f(x)在区间（一∞，k)上单调递
y1-y)y+)=1-xx+0）,所以
增，在区间（，号）上单调递减，所以x=友是f(x)
,-0十0-8.又km=1二，kw=
(yi-yo)(y1+yo)a2
的极大值点，故B错误.当0<x<k时，k<x十<
x1一x0
3·
十头，所以k·kN一分又kN·w=一4，所
a
所以f(x)为减函数，所以x3-x一1=2x+入，即
x1十x0
x3一3x-1=入，所以问题等价于方程x3-3x-1=
以瓷=6设B(,0)u≠0，由1o成2-
a2
入在R上有三个不相等的实数根，即函数g(x)=
2OM.OB,得t2=2tx1,即t=2x1.又A,B,M三点
x3一3x一1的图象与直线y=入有三个不同的交点.
由g(x)=x3-3x-1,得g'(x)=3x2-3=3(x+
共线，所以M=及BM=1，=一兰，所以N
x1一t
kMN
1)(x-1),当x∈(-∞，-1)时，g'(x)>0,g(x)单
_y1
调递增；当x∈(-1,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递
a2
减；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所
462=
x1三1，则&2=4，故C的离心率e=
I1
以g(x)的极大值为g(-1)=1,极小值为g(1)=-3,
所以入的取值范围是(-3,1).
b25
14-1.60【解析】由题意知a,b,c,d均为不超过6的自然
12-1.48【解析】设等比数列{am}的公比为q,q>0,易知
数，下面分情况讨论：①当最大数为6时，45=62+
a11-g）=9,
32+02+02,此时共有A=12种情况；45=62+22+
q≠1，因为S2=9,S4=45,所以
1-9
所
22+12,此时共有A?=12种情况.②当最大数为5
a1(1-g*)
=45,
时，45=52+42+22+02，此时共有A=24种情
1-9
以-g=1
况.③当最大数为4时，45=42十42十32+22，此时共
以1-g=1+g=5,解得q=2或g=-2(舍去)，
有A=12种情况.综上，满足条件的有序实数组(a,
则a1=3,所以a5=3×24=48.
b,c,d)的个数为12+12+24+12=60.
12-2.22【解析】因为a1=2,S2=a1十a2=-2,所以14-2.C【解析】设a=x1+1,b=x2+1,c=x8+1,d=
a2=一4，故等比数列(a}的公比g=22=一2，所
x4+1,由x1+x2十x3+x4≤13，且x1,x2,x3,x4
是非负整数，将问题转化成求不等式4a十b十c十
以S,=11=g）=22.
d≤17的正整数解的组数.求方程a十b+c+d=
1-q
n(n∈N*,4≤n≤17)的正整数解，可先将n看作n
13-1.(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞)【解析】当x≤0时，
个“1”，将这n个“1”排成一排，在其中间形成的n一1
f(x)=-x2-2x-6=-(x+1)2-5<0:当x>0
个空位中选择3个空位放人隔板，则隔板隔开形成4
时，令f(x)=lnx=0,得x=1,所以f(x)只有一个
组“1”，每组“1”的和分别对应a,b,c,d的值，因此，
零点1.若h(x)=f(x)g(x)只有2个零点，显然
方程a十b十c+d=4的正整数解的组数为C,方程
h(1)=0,故x=1也是h(x)=f(x)g(x)的一个零
a十b十c十d=5的正整数解的组数为C,方程a+
点.若m=0,则函数g(x)=一2没有零点，此时
b十c十d=6的正整数解的组数为C,·,方程a十
h(x)=f(x)g(x)只有1个零点，故m=0不符合题
b十c十d=17的正整数解的组数为C16,所以原不等
意，所以m≠0.当m≠0时，令g(x)=0,得工=2
式的非负整数解的组数为C+C+C十…十C。=
则g(x)有一个异于1的零点，所以2≠1，解得m≠2.
C4+C+Cg+…+C16=Cg+Cg+…+Ci6=…=
C1,=2380.
综上，m的取值范围是(-∞，0)U(0,2)U(2,+∞).
l3-2.A【解析】f(x)=sinx-x的定义域为R,且
15-1.(1)证明：由已知及正弦定理得nA+osA=2,
sin C cos C
f(-x)=sin(一x)+x=-(sinx-x)=一f(x),所以
即sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=2sinC·
f(x)是奇函数g(x)=f(x3-x一1)十f(-2x-A)有
cos C=sin 2C.
三个零点等价于方程f(x3-x一1)=-f(-2x-A)有
又A,B,C是△ABC的内角，
三个不相等的实数根.又f(x)是奇函数，所以
sin(A+C)=sin B=sin 2C.
f(x3-x-1)=f(2x+λ).又f'(x)=cosx-1≤0，
又B,C∈(0，π)，
。4·
所以B=2C或B+2C=元.
4cos B-4cos Bcos D+cos*D9
8
②.
若B+2C=π，则由A+B+C=π，得A=C.
综上，A=C或B=2C
联立0®，解得S-
-2cos(B+D)≤6
6
(2)解：由题意知a≠c,则A≠C,
所以B=2C,则A=π一B-C=π一3C.
则s,
由正弦定理得inA-a。3
当且仅当B十D=π时，等号成立，此时，四边形
sin Cc 2'
所以C-名
ABCD的面积取得最大值3y
4
16-1.(1)证明：因为PG=GH,
sin 3C sin (2C +C)=sin 2Ccos C+
所以G为PH的中点.
cos 2Csin C=2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C,
又F为PB的中点，
所以sin3
3
所以由三角形中位线定理可知GF∥BH.
sin C
=4c0s2C-1=2,
因为BHC平面BEH,GF丈平面BEH,
5.
所以2cos2C=4,
所以GF∥平面BEH.
(2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正方形，
cos B=cos 2C=2cos2C-1=-
-1-
所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直
所以血B=碳五-√()-，
线分别为x轴y轴、之轴，建立如图所示的空间直角
坐标系
1
故△ABC的面积SAAc=2 acsin B=
-×3×2×
W15_3/15
4
4
15-2.解：(1)如图，连接AC.
由余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC?_6-AC
F
2AB·BC
4v2
cos D=AD+CD:-AC:3-AC:
2AD·CD
22,
所以2cosB-cosD=3y2
4
A
设AD=DG=2,则B(22,0),E(10,2),G(0,0,
2),H(0,0,1),K(1,0,0),
B
所以-(10,2）i=2,2-10,G成=(1，
0,-2).
(2)因为CD=1,所以四边形ABCD的面积
设平面BEH的法向量为m=(x1,y1,之1)，
HE·m=0,
1
S=SAANC+SAACD号AB·BCsin B士2ADD
则
0即1+21=0，
CDsin D=2
Hi·m=0,2x1+2y1-z1=0.
(2sin B+sin D),
令x1=1,得y1=一2，z1=-2,则平面BEH的一个
则2S2=4sinB+4 sin Bsin D+sinD①.
法向量为m=(1,一2，一2).
设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,z2),由(1)可
由(1)可知2cosB-cosD=3y2,
4,
知GF与HB共线，
·5
则
0即-2x=0,
GR·n=0,
令之=1，得x=4,y=-2,则m=(4,-2,1).
HB.n=0,2x2+2y2-z2=0.
设直线A1C与平面C1DE所成的角为0，
3
令x,=2,得y2=一之z,=1,则平面FGK的-个
则sin0=1eos〈AC,m)1=A交·m
A CIm
法向最为a(2,一号小
1(-2)×4+2×(-2)+(-4)×1_4W14
√4+4+16×√16+4+1
21
所以cos〈m,n〉
m·n
ImIn
所以直线A1C与平面CDE所成角的正弦值
1x2+(-2×(-)+(-x1
为①红
2/29
21
29
17-1.解：(1)由题意得b=1,且由C的焦点F(一1,0)可知
4
C的半焦距c=1.
故平面BEH与平面FGK所成二面角的正弦值
又a2=b2+c2=2,
为
所以C的方程为写+y=1
16-2.(1)证明：如图，连接CD1交C1D于点G,连接EG.
(2)当1垂直于x轴时，显然BP不与BQ垂直，不符
因为正四棱柱ABCD-A1B:CD:的侧面CC1D1D
合题意.
