6.3相似图形（题型专练）数学苏科版九年级下册

6.3 相似图形 题型一 相似图形的辨析 1．（2024·大丰区·校级月考）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意． 故选：D． 2．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 3．（2024·江阴市·校级月考）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形； 又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形． 故选：D． 4．（2024·广陵区·校级月考）下列说法正确的是（　　） A．有一个角等于105°的两个等腰三角形相似 B．两个菱形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形 【详解】解：A、有一个角等于105°的两个等腰三角形相似，∵105°只能是等腰三角形的顶角，∴这两个等腰三角形相似，正确，故符合题意； B、两个菱形一定相似，错误，角不一定相等，故不合题意； C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，故不合题意； D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，故不合题意． 故选：A． 5．（2024·高新区·校级月考）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为　　． 【详解】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3， ④三边分别为：1，，2，⑤三边分别为：2，，， ∵， ∴图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 6．（2023·宜兴市·月考）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　　． 【详解】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等； ②所有的正三角形都相似，正确； ③所有的正方形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例； ⑤所有的圆都相似，正确． 故答案为：②③⑤． 题型二 相似多边形的判定 1．（2024·玄武区·校级月考）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【详解】解：（1）∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵， ∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似； （2）∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 题型三 根据相似三角形的性质求角度 1．（2024·淮安·期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 【详解】解：∵∠A＝55°，∠B＝100°， ∴∠C＝180°﹣55°﹣100°＝25°， ∵ABC∽△A'B'C， ∴∠C′＝∠C＝25°． 故选：A． 2．（2025·姑苏区·校级月考）如图，已知∠B＝30°，∠D＝130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∠D＝130°， ∴∠BAC＝∠D＝130°，∠ACB＝∠ACD， ∴∠ACB＝∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣30°﹣130°＝20°， ∴∠BCD＝2∠ACB＝40°． 故选：B． 3．（2024·姜堰区·期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，若△ABD∽△ACB，∠A＝80°，∠ADB＝70°，则∠DBC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【详解】解：∵∠A＝80°，∠ADB＝70°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝30°， ∵△ABD∽△ACB， ∴∠ADB＝∠ABC＝70°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣30°＝40°． 故选：C． 4．（2023·赣榆区·校级月考）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为　　． 【详解】解：如图，延长FE交BC于点G， ∵EG＝DG，∠EGD＝90°， ∴△EGD是等腰直角三角形， ∴， ∴∠DEF＝180°﹣∠GED＝180°﹣45°＝135°， ∵△ABC∽△EDF， ∴∠BAC＝∠DEF＝135°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣135°＝45°． 故答案为：45°． 题型四 根据相似三角形的性质求线段长 1．（2024·崇川区·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．9 C．12 D．18 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为，AB＝6． ∴，解得：DE＝9． 故选：B． 2．（2024·武进区·校级模拟）如图，已知△ABO∽△CDO，BO：DO＝3：4，若CD的长度为12，则AB的长度为（　　） A．9 B．12 C．16 D．20 【详解】解：∵△ABO∽△CDO，BO：DO＝3：4 ∴BO：DO＝AB：DC＝3：4， ∵CD＝12， ∴AB：12＝3：4，解得：AB＝9． 故选：A． 3．（2024·滨湖区·期末）如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则DC＝　　． 【详解】解：∵AE＝6，EB＝3，AD＝7，AB＝6+3＝9，△AED∽△ACB， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·宿豫区·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且DF＝1，若△ABE与△DEF相似，求AE的长． 【详解】解：在边长为4的正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝4， 当△ABE∽△DEF时，， ∴，解得：AE＝2； 当△ABE∽△DFE时，， ∴，解得：AE， 综上，AE＝2或． 5．（2023·兴化市·月考）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 【详解】解：（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD＝40°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴， ∴， ∴， ∴AC（负值舍去）． 6．（2025·姑苏区·校级二模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【详解】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD，即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CGCD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得：BE， ∵△AEB∽△DEC， ∴，解得：CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 题型一 相似图形的辨析（升级版） 1．（2025·连云港·校级二模）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【详解】解：如图，延长CB交A′B′于点D，延长BC交A′C′于点E， 过点A作FG∥BC交A′B′，A′C′于点F，G， ∵AF∥BD，AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝FD， 同理，四边形ACEG是平行四边形， ∴AC＝GE， ∵FG∥DE∥B′C′， ∴△A′FG∽△A′B′C′， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∴， ∵A′B′∥AB，DE∥B′C′， ∴∠ABC＝∠A′DB＝∠A′B′C′， 同理，∠ACB＝∠A′EC＝∠A′C′B′， ∴∠BAC＝∠A′， ∴△A′B′C′∽△ABC； 如图，延长AB交B′C′于点H，延长BA交A′D′于点F，延长DA交A′B′于点E，延长CB交A′B′于点G， ∵四边形ABCD是正方形，边长为4，四边形A′B′C′D′是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°， ∴AE＝AF＝1，BG＝BH＝1，GE＝AB＝4， ∴A′B′＝1+4+1＝6＝B′C′＝C′D′＝A′D′， ∴，且对应角都是90°，都相等， ∴正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′； 如图，矩形ABCD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6， 计算方法同上述正方形， ∴矩形A′B′C′D′，A′B'＝C′D′＝6，B′C′＝A′D′＝8， ∴， ∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不是相似图形； 综上，新图形和旧图形是相似多边形的有2组． 