四川省成都市树德中学（外国语校区）2025-2026学年高二上学期数学周考（二）

**基本信息** 树德中学高2024级数学周考卷，以向量、概率、立体几何、统计为核心，通过随机模拟（如第2题豚鼠感染概率）、空间动态问题（如第8题直三棱柱中点到线距离）等情境，考查数学眼光的空间观念、数据意识及数学思维的推理能力，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、概率模拟、立体几何|第2题用20组随机数估计概率，强化数据意识| |多选题|3/18|概率事件关系、统计图表|第10题结合频率分布直方图分析百分位数，体现数学语言表达| |填空题|3/15|数据分位数、互斥事件、立体几何动态|第14题正方体侧面动点轨迹，培养空间观念| |解答题|5/77|统计应用、立体几何证明与夹角、概率游戏|第17题设计三个取球游戏，综合考查独立事件概率，发展推理能力|

树德中学（外国语校区）高2024级数学周考（二） 满分150分 时间120分钟学生姓名             一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设，向量，，且，则等于（     ） A.3      B.9      C.      D.5 2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染。经随机模拟产生了如下20组随机数如下，并据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（     ） 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 A.0.25      B.0.4      C.0.6      D.0.75 3. 如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，二面角的平面角为，则（     ） A.2      B.      C.      D. 4. 袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（     ） A.      B.      C.      D. 5. 从点沿向量的方向取线段长，则B点坐标为（     ） A.      B.      C.      D. 6. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，，，且数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 7. 如左下图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点，，，若，，则的值为（     ） A. B. C. D. 8. 如右上图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（     ） A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球。设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（     ） A. 事件与事件是互斥事件　　　　　　　 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件是相互独立事件　　　　　 D. 事件与事件是互斥事件 10. 为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费方法，为此，相关部门在该市随机调查了1500户居民六月份的用电量（单位：），以了解这个城市家庭用电量的情况。通过收集、整理数据，得到如下频率分布直方图。则下列选项正确的是（     ） A. 直方图中　　　　　　　　　　 B. 在被调查的用户中，用电量不超过的户数为900 C. 这1500户居民六月份用电量的平均数小于中位数　　　　 D. 估计该市居民六月份用电量的第45百分位数约为175 11. 如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为，且它们彼此的夹角都是，动点在棱上，则（     ） A. B. 直线与直线所成角为 C. 平面与平面的夹角为 D. 多面体的外接球体积为 三、填空题：本题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分。 12. 数据，，，，，，，，，，，的上四分位数是            。 13. 事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则            。 14. 在棱长为的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足，则的最小值为            。 四、解答题：本题共\（5\）小题，共\（77\）分。 15. 对某次考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成如图所示频率分布直方图。 （1） 估计这次考试成绩的平均分； （2） 为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生成绩都在内的概率。 16. 如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且。 （1） 证明：平面； （2） 求平面与平面的夹角的大小。 17. 下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球。 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 2个红球和1个白球 1个红球和2个白球 2个红球和2个白球 取球规则 取1个球 依次取2个球 依次取2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 取到白球→乙胜 两个球同色→甲胜 两个球不同色→乙胜 两个球同色→甲胜 两个球不同色→乙胜 （1） 分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利； （2） 若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率。 18. 如左下图，已知是正方体，点为的中点，点为的中点。 （1） 求证：； （2） 求平面与平面夹角的余弦值。 （3） 求点到直线的距离。 19. 如右上图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点。 （1） 若平面，求证：为的中点； （2） 若是直线与平面的交点，试确定的值； （3） 若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积。 参考答案 1.【答案】B 【解析】 因为，，且， 则，即，解得， 所以， 所以． 故选：B． 2.【答案】D 【解析】 由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为， 故选：D． 3.【答案】B 【解析】 ，， ， 的大小为，即与的夹角为， 与的夹角为， 由空间向量的线性运算可知， 由空间向量数量积运算可得， ， . 故选：. 4.【答案】 【解析】袋子中有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球、个白球， 从中不放回地依次随机摸出个球， 则这个球颜色相同的概率为：. 故选：. 5.【答案】 【解析】 设（其中）， ，， ， ， 又， 点坐标为. 故选：. 6.【答案】 【解析】对于，数据，，，的方差时，说明所有的数据，，，都相等，但不一定为， 故选项错误； 对于，数据，，，的平均数，数据的平均数为，故选项错 误； 对于，数据，，，的方差为，数据的方差为，故选项正确； 对于，数据，，，的分位数为，则可以估计总体中有至少的数据大于或等于，故选项错误. 故选：. 7.【答案】 【解析】在正四棱锥中，连接，交于点，连接， 则平面，， 以、交点为坐标原点，射线、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设，，，，， 则，，，， ，， 由题意，，，四点共面，则有，其中， 设， ， 由方程组，即，解得， 所以. 8.【答案】 【解析】 因为在直三棱柱中，\( \ ， 所以平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 所以点到直线的距离 \（ = ， 设， 因为， 所以， 则\( ， 因为，， 所以， 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：． 9.【答案】 【解析】 事件空间为， 列举各事件如下： ，， ， 对于：由于，则事件与为互斥事件，故正确； 对于：由对立事件的概率和为，，，，故错误； 对于：，，故与互为独立事件，故正确； 对于：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故 故选：． 10.【答案】 【解析】 根据题意得， 解得，正确； 用电量不超过的频率为， 所以用电量不超过的户数为，正确； 平均数为 ， 前两组的频率为， 前两组的频率为， 所以中位数位于第三组， 设中位数为，则，解得，错误； 根据得第百分位数位于第三组，设第百分位数为， 则，解得。 所以估计该市居民六月份用电量的第百分位数约为，正确。 11.【答案】 【解析】在平行六面体中，， 向量，，的模长均为，且它们彼此的夹角都是， 所以 ， 即，故正确； 对于，连接交于，连接， 正确。 由题知，，所以为等边三角形，四边形为菱形，， 同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，， 又，，平面，所以平面，即平面， 平面，，故正确； 对于，连接交于，连接，， 平面，平面，， 又，平面平面， 所以就是平面与平面的夹角， 在平行六面体中，， ，为等边三角形， ，， ，故错误； 对于，连接交于，为、中点， 又，，所以四边形为正方形， 则，又， 所以， 即， 所以多面体外接球球心在中点处， 半径，体积，故正确． 故选：． 12.【答案】8.05 【解析】 因为， 将位同学的身高从小到大排列为：，，，，，，，，，， 所以这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即。 故答案为：8.05。 13.【答案】 【解析】 由题意得，事件，互斥，它们都不发生的概率为。 则， ， ，， 。 故答案为：。 14.【答案】 【解析】 在棱长为2的正方体中可建立如图空间直角坐标系。 设，，， 所以，， 因为， 所以， 故， 因为， 所以令，， 代入上式得： ， 其中， 所以即 因此的最小值为， 15.【答案】 （1）根据题意可得 ， 解得， ∴可估计这次考试成绩的平均分为： (分)； （2） ∵成绩在和的两组的频率之比为， ∴在中抽3人，在130，中抽1人， 再从这4名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查， 则抽取的这2名学生成绩都在内的概率为。 16.【答案】 （1）因为平面，而，平面， 故，， 而四边形为正方形，故， 所以，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为， 所以，，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又，所以， 因为平面，所以平面； （2），， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则，， 所以平面与平面的夹角为。 17.【答案】（1）游戏1：袋中有2个红球和1个白球，一共3个球， 取1个球，取到红球是甲胜，取到白球是乙胜， 所以甲胜的概率是：，乙胜的概率是，， 游戏2：袋中有1个红球和2个白球，一共3个球，依次取2个球，两个球同色甲胜，两个球不同色乙胜， 所以甲胜的情况是第一次取到白球，第二次也取到白球， 所以甲胜的概率是：，乙胜的概率是，， 游戏3：袋中有2个红球和2个白球，一共3个球，依次取2个球，两个球同色甲胜，两个球不同色乙胜， 所以甲胜的情况是第一次取到白球，第二次也取到白球，或第一次取到红球，第二次也取到红球， 所以甲胜的概率是：， 乙胜的概率是，， 综上，甲获胜的概率大的只有游戏1， 所以游戏1对甲更有利； （2）三个游戏各进行一次，每个游戏的结果互不影响， 如果甲获胜的次数比乙多，，或， 所以甲获胜3次，乙获胜0次，或甲获胜2次，乙获胜1次； 所有情况为：①游戏1甲获胜，游戏2甲获胜，游戏3甲获胜； ②游戏1甲获胜，游戏2甲获胜，游戏3乙获胜； ③游戏1甲获胜，游戏2乙获胜，游戏3甲获胜； ④游戏1乙获胜，游戏2甲获胜，游戏3甲获胜； 获胜次数多于乙的概率概率为： ， 所以甲获胜的次数比乙多的概率为。 18.【答案】（1）证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，， 故，故， 所以； 解：（2）由图可知，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，则， 令得，，故， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3），，， 点到直线的距离为。 19.【答案】（1）连接，， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 因为分别是线段的中点， 所以为的中点 （2）取的中点， 连接，则，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，，， ，，，， 设， 则 ， 设平面的法向量， 则，所以，取， 易知，所以，解得，此时； （3）设， 则 ， 则，， 整理得，解得或（舍去）， ，，设平面的法向量为， 则，所以， 取，又， 则点到平面的距离即点到平面的距离为， 由已知条件，在中，，，可得。 ， 所以，。 学科网（北京）股份有限公司 $