是矩形，
当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=(x十
所以G为CD1的中点.
1)(k≠1)，P(x1,y1),Q(x2y2).
又E为BC的中点，
联立2
+y2=1,
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-
所以EG为△BCD,的中位线，
y=k(x+1),
所以EG∥BD.
2=0,
因为EGC平面C1DE,BD1史平面CDE,
4k2
22-2
所以BD1∥平面C1DE.
则x1十x2=一1十2h221x2-1十2k2
又BP⊥BQ,则BP·BQ=O.
又B驴=(x1y1-1),B=(x2,y2-1),
B
即x1x2十(y1-1)(y2-1)=0,
则(1十k2)x1x2十(k2一k)(x1十x2)十k2-2k十
1=0.
G
4k2
2k2一2
代入工1十x:=一1十2，x1x:=1十2，整理得
3k2-2k-1=0,
D
解得=一司或6=1（合去.
所以1的方程为y=合十1D.
(2)解：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方
即x+3y+1=0.
向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐
17-2.(1)解：由题意知A1(一a,0),A2(a,0)
标系，
设P(m,m(m>0,n>0),则%+
所以D(0,0,0),A1(2,0,4),C(0,2,0),C1(0,2,4)
a2+62=1.
E(1,2,0),故A1C=(-2,2,-4),DC=(0,2,4),
因为直线PA1,PA,的斜率之积为-
4
DE=(1,2,0).
设平面CDE的法向量为m=(x,y,z),
所以
n
m+a·m”a
m2-a8=
m2-a
DC·m=0,
则
2y+4z=0,
即
b2
1
D克.m=0,1z+2y=0.
a?=
4，
6·
所以a2=4b2.
2(2m-m+2)1
y十
由题意得2a=4,所以a2=4,b2=1,
2n+m-2
得
所以C的方程为号+)2=1
y=1
+1,
m
(2)解：设坐标原点为O,则△OB2A2的面积
(”1-2小y
12n-2m+4+m
2n+m-2Tn-1'
Samd
整理得y=
12n2+m2-8n-4
m2-4n2+8n-4
因为P(m,n)(m>0,n>0),且
4
十n2=1,所以四
十n2=1,得m2=1-m
4
4
边形OA2PB1的面积S四边形OA2PB1=S△POA2十
S1=X2n+m=
1
所以
121-)+m-8a-4
y=
m-4(1-）+8m-4
(g+）=,
-m2-4n+4
m2+4n-4
一1，
当且仅当？-，即m=巨a号时，等号成立。
所以点E在一定直线上，其方程为y=一1
所以SA=S20A,+Sem,≤1十2,18-1.(1)解：f'(x)-2-三-2x+1)红-1D》(x>0,
当点P的坐标为(E,受)时，四边形PB,B,A:面
当0<x<1时，f'(x)<0;
当x>1时，f'(x)>0,
积的最大值为1十√2.
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间
(3)证明：由kpA2
m一2，得直线PA:的方程为y
是(1，十∞).
(2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e-e2r-sinx-
-2x-2).
n
ax,(0)=0,h'(x)=e*-2e2-cos x-a.
令h'(0)=0,则a=-2.
又直线A,B:的方程为y=-
2x-1,
当a<-2时，h'(0)>0,
2x1,
所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)>0,
由
h(x)单调递增，
2-2.
故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0,
[x=2(2n-m+2)
即g(x)>e2十ax,不符合题意.
2n+m-2’
当a≥-2时，h'(x)≤e2-2e2-cosx+2,且当
解得{
An
x>0时，e2-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2.
=
2n+m-21
令及(x)=-e2红-cosx+2,则当x>0时，
即n(2+2.2a0小
k'(x)=-2e2+sin <0,
故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(0)=0,
因为DE∥A2B2,所以kDE=kA=2,
1
所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减，
所以当x>0时，h(x)<h(0)=0,
线DE的方程为y十20十m-2
即g(x)<e2r十a.x.
2(2n-m+2)1
综上，a的取值范围是[一2，十∞).
2n+m-2
(3)证明：设lh=r,则r>0,t=e∈(0,1)，
又kPB1=
n-1
m
f()-g(in )=f(e)-g(r)=o-2r-
所以直线PB1的方程为y=
n-
x+1.
m
e'+sin r,
·7
由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,
故f(e')>g(r).
所以存在唯-∈（公小使得了=g,)=0,
由1-)-8（血）-s.得/e)>f1-.
且存在唯一x2∈(1,3)，使得f(x2)=g(x2)=0,
所以当0<x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当
又e',1-s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区间(0，
x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>x2
1)上单调递减，
时，f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以0<er<1-s<1,
所以f(x)在区间(0,1)上有唯一极大值点x1,在区
-In t=r>-In(1-s),s<1-t.
间(1，十∞)上有唯一极小值点x2
令9(x)=lnx-x+1,则p'(x=1-
(2)解：由题意得f1)=0,f(x)=e1-2-2z,
x
令f'(1)=0,则a=-1.
当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增；
当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，
令h6x）=/'),则A'x)-e-+是-2，且当a<
故当x≠1时，(x)<p(1)=0,
0,x>0时，h'(x)单调递增.
所以r>-ln(1-s)>s.
①当a<-1时，令p(x)=xe-1-2x2=xg(x),
当x>0时，g'(x)=e-cosx>0.
由(1)易知p(x)在区间[1,1+ln2]上单调递减，当
令t(x)=e-cosx,x>0,
a≤p(1+ln2)时，若x∈(1,1+ln2),则f'(x)>0,
则t'(x)=e十sinx>0,
f(x)单调递增，此时f(1+ln2)>f(1)=0,不符合
故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增，
题意；
所以f(t)=f(e')>g(r)>g(-ln(1-s)>
当p(1+ln2)<a<-1时，存在唯一的x3∈(1,1十
g(s)>0.
ln2),使得f'(x3)=0,且当x∈(1，x3)时，f'(x)>
当0<x<1时，设x3[f'(x)+g'(1-x)]<2(x2
0,f(x)单调递增，则f(x3)>f(1)=0,不符合题意.
1)+x[e'-x-cos(1-x)]=u(x),
@当-1Ka<0时f1)<0,f(-是)-e1+
u'(x)=4z+e!-*-cos(1-x)+x[-e!-*-sin(1-
x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e-x-1)>0,
2e+4>0,且当x∈(0,1)时，h'(x)<0,f'(x)=
故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0.
h(x)单调递减，
又g'(x)单调递增，s<1一t,
故存在唯一的x∈（一81）使得f(x)=0,且
所以0<g(s)<g'(1-t)<-f'(t).
综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)十g'(s),
当x∈(x4,1)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，
则f(x4)>f(1)=0,不符合题意.
即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s).
⑧当≥0时，1（日）=e1+a->0，不符合
1
18-2.(1)(1)解：易得f'(x)=e-1-a
一2x
题意.
由题意可得f(1)=-a-1=am经=-1，解得
④当a=一1时，h'(x)在区间(0,2)上单调递增，且
a=0.
'(1)=-2<0,h'(2)=e>0
（i)证明：此时f(x)=e2-1-x2,x>0,
所以存在唯一的xo∈(1,2)，使得h'(xo)=0.当0<
则f'(x)=e-1-2x.
x<x0时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当xo<x<2
令g(x)=f'(x),则g'(x)=e-1-2.
时，h'(x)>0,h(x)单调递增，
令g'(x)=0,则x=1+ln2.
故当x∈(1,2)时，f'(x)=h(x)<max{f'(1),
当0<x<1+ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；
f'(2)}=0,f(x)单调递减，
当x>1+ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增.
且当x∈(0,1)时，f'(x)=h(x)>h(1)=0,f(x)单
调递增，
又g(20)-。(e2-1D>0,g1)=-1<0,g1+
所以当x∈(0,2)时，f(x)≤f(1)=0,符合题意.
ln2)=-2ln2<0,g(3)=e2-6>0,
综上，a=一1.
·8·
19-1.(1)解：由题意将五进制数211c)转化为十进制数，得
所以X的所有可能取值为1,2,3，…，n.
2116)=2×52+1×5+1=56.
当X=m(m=1,2,3,…,n)时，二进制数
因为56=2×33+0×32+0×3+2，
amam-1·…·a1ao(2),bnbn-1…b1bo(2)有m位取值不
所以56=2002)，
同，有n十1一m位取值相同，
除去an=b.=l,从剩余的n位中选择m位，二进制
所以五进制数2116，转化成三进制数为2002.
数anam-1…a1ao2,bnbn-1…b1bo2)在这m位上数字
(2)(1)解：若n=3,则n+1位的二进制数有
不同，其余n一m位均在同一位置，且取值相同.
10002,11112,11002,10102,1001(2,10112,
11012,1110(2),共8个，从8个数中任选2个，共有
因为X=la:-b,
-0
C=28种情况，
所以共有C:2”
A种情况，
因为X-2a:-61,
Cm·2
所以X的所有可能取值为1,2,3.
所以P(X=m)=
A号
Ca
Cm
2m-1
(m=1,2,3,,n),
当X=1时，若选择1000(2)，可以从1001(2,1010(2，
所以X的分布列为
11002中任选1个，共有3种情况；
X
1
2
3
若选择11112，可以从10112,11012,11102中任
个
C
Ca
C3
Cn
选1个，共有3种情况；
2n-1
2m-12m-1
2m-1
若选择1100(2，可以从1101(2)，1110(2中任选1个，
共有2种情况；
因为
m·n!
m.Co
m!(n-m)!
若选择1010(2)，可以从11102)，1011(2，中任选1个，
(n-1)!
共有2种情况：
(m-1D！[(n-1D-(m-1)万j=nCg,
若选择1001(2)，可以从11012)，1011(2)中任选1个，
所以E(X)=1×2+2X++nX
共有2种情况，
1
共有3+3+2+2+2=12（种）情况，
2-1=2-1(C+2C+3C+…+nC)=
放P0X=1-品=号
-C+C+C-1+…+C)=n:2-
n
2一1
当X=3时，10002，和1111(a,11002)和10112，
n·2m-1
n
10102,和11012)，10012和1110(2满足要求，共有4
2#
Γ2
种情况，
即EX>会
41
故P(X=3)=28=7'
19-2.(1)解：若n=3,则第一次取出的是编号为1的球的
所以P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1
概率为日：
31_3
若第一次取出的是编号为2的球，且第二次编号为1
7-7=7:
所以X的分布列为
的球被取由的半为日×号言：
若第一次取出的是编号为3的球，且第二次编号为1
X
1
3
3
3
1
的球被取出的概率为1×=1
、33
7
7
7
所以E(X)=1X
3
112
7
+2X
7
十3×
7=7·
(2)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
(i)证明：因为n十1位二进制数anan-1…a1a2中，
为n的球的概率为n:
1
am=1,
若第一次取出的是编号为1的球，则第二次编号为n
所以根据二进制数中0的个数可得，n十1位二进制
的球不可能被取到，故若第一次取出的是编号为1
数一共有C十C+C层十…十C”=2m个.
因为am-1十am-2十…十a1十ao≤n,
的球，且编号为m的球被取出的概率为}×0=0；
·9·
若第一次取出的是编号为i(i=2,3,…,n一1)的球，
且编号为m的球被取出的概率为】×CC
故Pa,)-日+Dg-1)-a
Ci
1)]=n2+n-2
1x-1=-1
2n(n-1)'
nn-1n(n-1)'
1-1)=1+
所以P(n,m)=
n2+n-2mn2+n-2n十2
2n(n-1)2n(n-1)2n,
故P(,m)+0+mm-D
n
1
P(m+1,m+1D=a+1+6a+)-2m+D≥
m=Dxm-1Dm2）-1
2m(n+1)
2
2
(n+1)2-(n+1)_1
所以P(n,n)与n的取值无关.
2n(n+1)
2
(3)证明：袋子中有n个球，则第一次取出的是编号
为飞的球的概率为
又P(,m)-P(a+1,m+1)=(n-m)·(元
n
2(n-m)
若第一次取出的是编号为i(i=1,2,…,k一1，k十
2+1=
nn+i
(n2-1)≥0，
1,…,n)的球，且编号为的球被取出的概率为】×
1
故2≤P(n+1,m+1D≤P(,m)≤"22
i-1i-1
n-1n(n-1)'
·10
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