故选：C． 题型二 相似三角形的性质与二次函数综合 1．（2024·滨湖区·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵△ABC∽△CAD， ∴， ∴， ∴CDAC2， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2， ∴CD（9﹣BC2）＝3BC2， 设BC＝x， ∴BC+CD＝x+3x2， ∴x时，BC+CD的最大值为． 故选：D． 题型三 相似三角形的性质与动点最值问题综合 1．（2024·惠山区·期中）如图，在等腰△ABC中，cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝　　cm，DQ的最小值为　　cm． 【详解】解：如图，连接CQ，过点D作DH⊥CQ，垂足为H， ∵△APQ∽△ABC， ∴∠PAQ＝∠BAC，AP：AB＝AQ：AC， ∴∠BAP＝∠CAQ， ∵AB＝AC， ∴AP＝AQ， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴∠ACQ＝∠ACB， ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ACQ＝30°， ∴∠DCQ＝60°， ∴∠CDH＝30°， ∵AB＝ACcm，∠BAC＝120°， ∴BC＝6cm，ADcm； ∵AD⊥BC， ∴CD＝3cm， ∴CHcm，DHcm， ∴DQ的最小值即为cm． 故答案为：，． 1．（2024·射阳县·校级期中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若AB＝1，则FG＝（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵12个直角三角形相似， ∴以O为顶点的12个锐角相等为30°， ∵AB＝1， ∴OB＝2AB＝2， ∴BCOB＝2， ∴OC＝2BC＝22， ∴CDOC＝22， ∴以此类推得到：FG＝25． 故选：D． 2．（2022·高港区·期中）定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”．如图，点A、B、C是正方形网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：如图， 由，得△ABC∽△D1AC，故D1为所求点； 如图， 由，得△ABC∽△D2AB，故D2为所求点； 如图， 由，得△BCD3∽△ABD3，故D3为所求点； 如图， 由，得△ABC∽△D4CA，故D4为所求点； 如图， 由，得△ABC∽△BCD5，故D5为所求点； ∴符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 3．（2024·宜兴市·校级月考）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似但不全等），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝BC＝6，CD＝AD＝3，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【详解】解：∵EF＝AB＝6， 如图，当△DFC∽△CEB时， 两个三角形的斜边分别为CD＝3，BC＝6； 如图，当△DFE∽△ECB时， ∴， 设DF＝x，CE＝y， ∴， ∴△DFE≌△ECB，不合题意； 如图，当△DCF∽△FEB时， ∴， 设FC＝m，FD＝n， ∴， ∴， ∴FD＝5，BF＝FC+BC＝4+6＝10， 综上，斜边长可能是3，5，6，10． 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 相似图形 题型一 相似图形的辨析 1．（2024·大丰区·校级月考）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 3．（2024·江阴市·校级月考）下列各组图形中一定是相似形的是（　　） A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 4．（2024·广陵区·校级月考）下列说法正确的是（　　） A．有一个角等于105°的两个等腰三角形相似 B．两个菱形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形 5．（2024·高新区·校级月考）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为　　． 6．（2023·宜兴市·月考）下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　　． 题型二 相似多边形的判定 1．（2024·玄武区·校级月考）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 题型三 根据相似三角形的性质求角度 1．（2024·淮安·期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A＝55°，∠B＝100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 2．（2025·姑苏区·校级月考）如图，已知∠B＝30°，∠D＝130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（2024·姜堰区·期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，若△ABD∽△ACB，∠A＝80°，∠ADB＝70°，则∠DBC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 4．（2023·赣榆区·校级月考）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为　　． 题型四 根据相似三角形的性质求线段长 1．（2024·崇川区·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为，若AB＝6，则DE的长为（　　） A．4 B．9 C．12 D．18 2．（2024·武进区·校级模拟）如图，已知△ABO∽△CDO，BO：DO＝3：4，若CD的长度为12，则AB的长度为（　　） A．9 B．12 C．16 D．20 3．（2024·滨湖区·期末）如图，若△AED∽△ACB，且AE＝6，EB＝3，AD＝7．则DC＝　　． 4．（2024·宿豫区·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且DF＝1，若△ABE与△DEF相似，求AE的长． 5．（2023·兴化市·月考）如图，△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝40°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长． 6．（2025·姑苏区·校级二模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 题型一 相似图形的辨析（升级版） 1．（2025·连云港·校级二模）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 题型二 相似三角形的性质与二次函数综合 1．（2024·滨湖区·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型三 相似三角形的性质与动点最值问题综合 1．（2024·惠山区·期中）如图，在等腰△ABC中，cm，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则AD＝　　cm，DQ的最小值为　　cm． 1．（2024·射阳县·校级期中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若AB＝1，则FG＝（　　） A． B． C． D． 2．（2022·高港区·期中）定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”．如图，点A、B、C是正方形网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·宜兴市·校级月考）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似但不全等），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝BC＝6，CD＝AD＝3，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $