第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心考点，依据高考评价体系梳理了位置关系判定、切线方程、弦长计算等考查要求，通过2024-2026年全国卷考情分析明确高频考点分布，归纳出10大常考题型，构建系统知识框架与解题思路。 课件亮点在于“真题溯源+技巧突破”双轨备考，如结合2024年真题解析几何法与代数法判定位置关系，提炼切线方程必记结论、弦长公式等解题技巧，培养学生数学思维与数学语言表达能力。教师可依托课件精准把握考点权重，学生通过题型训练熟练答题方法，实现高效冲刺。

直线与圆 圆与圆的位置关系 第 04 讲 核心考点 2026年 2025年 2024年 直线与圆的位置关系 全国Ⅰ卷T11（6分） 全国Ⅰ卷T7（5分） 全国Ⅱ卷T11（6分） 全国Ⅱ卷T10（6分） 圆与圆的位置关系 全国Ⅱ卷T9（6分）     考情分析   高考对本部分重点考查直线与圆的位置关系判定、切线方程求解、相交弦长计算，以及两圆的位置关系与公共弦问题.常以选择题或填空题形式出现，偶尔作为解答题的组成部分. 近三年高考显示，直线与圆、圆与圆的位置关系是高频考点，试题注重数形结合与几何性质的应用，强调“多想少算”.常与函数、不等式、最值等知识交汇，考查学生的数学运算、逻辑推理及综合分析能力，突出对数学本质的理解. 复习目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1直线与圆的位置关系 知识点2圆的切线方程 知识点3直线被圆截得的弦长 知识点4圆与圆的位置关系 题型破译 题型1 直线与圆的位置关系 【方法技巧】 直线与圆的位置关系的判断 题型2 圆的切线方程 【方法技巧】 圆的切线问题求解策略 题型3 切点弦问题 题型4 圆的弦长和弦心距 【方法技巧】 直线与圆相交时的弦长求法 题型5 圆上的点到直线距离个数问题 题型6 直线与圆的应用 题型7 圆与圆的位置关系 【方法技巧】 判断两圆的位置关系的两种方法 题型8 圆的公共弦 题型9 圆的公切线 题型10 最值问题 【方法技巧】 最值问题的类型及求解技巧 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交,有两个公共点；(2)直线与圆相切,只有一个公共点； (3)直线与圆相离,没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解,直线与圆C有公共点． 有两组实数解时,直线与圆C相交； 有一组实数解时,直线与圆C相切； 无实数解时,直线与圆C相离． (2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时,直线与圆C相交；当时,直线与圆C相切；当时,直线与圆C相离． 𝑑<𝑟 𝑑=𝑟 𝑑>𝑟 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点1 直线与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 圆的切线方程 1、点在圆上,如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于,即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外,则设切线方程：,变成一般式：,因为与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出． 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 圆的切线方程 关于圆的切线的几个重要结论 (1)过圆上一点的圆的切线方程为． (2)过圆上一点的圆的切线方程为 (3)过圆上一点的圆的切线方程为 (4)求过圆外一点的圆的切线方程时,应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为,利用圆心到切线的距离等于半径,列出关于的方程,求出值．若求出的值有两个,则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个,则说明斜率不存在的情形符合题意． ◆必记结论◆ 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径,圆心到直线的距离,弦长具有的关系,这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长． 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点3 直线被圆截得的弦长 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交,有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切),有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离),没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时,两圆相交； 有一组实数解时,两圆相切； 方程组无解时,两圆相离． (2)几何法：设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为． 当时,两圆相交； 当时,两圆外切； 当时,两圆外离； 当时,两圆内切； 当时,两圆内含． 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 知识点4 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点4 圆与圆的位置关系 ◆必记结论◆ 圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解)． 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 解 析 题型1 直线与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1 直线与圆的位置关系 方法技巧 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型1 直线与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 直线与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型1 直线与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2 圆的切线方程 方法技巧 圆的切线问题求解策略 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 知识点2 圆的切线方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 切点弦问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 切点弦问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 切点弦问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 切点弦问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4 圆的弦长和弦心距 几何法 利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长l之间的关系解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式法 设直线与圆的两交点为，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 方法技巧 直线与圆相交时的弦长求法 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 圆的弦长和弦心距 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 圆上的点到直线距离个数问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 圆上的点到直线距离个数问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 直线与圆的应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型7 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7 圆与圆的位置关系 方法技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型7 圆与圆的位置关系 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的公共弦 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的公共弦 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的公共弦 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 圆的公共弦 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 圆的公切线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10 最值问题 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧： 1. 代数型最值问题 类型：求形如 ax+by 、 x2+y2 等代数式的最值. 技巧： 换元法：利用圆的参数方程（ x=a+rcosθ,y=b+rsinθ ）将问题转化为三角函数的最值问题. 几何意义法： 转化为截距、斜率或距离问题 2. 距离型最值问题 类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值. 技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径.例如，圆上点到直线距离的最大值为 d+r ，最小值为 ∣d−r∣ （ d 为圆心到直线距离）. 3. 面积与向量最值问题 类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值. 技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解. 核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 C．平分 D．与相交但不平分 已知圆：,则圆心为,半径为, 圆心到直线的距离, 即直线经过圆心. 故选：C. 【自主检测】已知直线：与圆：,则(    ) A．与相离 B．与相切 圆的标准方程是, 圆心坐标是,过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为,切线方程为,即． 【自主检测】(2026.江苏南通.模拟)圆在点处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 直线即,所以直线过定点,且斜率存在, 圆的圆心为,半径,则,直线的斜率, 当时,直线被圆截得的弦长的最小值为, 此时直线的斜率,符合题意. 【自主检测】(2026.福建宁德.模拟)直线被圆截得的弦长的最小值为(    ) A． B． C． D． 由题可得：,,,, 所以, 所以,故这两个圆的位置关系为相交；故选：C. 【自主检测】已知圆,圆,则这两个圆的位置关系为(    ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 的圆心和半径分别为,则圆心到直线 的距离为,故直线与圆相交但不经过圆心, 故选：A 【例1-2】(2026.北京海淀.模拟)已知直线与圆有公共点,则的最小值是(    ) A． B． C． D． 由题可知,直线与圆有交点,故圆心到直线的距离,小于等于半径, 即,故,也即,解得,则的最小值为. 故选：C. 【例1-1】直线和圆的位置关系为(   ) A．直线过圆心 B．直线与圆相交,但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 直线的斜率为,其倾斜角为, 将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线, 则直线的倾斜角为,因为直线过原点,故直线的方程为,圆的圆心为, 故圆心在直线上,A正确, 与圆有2个交点,BCD错误, 故选：A. 【变式训练1-1】已知圆,直线,则直线与圆的公共点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关,不能确定 由直线恒过定点,而, 所以点在圆内,故直线恒与圆相交,故有两个交点, 故选：C 【例1-3】(2026.山东菏泽.模拟)已知圆,将直线绕原点按逆时针方向旋转 后得到直线,则(   ) 直线：可变形为： ,令系数为0,则,解得, 直线恒过定点, 圆C：的标准形式为, 是以为圆心,半径是2的圆,,故过圆内一点的直线与圆恒相交． 【变式训练1-2】已知直线：(其中)与圆C：,则直线与圆C的位置关系是(   ) A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为点在圆外,说明点与圆心距离大于半径, 即. 直线与圆O相交, 说明圆心到直线的距离小于半径,即 ,化简得. 所以, 但是后者不能推出前者. 也就是说,点在圆外,那么直线与圆O相交, 但是直线与圆O相交,点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练1-4.变载体】(2026.河北保定.模拟)直线交圆于、两点,则(   ) A． B． C．1 D．2 联立解得：,,所以. 故选：D 【变式训练1-3.变考法】(2026.浙江模拟)已知圆,则“点在圆外”是“直线与圆相交”的(    ) 由于点在圆上,所以,所以圆, 所以圆心,, 所以过点M的圆C的切线的斜率为,所以过点M的圆C的切线方程为,化简得. 【例2-2】(2026.湖北武汉.模拟)设直线过点,且与圆相切,则直线的方程为(    ) A． B．或 C． D．或 圆的圆心,半径,直线过点, 而圆心到直线的距离为1, 因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时,设其方程为,即, 由,解得,方程为, 所以直线的方程为或. 【例2-1】已知点在圆上,则过点M的圆C的切线方程为 ． A． B． C． D． 如图,设过点的切线与圆的切点分别为,连接, 易得,在中, ,则, 故这两条切线的夹角为. 【变式训练2-1.变角度】过点与圆相切的两条直线的夹角为,则( ) A． B． C． D． 化为,圆心为,半径为2 所以点到圆心的距离为, 则切线长为, 所以,则. 故选：D 【例2-3】(2026.浙江.二模)已知圆,过点作圆的两条切线,则这两条切线的夹角为(    ) 由 可得, 所以,进而可得, 故, 所以四边形的面积为. 【变式训练2-2.变考法】过点作圆的两条切线,切点分别为,则四边形 的面积为(   ) A． B． C． D． 已知双曲线a的一个焦点为,故焦点位于x轴上,半焦距.设双曲线方程为：,渐近线方程为. 已知圆得方程：,圆心即为焦点,半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r,由点到直线的距离公式可得： ,代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 【变式训练2-3.变载体】已知双曲线a的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为(    ) A． B． C．2 D． 【变式训练2-4】(2026.甘肃平凉.模拟)过点与圆：相切的直线方程为 . 易知点在圆上,故所求切线与直线垂直, 又,所以所求切线斜率, 故所求切线方程为,即. (2)过点作圆的切线,求切线的方程． (1) 由题意可得的中点,∴圆心,故半径, ∴圆的标准方程为． (2)∵为圆的切线,∴,则,∵,∴, ∴过点的切线方程为,即切线的方程为． 【变式训练2-5】已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； 如图所示,可知,根据对称性易得, 所以, 所以,圆心到直线的距离, 且易知,, 所以,所以． 【例3-1】(2026.湖北.二模)【新思维】已知圆,直线,过直线上一动点作圆的两条切线,切点记作,,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 圆的圆心C的坐标为,半径为1．因为PA,PB为圆C的切线,切点分别为A,B, 所以,,,, 所以,． 当时,取最小值,, 此时取最大值,又,函数在上单调递增,即取最大值, 此时取最大值,又,所以． 【变式训练3-1.变角度】(2026.湖南衡阳.二模)已知点P是直线上一点,过点P作圆 的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为(   ) A． B． C． D． A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时,切点弦所在的直线方程为 圆标准方程为：,圆心为,半径为, ,, 所以,A正确； ,由选项A知,其最小值为,B正确； ,显然越大,越大,而无最大值,因此无最大值,C错； 因为,可知点在以为直径的圆上, 当点的坐标为时,则的中点为,且, 即点在圆,即上, 将与作差可得, 所以切点弦所在的直线方程,故D正确． 【变式训练3-2.变考法】(多选)由直线上一点向圆引两条切线,,,是切点,则(   ) 如图,设,设与交于,由题意知,, 中,, 而,则, 当最小时,取最小值. 而, 当且仅当时,取得最小值,此时,,, 则以为圆心,为半径的圆的方程为：, 与圆的方程相减,可得的直线方程为：,即. 【变式训练3-3.变载体】已知点在抛物线上运动,过点的两直线与圆相切, 切点分别为,当取最小值时,直线的方程为 . 【例4-1】(2026.海南儋州.二模)若过点的直线的倾斜角为,则直线被圆所截得的 弦长为________． 由直线的倾斜角为,可得直线斜率, 结合直线过点, 可得直线的方程为,即. 圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离, 因此,直线被圆截得的弦长. C． D．的面积是20 对于A,点到直线的距离为,选项A正确； 对于B,线段,选项B正确； 对于C,,选项C正确； 对于D,的面积是,选项D错误． 故选：ABC． 【例4-2】(多选)直线与圆交于两点,则(   ) A．点到直线的距离为 B．线段 圆：的圆心为,半径为2,则圆心到直线的距离, 设, 则, 由余弦的二倍角公式得：. 【例4-3】(2026.北京.模拟预测)已知坐标原点O,直线与圆：交于,两点,则(    ) A． B． C． D． 由直线与圆交于A,B两点可得, 即弦心距, 又因,解得, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练4-1.变考法】(2026.安徽.模拟预测)已知直线与圆交于A,B两点, 则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 由,即,故圆心,半径, 所以点到直线的距离,故,即, 解得：；所以,；又,圆心,, 所以,且,即圆与圆相交.故选：B. 【变式训练4-2】已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与 圆的位置关系是(       ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 由可变形为,则该直线过定点, 又可变形为,该圆的圆心为,半径为, 设圆心到直线的距离为,则, 所以当直线与直线垂直,即最大时,最小, 又的最大值为,所以, 故的最小值为． 【变式训练4-3】(2026.湖南长沙.三模)已知直线与圆交于,两点, 则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．4 D．2 圆化为标准形式,圆心,半径； 面积(为圆心到直线的距离), 由,得, 即,解得； 圆心到直线的距离,即,解得或． 【变式训练4-5】(2026.天津南开.模拟预测)若斜率为1的直线,被圆截得的弦长为,则该直线方程为____________． 设直线方程为,圆的圆心,半径, 圆心到直线的距离, 由垂径定理得或, 所以直线方程为或． 【变式训练4-4】(2026.山东临沂.二模)直线与圆交于,两点,且的面积为2,则________． 因为直线,圆, 所以,, 由于圆的半径为2,所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 【例5-1】直线,圆,则圆上的点到直线的距离等于的点有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时, 对于选项A,直线,,,,直线过定点,选项A正确； 对于选项B,的圆心为,半径为, 直线过定点,过定点的直径是最长的弦, 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦, 定点到圆心的距离为, 的最小值为,选项B错误； 对于选项C,,, , ,,, , ,,,选项C正确； 对于选项D,圆上恰有三个点到直线的距离等于, 圆心到直线的距离等于, ,圆心圆心到直线的距离, ,选项D正确. 故选：ACD. 【变式训练5-1.变角度】(多选)(2026.广东广州.模拟)已知圆,直线,直线与圆交于,两点,则(   ) 以小岛中心为原点,建立如图所示直角坐标系, 则,,所以直线的斜率为,方程为, 即,则到的距离为, 所以,即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 【例6-1】(2026.湖南长沙.一模)一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处,沿北偏西60°的方向直线航行,则该货船在暗礁区内航行的路程为(   ) A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile ③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于. 经测量,点分别位于点正北方向､正东方向处,.根据图中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是(    ) A．新桥的长为 B．圆心可以在点处 C．圆心到点的距离至多为 D．当长为时,圆形保护区的面积最大 【例6-2】【多选】【新情境】如图,是连接河岸与的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区.规划要求： ①新桥与河岸垂直； ②保护区的边界为一个圆,该圆与相切,且圆心在线段上； 如图,以为 轴建立直角坐标系,则,, 依题意,直线的斜率,直线方程为：, 直线的斜率,则直线方程为, 由,解得 ,即,,A正确； 设,即,直线的一般方程为, 圆的半径为, 显然,由,得, 则,解得,即长的范围是,B错误,C正确； 当,即长为时,圆的半径最大,圆形保护区的面积最大,D错误. 故选：AC 【变式训练6-1.变载体】如图,已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达,其监测范围是半径为的圆形区域,一艘轮船从位于海监船正东的处出发,径直驶向位于海监船正北的处岛屿,速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为(    ) 如图,以为原点,东西方向为轴建立直角坐标系, 由题意可知,,圆方程,半径, 直线方程：,即, 设到距离为,则,故直线与圆相交,所以外籍轮船能被海监船检测到, 如图,设直线与圆交点为,取中点,连接,则, 所以, 设监测时间为,则(小时),故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 由题意,得,所以, 即观测点之间的距离是,故A错误； 设圆的方程为,因为圆经过三点, 所以,解得, 所以圆的方程为,故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为,又点的坐标是, 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为,故C错误； 圆化成标准方程为,圆心为,半径, 圆心到直线的距离, 所以直线与圆相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确. 故选：BD. 【变式训练6-2.变情境】(多选)某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点,在平台的正西方向处设立观测点,已知经过三点的圆为圆,规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点,的正东方向为轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台的正南方向的处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,则(    ) A．观测点之间的距离是 以A为原点,为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示： 则,又, 所以直线的方程为：即,直线的方程为：即, 直线的方程为：, 设圆心为O,则圆心到直线、直线、直线的距离均相等且等于, 则, 解得：,,, 所以,,, 由题可知,即, 所以可得,,对应弧长为圆的周长, 故该零件的截面的周长为(cm) 故选：A. 【变式训练6-3.变情境】(2025.河南南阳.模拟预测)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图(单位：)所示,四边形为矩形,均与圆相切,为切点,零件的截面段为圆的一段弧, 已知,则该零件的截面的周长为(    )cm(结果保留) A． B． C． D． A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ,圆心,半径, 可化简为, 则圆的圆心为,半径, ,所以两圆相交. 故选：C. 【例7-2】已知圆 与圆有两个交点,则r的取值范围为(    ) A． B． C． D． 由题意知：圆心与圆心,则圆心距, 因为圆与圆有两个交点,所以,解得：. 故选：D 【例7-1】已知圆,圆,则两圆的位置关系是( ) 圆的圆心,半径, 由直线与圆相切,得, 解得(负根舍去), 所以,, 圆的圆心,半径, 因为,所以圆和圆相交. 故选：A 【变式训练7-1】已知直线与圆相切,则圆和圆 的位置关系是(    ) A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 ,则,半径, 因为关于直线对称, 所以在上,则有,解得,则, ,则, 半径, ,,,故与相交, 则与的公切线的数量为,故选项B正确. 【变式训练7-2.变载体】(2026.河北保定.二模)已知关于直线对称, ,则与的公切线的数量为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 如图,由可知点的轨迹是以为直径的圆,设为圆, 因,故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因,则, 由,解得：； 又当时,点同时在圆上, 所以,所以且. 故选：B. 【变式训练7-3.变考法】已知圆,若圆上存在点使得, 则的取值范围为(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 易知两圆相交,两圆方程作差,, 即, 化简可得直线的方程为. 【例8-2】(2026.广东东莞.模拟)圆与圆的公共弦长为 . 两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程, 圆的圆心到直线的距离, 故公共弦长为. 【例8-1】(2026.陕西榆林.模拟预测)已知圆与圆交于A,B两点, 则直线的方程为(   ) 联立方程组,可得直线的方程, 原点到直线的距离为, 在中,过作的垂线,垂足为, 则为的中点,, 在中,, 所以, 所以. 【变式训练8-1.变载体】(2026.江苏苏州.三模)在平面直角坐标系中,已知圆：和 圆：交于两点,则(    ) A． B． C． D． 由已知,圆,圆, 圆心,半径,圆心,半径, 法一：如图,准确画图,容易发现四边形是边长为3正方形,其面积为9； 【变式训练8-2.变载体】(2025.安徽安庆.模拟预测)已知圆与圆 相交于两点,则四边形的面积等于 . 法二：将两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为, 所以,即, 又, 所以,四边形的面积. 【变式训练8-3.原创题】已知圆与圆相交的两个公共点所在直线为, 若与抛物线交于两点,则 . 已知圆,圆,将两式相减消去二次项可得直线的方程：, 即. 联立直线与抛物线方程联立,将代入可得：, 即, 设,,由韦达定理可得,. 根据弦长公式(其中为直线的斜率), 直线的方程为,其斜率,则：. B．⊙O和圆：的相交弦长是4 C．⊙O和圆：有且只有两条公切线 D．⊙O和曲线C：交于A,B两点,则△OAB的面积为 对于A,圆心的坐标为,半径为2, 圆心到直线的距离为,所以直线与圆 是相离的,所以⊙O上一点到直线l：距离的最小值是,所以A错误； 对于B,圆的标准方程为,所以,半径为3, 所以, 因为,所以两圆相交, 两圆方程相减得,化简得. 所以两圆的相交弦的直线方程为,圆心到直线的距离为, 所以⊙O和圆：的相交弦长是4,B正确； 对于C,圆的标准方程为,所以,半径为3, 所以,所以两圆外切, 所以⊙O和圆：有三条公切线,C错误； 对于D,联立,得,解得(舍去)或. 所以, 所以,D正确. 【变式训练8-4.变角度】(多选)(2026.河南.模拟预测)已知⊙O：,则下列说法正确的是(   ) A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是 C． D． 圆的圆心为,半径为, 圆的圆心为, 半径为 所以两个圆内切,因此与两圆均相切的直线为 两个圆的公共弦所在的直线方程, 所以, 整理得, 故选：. 【例9-1】已知直线与圆和圆均相切,则的方程为( ) A． B． 如图,作出符合题意的图形,由题意得,圆心,半径. 将整理得,圆心,半径. 圆心距,两圆外切, 所以共有三条公切线,两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上,由位似性质得交点为, 由图可得一条外公切线为, 设另一条外公切线方程为, 由圆心到切线距离等于半径得,解得, 所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上, 所以切点坐标为,内公切线斜率为 ,方程为； 此时两两交点,对应选项A； ,对应选项B； ,对应选项C；故选项D不是公切线交点. 【例9-2】(多选)(2026.河北保定.一模)【新思维】圆与圆的公切线的交点坐标可以是(    ) A． B． C． D． 圆,其圆心,半径, 圆,其圆心,半径, ,所以两圆外切,有3条公切线, 由,其中两条外公切线与直线平行, 又,设外公切线方程为, 则到直线的距离,解得, 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点,且与直线垂直,其斜率为, 其方程为,即. 【变式训练9-1.变载体】(多选)(2026.新疆乌鲁木齐.二模)已知圆和圆, 则下列直线与两圆都相切的是(   ) A． B． C． D． 由题,圆与圆内切,所以,即,所以点, 又圆的半径为1, 所以切线长为, 故选：C． 【变式训练9-2】(2026.浙江.模拟预测)若圆与圆(a,)有且仅有一条公切线,则从点到圆的切线长为(   ) A．1 B． C． D．2 由题设,圆心、,则,即两圆外切, 设切点为,,得,所以, 又过与垂直的直线为两圆的内公切线, 斜率为,该公切线方程为,整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为, 连接,作,垂足为(如图), 则, 所以, 所以直线,即直线的斜率为, 设直线为,则, 所以,故为． 由图易知,另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或(填其中之一即可)． 【变式训练9-3】写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【变式训练9-4】若圆与圆有且仅有三条公切线, ． 易知圆的圆心为,半径为, 由, 得到, 则,即,圆的圆心为,半径为, 因为圆与圆有且仅有三条公切线, 所以圆与圆外切, 则,即,解得, 故答案为：. 由题可得,由圆, 则圆心为,半径为, 由圆, 则圆的圆心为,半径为. 则两圆心的距离, 因为,所以圆与圆相交. 如图,设切点为,作于点, 所以圆与圆的公切线长为. 【变式训练9-5】圆与圆的公切线长为______. 由题意得,圆的圆心为,半径. 因为到直线的距离, 当且仅当时,等号成立,所以直线与该圆相离,所以的最小值为. 故选：C. 【例10-1】(2026.河南信阳.模拟)是圆上的动点,是直线上的动点, 则的最小值为(    ) A． B． C． D． 点在以为圆心,1为半径的圆上,点在以为圆心,7为半径的圆上, 两圆心距,则两圆内含, ,, 则． 【例10-2】(2026.江西.模拟预测)已知,,则的最小值为(    ) A．1 B．4 C．8 D．16 【例10-3】【新思维】 “太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”, 图中所有曲线均为圆或半圆,已知点是阴影部分(包括边界)的动点,则的取值范围是 ． 记,则为直线AP的斜率, 故当直线AP与半圆相切时,k最小, 此时设,故,解得或, 由图可知需舍去,故．当过时,．故答案为：. 圆的圆心,半径, 直线可化为, 令,得,故直线过定点, 由图知, 当且仅当时,点到直线距离取得最大值：, 故圆上的点到直线距离最大值为. 【变式训练10-1】(2026.河南濮阳.二模)圆上的点到直线 距离的最大值是(   ) A．7 B．5 C．3 D．2 如图所示,由圆方程可得圆心,半径, 由切点可知,所以,过点作直线的垂线,垂足为, 所以,可得,接着转化为几何条件, 在所在直线上构造一个到点距离为的点, 所以,所以,此时, 所以当三点共线时取最小值,即,故的最小值为. 【变式训练10-2.变考法】已知,点为直线上的动点,过点作直线 与相切于点．若,则最小值为(   ) A．4 B． C． D． C．的最大值为6 D．当最小时, 对于A中,由点,,点P在圆上运动, 则圆心为,半径为2,直线AB的方程为, 则圆心C到直线AB的距离,所以直线AB与圆C相离,所以A正确； 对于B中,因为,点P到直线AB的距离的最小值为,则面积的最小值为,所以B错误； 对于C中,由,所以C正确； 对于D中,当最小时,直线PB与圆C相切,此时,所以D正确. 故选：AC D． 【变式训练10-3.变角度】【多选】(2026.云南模拟)已知点,,点P在圆上运动, 则(   ) A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 当直线过圆心时,两条切线平行,所以夹角为0, 当直线不过圆心时,如图,设两条切线交于点, 则, 设点到直线的距离为,因为直线过点, 所以 当时,直线斜率不存在,不符合题意, 所以,则, ,综上,两条切线夹角的取值范围是. 【变式训练10-4.变考法】(2026.河北石家庄.模拟)已知直线与圆交于两点, 过分别作圆的切线,则这两条切线夹角的取值范围是 . 由题意, 在圆中,圆心,半径为, 到直线的距离为的点有且仅有 个, ∵圆心到直线的距离为：,    故由图可知, 当时, 圆上有且仅有一个点(点)到直线的距离等于； 当时, 圆上有且仅有三个点(点)到直线的距离等于； 当则的取值范围为时, 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 1．(2025.全国一卷)已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值范围是(   ) A． B． C． D． 因为直线,即,令, 则,所以直线过定点,设,将圆化为标准式为, 所以圆心,半径, 当时,的最小, 此时.故选：C 2．(2024.全国甲卷)已知直线与圆交于两点,则的最小值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．6 C．满足的直线多于条 D．当时,的最大值为 记到直线的距离分别为,则,,. ∵ 直线与三个圆均有两个交点, ∴ ,,,对应弦长为. A：∵ 解,得, 解,得, 不妨取, ∵, ∴,记, 解,得,记, 当,即时,, 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数,A错误. 3．(多选)(2026.全国一卷)已知圆,圆,圆,直线 与,,均有两个交点．记被,,截得的弦长分别为、、,则(     ) A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 B：∵ , ∴ . 由得,平方得,即或. ①当时,直线为,由 得,解得, 此时,符合条件,对应直线条. ②当时,直线为,由得, 解得, 此时,符合条件,对应直线条. 综上,共条直线满足条件,B正确. C：令, ∴ ,, 令,则, ∴. 令,即, 平方整理可得,解得或, 即或, 经验证,此时均小于,满足题目要求,此时已有条直线,多于条,C正确. D：当时,,, ∴ ,, 令,则, ∴ . 设,求导得, 令得,此时取最大值, ∴ 的最大值为,D正确. B．当时,与轴相切 C．当时,与相切 D．当与相交时,两个交点所在直线的方程为 由：,化简可得, 所以,的圆心,半径,故A错误； 对于B,由,得的半径,所以圆心到轴的距离,即与轴相切,故B正确； 对于C,由,得的半径,由于的圆心为,半径,所以,则与内切,故C正确； 对于D,由,化简得：, 所以与两个交点所在直线的方程 为,故D错误. 4．(多选)(2026.全国二卷)已知：,：,则(     ) A．点的坐标为 圆的圆心为,半径. 由直线与圆相切,则得, 解得. 6．(2025.天津高考),与x轴交于点A,与y轴交于点B,与交于C、D两点,,则_________． 因为直线与轴交于,与轴交于,所以,所以, 圆的半径为,圆心到直线的距离为, 故,解得； 故答案为：2. 5．(2026.北京高考)已知直线与圆相切,则________． 1．求直线被圆截得的弦的长． 将圆的方程化为标准式,可得,所以圆心坐标为,半径为, 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为, 所以根据几何法得弦长为．所以弦的长为 2．求圆心在直线上,与轴相切,且被直线截得的弦长为的圆的方程． 设所求的圆的方程是,则圆心为,半径为. 令,得, 由圆与轴相切,得,即① 又圆心到直线的距离为. 由已知,得, 即② 又圆心在直线上,则③ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程是或. 3．求与圆关于直线对称的圆的方程． 圆可化为：, 所以其圆心,半径. 设对称的圆的圆心,则有：,解得：, 所以对称的圆的方程为：. 如图建立平面直角坐标系,则,,,,,, 所以,则直线方程为,直线的方程为 则解得,即,所以, 即,所以点在圆上； 4．正方形ABCD的边长为a,在边BC上取线段,在边DC的延长线上取．试证明：直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上． 5．求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 联立与,解得：或, 即两圆交点坐标为与,设圆的方程为：, 将点坐标代入得：,解得：,所以此圆的方程为：. 设经过两圆交点的圆的方程为, 即,圆心坐标为, 将其代入直线解得．所以圆的方程为． 7．求圆与圆的公共弦的长． 圆与圆,两式相减得,即公共弦方程为, 圆的圆心坐标为,半径,圆心到公共弦的距离, 故公共弦 6．求圆心在直线上,并且经过圆与圆的交点的圆的方程． 8．求经过点且与圆C：相切于点的圆的方程． 设所求圆方程： 已知圆的圆心：,半径=, 由题意可得：,, 解得,, ∴所求圆：= 根据题意,以点为坐标原点,所在直线为建立平面直角坐标系,如图,    则,,,由于,所以直线的方程为, 故设,则, 由于圆与圆相外切,故, 解方程得 所以cm. 故A,C两齿轮的中心距离约为. 9．如图,某台机器的三个齿轮,A与B啮合,C与B也啮合．若A轮的直径为200 cm,B轮的直径为120 cm, C轮的直径为250 cm,且．试建立适当的坐标系,用坐标法求出A,C两齿轮的中心距离(精确到1 cm) 10．已知,,三点,点P在圆上运动,求的最大值和最小值． 设, 因为,,三点, 所以, 因为点P在圆上运动, 则,解得, 所以, 当时,取的最大值88, 当时,取的最小值72. 11．已知圆,直线,b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 因为圆的方程为,所以圆心为,半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件, 直线的一般式方程为：, 所以圆心到直线的距离为：,解得, 故当时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. (1)依题意,直线AB的斜率为,又直线AB过点, 所以直线AB的方程为：, 圆心到直线AB的距离为,则, 所以； (2)当弦被点平分时,AB与垂直, 因为,所以, 直线AB的点斜式方程为 即. 12．如图,圆内有一点,AB为过点且倾斜角为的弦． (1)当时,求AB的长． (2)是否存在弦AB被点平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在,请说明理由． (2)设圆Q与圆相交于A,B两点,直线PA,PB是圆Q的切线吗？为什么？ (3)求直线AB的方程． (2)因为PQ为直径,在圆Q上,所以, 所以直线PA,PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为, 圆Q的方程可化为,两圆方程相减,得, 所以直线AB的方程为. (1)易知,所以PQ的中点, 又因为 , 圆的半径为, 所以圆的方程为.作图如下： 13．已知点和以点Q为圆心的圆． (1)画出以为直径,点为圆心的圆,再求出圆的方程； $