专题6.10 数列求和（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦数列求和7大核心方法，通过题型分类与分层训练构建从基础到高考的完整备考体系，强化数学思维与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法求和|4题|等差/等比数列直接求和|基于等差等比定义及前n项和公式的直接应用| |错位相减法|4题|等差×等比型数列求和|通过错位相减转化为等比数列求和，体现转化思想| |裂项相消法|4题|分式型数列求和|利用通项裂项抵消中间项，强化代数变形能力| |分组（并项）法|4题|混合型/正负交替数列|分解为基本数列求和，培养分类整合思维| |倒序相加法|4题|对称型数列求和|基于首尾项和相等的性质，传承高斯算法思想| |奇偶项讨论|4题|分段通项数列|按奇偶项分类转化为基本数列，提升逻辑推理| |放缩裂项|4题|不等式证明类求和|先放缩再裂项，体现放缩法与裂项的综合应用|

专题6.10 数列求和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 公式法求和】 1 【题型2 错位相减法求和】 3 【题型3 裂项相消法求和】 5 【题型4 分组（并项）法求和】 8 【题型5 倒序相加法求和】 10 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 12 【题型7 先放缩再裂项求和】 15 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 公式法求和】 1．（2026·四川凉山·一模）在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 【答案】D 【解题思路】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【解答过程】在等差数列中，， 依题意，，即， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：D. 2．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【解题思路】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D. 3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【解答过程】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 4．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【解答过程】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 【题型2 错位相减法求和】 5．（25-26高二下·广东·阶段检测）已知数列的前项和为且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用错位相减法求数列的前项和. 【解答过程】因为，① 所以，② ①－②得， 所以． 故选：A. 6．（25-26高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【解答过程】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 7．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【解题思路】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 8．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设数列的公比为，根据等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求解. 【解答过程】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以； （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以. 【题型3 裂项相消法求和】 9．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列满足，，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由递推关系可得为常数列，得，利用裂项相消求和. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以数列为常数列， 又，所以，所以， 则， 所以. 故选：C. 10．（2026·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，且，利用累加法求得，从而得到，再利用裂项相消法求解. 【解答过程】因为，且， 所以当时，. 因为也满足，所以. 因为， 所以.所以. 故选：B. 11．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用与已知建立等式，得出是等差数列，进而求出，再根据与的关系求通项； （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以． 当时，， 也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）证明：因为， 所以， 所以． 因为，所以， 因为数列单调递增，所以， 所以． 12．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 【题型4 分组（并项）法求和】 13．（2026·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分组求和法，结合等比、等差数列的求和公式计算即得. 【解答过程】的前100项和为： . 故选：B. 14．（2026·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解. 【解答过程】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 15．（2026·贵州贵阳·二模）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得. 【解答过程】（1）由①，当时，②， ①-②得，即， 又∵，满足， ∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即 （2）∵， ∴ ． 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)16 【解题思路】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【解答过程】（1）当时，； 当时， . 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以 . 所以 . 【题型5 倒序相加法求和】 17．（25-26高三·全国·二轮复习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合函数解析式得，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， ，解得. 故选：D. 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【解答过程】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则 ， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 19．（25-26高二下·北京西城·阶段检测）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【解题思路】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【解题思路】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【解答过程】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 21．（2026·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得. 【解答过程】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 记的前n项和为，则. 故选：A. 22．（2026·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（   ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【解题思路】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【解答过程】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C. 23．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足 求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【解答过程】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 24．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为 ， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以 . 由 ， 所以 . 所以 . 【题型7 先放缩再裂项求和】 25．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【解答过程】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ． 综上，． 26．（2026·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题设利用分和结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通项公式； （2）由错位相减求和方法结合等比数列前n项和公式即可求解； （3）方法一：由和放缩公式结合裂项相消求和法计算求证即可得证； 方法二：由数列的单调性和放缩公式得到即可计算求证. 【解答过程】（1）由题令，则，解得， 当时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即是公差和首项均为2的等差数列， 所以. （2）设是数列的前项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，即. （3）证明：方法一：， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得， 即，所以. 方法二：因为是递增数列，所以是递减数列. 所以， 所以， 所以 . 27．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用得到，进而可知是以为首项，为公比的等比数列，求出从而求出答案； （2）利用分组求和法求出，从而得到，利用放缩法即可证明. 【解答过程】（1）当时，由得， 所以，即， 当时，，所以，所以，故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2）证明： ， 所以， 当时，，不等式成立， 当时， ， 综上. 28．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后利用错位相减法求和即可； （3）通过放缩的思路得到，然后利用裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. （2），，， ，① ，② ①-②得：， ，③ ，④ ③-④得：， ，. （3）证明：，， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 一、单选题 1．（2026·福建漳州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列通项公式可得，再利用裂项求和即可求得结果. 【解答过程】设等差数列的公差为， 依题意可得，解得； 所以可得，因此， 所以 . 故选：D. 2．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，解得， 因此，. 故选：C. 3．（2026·湖南·一模）已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 【答案】C 【解题思路】设出公差后，结合等差数列性质与等差数列求和公式计算即可得解. 【解答过程】设数列公差为，令得，， 令得，则，即， 解得，． 故选：C. 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【解题思路】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【解答过程】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 5．（2026·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，求出的值，当时，由可得，两式作差得出，利用累乘法可求出在时的表达式，结合裂项相消法可求出的值. 【解答过程】因为数列满足：，， 当时，， 当时，由可得， 两个等式作差得，所以，可得， 当时，，满足， 故当时，， 所以 ， 因此，. 故选：B. 6．（2026·山东青岛·一模）设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】本题需要先求解方程的正实数根 ，再根据得到数列的通项，最后利用分组求和法求前 2025 项和. 【解答过程】设，则， 记，显然在上单调递增， 且， ． 所以， 当，时，， 则； 当，时，， 则， 则 故选：． 7．（25-26高二下·山西晋城·阶段检测）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【解答过程】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【解答过程】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A. 二、填空题 9．（2026·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 【答案】 【解题思路】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以. 故答案为：. 10．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 【答案】 【解题思路】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【解答过程】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为：. 11．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，，若数列的前n项之和为，则____________． 【答案】100 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答. 【解答过程】设等差数列公差为，由得：，则， ，当n为偶数时，， 所以. 故答案为：100. 12．（2026·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若 ，则____________. 【答案】 【解题思路】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求. 【解答过程】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【解题思路】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【解答过程】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：C. 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解. 【解答过程】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 二、解答题 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）通过构造辅助数列，将原递推式转化为 ，再利用配凑法证明是等比数列； （2）先由 (1) 求出，将数列求和拆分为等差与等差乘等比两部分，对后者用错位相减法求和，再合并得到. 【解答过程】（1）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1） 将已知等式化为相邻项差的关系，两边除以乘积得到倒数差为常数，从而求出通项； （2）将通项代入后再裂项相消求和，之后放缩即得不等式. 【解答过程】（1）因为， 所以，即， 所以，由题意知，所以， 所以数列 是以为首项，公差为1的等差数列，故， 即，又因为时，，满足该式，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以. 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【解答过程】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     6．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【解题思路】（1）变形递推式构造新数列，通过累加法结合裂项相消求新数列通项，进而得到的通项； （2）利用错位相减法以及等比数列公式求和即可. 【解答过程】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 7．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【解题思路】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明见解析 【解题思路】（1）设首项为，公差为，再结合已知条件建立方程求得，再求通项公式即可； （2）（i）根据题意证明是首项为2，公比为2的等比数列，进而得，再结合错位相减法求解即可； （ii）由题意知，再结合裂项求和即可证明. 【解答过程】（1）解：设首项为，公差为 根据题意可得方程组，所以解得． 所以 （2）（i）解：因为 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以 ， 设 所以，两式相减得： 所以． （ii）证明：由题得． 所以 化简得． 因为，，所以． 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【解答过程】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 二、多选题 2．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【解答过程】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 故选：ACD. 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【解答过程】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 4．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【解题思路】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【解答过程】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则__________. 【答案】95 【解题思路】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【解答过程】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 四、解答题 6．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以. 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【解答过程】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见解析； ② 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明； ②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）证明：由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【解答过程】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 ， 故， 所以 ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.10 数列求和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 公式法求和】 1 【题型2 错位相减法求和】 2 【题型3 裂项相消法求和】 3 【题型4 分组（并项）法求和】 3 【题型5 倒序相加法求和】 4 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 5 【题型7 先放缩再裂项求和】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 公式法求和】 1．（2026·四川凉山·一模）在等差数列中，是其前n项和，若，，则（    ） A． B．5 C．10 D．15 2．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【题型2 错位相减法求和】 5．（25-26高二下·广东·阶段检测）已知数列的前项和为且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【题型3 裂项相消法求和】 9．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列满足，，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·云南昭通·模拟预测）已知正项数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，证明：． 12．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【题型4 分组（并项）法求和】 13．（2026·青海海南·一模）数列的前100项和（   ） A． B． C． D． 14．（2026·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·贵州贵阳·二模）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前n项和． 16．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 【题型5 倒序相加法求和】 17．（25-26高三·全国·二轮复习）若，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 19．（25-26高二下·北京西城·阶段检测）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 20．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【题型6 奇偶项问题讨论求和】 21．（2026·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 22．（2026·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（   ） A．624 B．625 C．626 D．650 23．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足 求数列的前2n项和． 24．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【题型7 先放缩再裂项求和】 25．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 26．（2026·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 27．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 28．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 一、单选题 1．（2026·福建漳州·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·一模）已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 5．（2026·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东青岛·一模）设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山西晋城·阶段检测）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 10．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）在等差数列中，，若数列的前n项之和为，则____________． 12．（2026·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若 ，则____________. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 6．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 7．（2026·安徽·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 一、单选题 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和.若，，则__________． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则__________. 四、解答题 6．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 10．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $