第8单元 04 第51讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据课标要求梳理了位置关系判断、弦长计算、切线方程等核心考点。通过知识表格对比几何与代数观点，分析近五年高考真题明确“弦长与切线”占比达60%的高频考点，归纳出选择、填空、解答题三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法对比+素养提升”策略，如2022新高考Ⅱ卷对称直线问题，运用几何法求距离培养数学思维。特设“易错警示”模块，针对忽视斜率不存在等问题，通过变式训练强化数学语言表达。教师可利用课时作业分层训练，帮助学生掌握“几何优先”解题技巧，提升高考得分率。

第51讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.直线与圆的位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为 ，则直线与圆的位 置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 ___0 ___0 ___0 几何观点 ___ ___ ___ < = > > = < 课 前 基 础 巩 固 4 2.圆与圆的位置关系,的半径分别为,, 位置关系 图形 数量的关系 公切线条数 外离 ___________ 4 外切 ___________ 3 课 前 基 础 巩 固 5 位置关系 图形 数量的关系 公切线条数 相交 _____________________ 2 内切 ____________ 1 续表 课 前 基 础 巩 固 6 位置关系 图形 数量的关系 公切线条数 内含 ____________ 0 续表 课 前 基 础 巩 固 7 3.直线被圆截得的弦长 （1）几何法：弦心距、半径和弦长 的一半构成直角三角形， 弦长 __________. （2）代数法：设直线与圆 相 交于点，，联立直线与圆的方程，消去，得关于 的一元二次 方程，根据根与系数的关系，得到，，则 _____________________________. 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.圆的切线方程常用结论 （1）圆在点 处的切线方程为 .特别地，圆 在 点处的切线方程为 . （2）经过圆外一点 向圆作切线， 经过两个切点的直线方程为 . 特别地，过圆外一点 作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.圆与圆的位置关系的常用结论 （1）两圆相交时公共弦的方程 设圆 ，圆 ，则公共弦所在直线的方程可 由得到，即 . 课 前 基 础 巩 固 10 （2）两个圆系方程 ①过直线与圆 交点的圆 系方程为 ； ②过圆 和圆 交点的圆系方程为 ， 其中不含圆的方程，所以注意检验圆 的方程是否满足题意， 以防丢解. 课 前 基 础 巩 固 11 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］直线与圆 的位置关系为______. 相交 [解析] 圆心到直线，即直线 的距离 ,所以直线与圆相交. 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］已知直线 与圆 ,则直线被圆 截得的弦长为_____. [解析] 方法一：由消去,得 , 解得,,所以直线与圆 相交,有两个公共点. 设两个公共点分别为,,把,分别代入 , 得,,所以直线与圆的两个公共点分别 为, , 则 . 课 前 基 础 巩 固 13 方法二：圆的圆心为,半径 ,因为 圆心到直线的距离,所以直线被圆 截得的弦长为 . 课 前 基 础 巩 固 14 3.［教材改编］已知点是圆 上的一点，则过点 的圆的切线方程是__________________. [解析] 点是圆 上的一点， ，即. 圆的圆心为 ，直线的斜率， 直线与过点 的圆的切线垂直， 过点的圆的切线的斜率是 ， 过点 的圆的切线方程是， 即 . 课 前 基 础 巩 固 15 4.［教材改编］圆与圆 的公 共弦所在直线的方程为_____________. [解析] 由, 两式相减得 ,即 ,故公共弦所在直线的方程为 . 课 前 基 础 巩 固 16 题组二 常错题 5.［忽视分两圆内切与外切两种情形］若圆 与圆 相切,则 _______________. 或 [解析] 两圆的圆心距 ,由两圆相切（外切或内切）,得 或,解得或 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.［忽视直线斜率不存在的情形］已知圆,过点 作圆 的切线,则切线方程为_________________________. 或 [解析] 由题意知在圆外.当切线的斜率不存在时,切线方程为 , 满足题意; 当切线的斜率存在时,设斜率为 ,则切线方程为, 即,所以 ,解得, 所以切线方程为. 综上,切线方程为 或 . 课 前 基 础 巩 固 18 探究点一 直线与圆的位置关系 例1（1）已知圆 ，直线 ，则直线与圆 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 ［思路点拨］将直线的方程变形可得直线过定点，由点 在圆上，即可判断直线与圆 的位置关系； √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 由可得，直线 的方 程，可化为，则直线 恒过 点，又，故点在圆上，所以直线与圆 相交或相切.故选D. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点，,直线 关于直 线的对称直线为，已知与圆 有公 共点，则 的取值范围为_ _____. ［思路点拨］求出点关于直线的对称点 的坐标，进而得到 直线的方程，利用圆心到直线的距离小于等于圆 的半径，列出 不等式求解 的取值范围即可. 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 由题意知直线过点.点关于直线 的对称点为 ,所以直线的方程为 ,即 . 由题意知，圆心到直线 的距离, 整理得,解得 ，故的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] 判断直线与圆的位置关系的常用方法: （1）若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用与半径 的大小 关系判断. （2）若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用 代数法,联立方程后利用 判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题（1）（多选题）已知直线 与圆 ,点 ,则下列说法正确的是( ) A.若点在圆上,则直线与圆 相切 B.若点在圆内，则直线与圆 相离 C.若点在圆外，则直线与圆 相离 D.若点在直线上，则直线与圆 相切 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 对于A, 点在圆上，, 圆心到直线 的距离，直线与圆相切，A正确； 对于B， 点 在圆内，, 圆心到直线 的距离 ， 直线与圆相离,B正确； 对于C， 点在圆 外，, 圆心到直线的距离 ， 直线与圆相交,C错误； 对于D， 点在直线上， , 圆心到直线的距离 ， 直线与圆 相切,D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）若直线与圆 相离，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 圆的圆心为，半径 ， 因为直线与 圆相离，所以点 到直线 的距离，解得 ，又 ，所以，所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 26 探究点二 圆的弦长与切线问题 角度1 圆的弦长 例2（1）已知直线与圆相交于， 两点， 若，则 ( ) A.1 B. C. D. ［思路点拨］利用几何法先求圆心到直线的距离 ，由 即可求解 ； √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 由题意知圆的半径为2，圆心 到直线 的距离，又 ，所 以，则 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 28 （2）直线与圆相交于， 两点，且 为坐标原点，则 _____. ［思路点拨］根据已知条件可求弦心距，进而可求参数 的值. [解析] 由 ，得，则点 到直线 的距离为 ，所以 ，解得 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 直线被圆截得的弦长的求法: （1）几何法.利用圆的半径,圆心到直线的距离,弦长 之间的关系 ,整理出弦长公式为 . （2）代数法.若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直 接用两点间的距离公式计算弦长. （3）弦长公式法.设直线与圆的交点为, ,将 直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 . 课 堂 考 点 探 究 30 变式题 [2025·山东菏泽二模]已知直线 与圆 交于，两点，则 的最小值为( ) A.5 B.10 C. D. [解析] 由 可得 .令解得 所以直线过定点. 圆的圆心为 ，半径，所以 .当 时， 最小，此时 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 角度2 圆的切线方程 例3 已知点，点 ，圆 . （1）求过点的圆 的切线方程； ［思路点拨］先判断点的位置，再根据 求出切线的斜率，利用 点斜式可得切线的方程； 课 堂 考 点 探 究 32 解：圆的圆心为，半径 ， 易知点在圆上，因为 ， 所以过点 的圆的切线的斜率为1， 故过点的圆的切线方程为 ， 整理得 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）求过点的圆 的切线方程，并求出切线长. ［思路点拨］分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论，结合点到 直线的距离公式和切线长公式即可求出结果. 解：由题知点在圆外.当过点 的直线的斜率不存在时,直线的方 程为，因为点到直线的距离为 ， 所以直线是圆 的切线，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 即直线的方程为 ， 课 堂 考 点 探 究 34 由圆心到直线的距离，解得 ， 故直线的方程为 . 故过点的圆的切线方程为或.过点的圆 的 切线长为 . 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 求圆的切线方程时常用的两种方法: （1）代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数或 ,令 一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数. （2）几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等 于半径,求出相关参数. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题（1）过点与圆 相切的直线的方程为 ________________. [解析] 易知点在圆上，故所求切线与直线 垂直，又 ，所以所求切线的斜率 ，故所求切线的方程为 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025·河北石家庄一模] 若直线 被圆 截得的弦长为10，过点作圆 的切线，其中一个切点为，则 的值为_____. [解析] 圆的圆心为 ，半径为5. 由弦长为10，结合垂径定理可得，解得 ， 则 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 角度3 与圆的切线有关的最值问题 例4 已知，直线 ， 为上的动点.过点作的切线，，切点为, ，当 最小时，直线 的方程为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设 ，由已知结合四边形的面积公式及三角形 的面积公式可得，要使 最小，则 需最小，此时与直线垂直,进而可得直线 的方程. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 连接,,由题知 的标准方程为. 设,则. 四边形的面积 , , . 要使最小，只需最小，当且仅当时， 取得最小 值，,排除A，C，此时， ，检验B，D选项可 知D正确.故选D. 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 涉及与圆的切线有关的线段长度的取值范围（或最值）问题,解题关 键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函 数的形式,再利用求函数的取值范围（或最值）的方法求得结果. 课 堂 考 点 探 究 41 变式题 已知是直线上一动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为， ，则四边形 周长的最小值为( ) A. B. C. D.8 [解析] 圆的圆心为,半径. 设圆心 到直线的距离为，则四边形 的周长为 ， 又，所以四边形 周长的最小值为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 42 探究点三 圆与圆的位置关系 例5 （多选题）[2025·贵州毕节二模]已知圆 ，圆 ，则( ) A.当时，圆与圆 相切 B.当时，圆与圆相交于,两点，且直线 的方程为 C.当时，圆与圆 相交 D.当时，圆与圆相交于,两点，且 √ √ ［思路点拨］先求出两圆的圆心坐标及半径，再逐项利用圆心距与 半径的和或差的关系判断两圆的位置关系即可. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 由题得圆的圆心为，半径.圆 的标准方程为 ，则，圆的圆心为 ，半径 .， ，. 对于A，当时， ，，则 ， 所以两圆内切，故A正确； 对于B，当时，， ，则 ，所以两圆相交，又圆 ， 圆 ，所以直线的方程为 ,即 ，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 44 对于C，若两圆相交，则， 即 ，解得，故C错误； 对于D，由选项B可知，当 时，圆心到直线的距离为， 则 ，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的 和或差的大小关系判断,一般不采用代数法. （2）若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去, 得到. （3）求两圆公共弦长时,常选其中一个圆,由弦心距,半弦长,半径 构成直角三角形,利用勾股定理求解. 课 堂 考 点 探 究 46 变式题（1）（多选题）点在圆上，点 在圆 上，则下列说法正确的是( ) A.圆与圆 相交 B. 的最大值为10 C.两圆的公共弦长为 D.当直线与圆相切时，的最大值为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 对于A，由圆的方程知，圆的圆心为，半径 . 圆的标准方程为，所以圆 的圆心为 ，半径 . 因为两圆的圆心距， 且 ，所以圆与圆相交，故A正确. 对于B，如图①所示，当直线 同时经过两圆圆心, 且,均在线段上时， 取得最大值， 且 ， 故B错误. 课 堂 考 点 探 究 48 对于C，如图②所示，两圆方程作差，得两圆公共弦 所在直线的方程为，又圆心到直线 的距离 ，所以两圆的 公共弦长为 ，故C正确. 对于D，如图③所示，当直线与圆相切时， 点在圆外，因为 ， 所以当取得最大值时，取得最大值.因为 ， 所以点在圆上，所以的最大值为， 所以 的最大值为，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·河北保定模拟]在平面内，若点到直线 的距离为1， 点到直线的距离为2，则这样的直线 共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 [解析] 在平面内，若点到直线的距离为1，则直线 是以 为圆心，1为半径的圆的切线，同理可得，若点到直线 的距离为2，则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 满 足条件的直线 为两圆的公切线. ， 两圆外离， 两 圆的公切线有4条，故满足条件的直线 有4条.故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 50 课时作业 51 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2025·北京大兴区三模]已知直线 与圆 ，则( ) A.与相离 B.与 相切 C.平分 D.与相交但不平分 [解析] 圆的圆心为 ，半径为2， 则圆心到直线的距离，故直线经过圆心，即 平 分 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 2.[2025·重庆一中三模]过圆外的点作圆 的一 条切线，切点为，则 ( ) A.2 B. C. D.4 [解析] 由题意得圆的半径 ，故 ，则 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 3.直线被圆 所截得的弦长为 ( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 由已知可得圆心，半径，因为点 到直线 的距离 ，所以所求弦长为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 4.已知圆，过点的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为( ) A.4 B. C.8 D. [解析] 圆的圆心为，半径 ， 过点的最长弦的长 ，最短弦的长 ，且最短弦与最长弦互相垂直，故四边 形的面积为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 5.[2025·山西晋中模拟]若过点且与圆 相切的两 条直线的夹角为 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 圆的圆心为，半径 ，所以点 与圆心间的距离 ，所以 ，则 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 6.[2025·湖南长沙三模]已知是直线 上的任意一点， 若过点作圆的两条切线，切点分别记为, ，则弦长 的最小值为( ) A.2 B. C. D.1 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 易知圆心到直线的距离 .如图， 在直角三角形中，, ， 所以，又 ,所以 ，则 ， 因为,，所以与 互补， 所以当时，弦长最小，此时，弦长 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 7.[2025·江西赣州模拟] 已知直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为_ _________. [解析] 圆的标准方程为，可得圆 的圆心为 ，半径，又直线的方程为，直线与圆 相交，所以，解得，故实数 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 8.圆 与圆 的公切线条数为___. 3 [解析] 圆的标准方程为 ， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 又圆是以 为圆心，为半径的圆，所以圆，圆 的圆心距为 ，圆，圆 的半径之和为 ，即圆心距等于半径之和，故两圆外切， 所以圆，圆 有3条公切线. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 9.[2025·广东韶关曲江中学月考] 已知圆， 为坐标原点，以为直径的圆 与圆交于， 两点， （1）求圆 的方程； 解：如图，圆 的 标准方程为 ， 则圆的圆心为，半径 ， 则线段的中点的坐标为 ， ， 所以圆的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 （2）求直线 的方程； 解：圆与圆相交于， 两点，将两圆的方程相减，整理得 ，所以直线的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 （3）求四边形 的面积. 解：点到直线的距离 ，则 ，又，所以四边形 的面积为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·江苏盐城模拟]已知为坐标原点，直线 与圆 相交于，两点，则 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] 圆的标准方程为 ， 则圆的圆心为，半径，又直线 恒过定点 ，所以直线恒过圆心. 又直线与圆交于， 两点，所以 , 所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 11.已知点，到直线的距离分别为和 ，若 这样的直线恰有两条，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 因为恰有两条直线，使得点，到的距离分别为 和 ，所以以为圆心，为半径的圆与以为圆心， 为半径的 圆有两条公切线，故这两个圆相交，所以 ， 又，所以 ， 解得或，所以的取值范围是 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 12.（多选题）[2025·安徽宣城模拟]已知圆 和直 线，点在直线上运动，直线，分别与圆 相 切于点, ，则下列说法正确的是( ) A.切线长的最小值为 B.四边形 面积的最小值为4 C.当最小时，弦所在直线的方程为 D.弦 所在直线必过定点 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 [解析] 对于A，圆 的 圆心为 ，半径为2，如图，由题意 可得， ，所以 ， 又 ，所以 ，故A错误. 对于B， ，所以四边形 面积的最小值为4，故B正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 对于C，当最小时， ，则直线的 斜率为，又 ，所以直线的斜率为1， 直线 的方程为，即 ， 由解得即 ， 因为当最小时， ，所以为 等腰直角三角形，所以 中点即为中点， 因为的中点为 ，所以弦的中点为，所以弦 所在直线的方程为 ，即 ，故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，设，则以 为直径的圆的 方程为 ， 整理得. 圆 的方程为 ，即 . 由得弦 所在直线的方程为 ，即 ，由解得所以弦 所在直线必过定点，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.过原点的直线与圆交于，两点，若 的面积为1，则直线 的方程为_ _________. [解析] 圆的半径，圆心为 ，则 ， 所以，故，则圆心到直线 的距离 . 若直线与轴重合，则圆心到直线 的距离为3，不满足题意，所以 直线的斜率存在，设直线 的方程为，即， 由题意可得，解得 ，故直线的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 14.[2025·江苏南京模拟] 已知圆和点， 为圆外一点，直线与圆相切于点， . （1）求点 的轨迹方程. 解：如图①,设点的坐标为，连接， ， 由直线与圆相切于点 ，得， 又 ，， ，所以 ，即， 化简得 ，故点的轨迹方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 （2）记点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使得以 被曲 线截得的弦为直径的圆过点？若存在，求出直线 的方 程；若不存在，说明理由. 解：如图②，设直线的方程为 ， 点， . 由消去 ，整理得 ，由 ， 得 ,所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 若以为直径的圆过点 ，则 ，即 ，化简得 ，即 ，解得或， 当或时，满足 ，故存在满足题意的直线， 且直线 的方程为或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 15.[2025·江西景德镇三模]动圆经过直线 与 的交点,，过原点向动圆 作切线，切点 为，若 恒成立，则实数 的最大值是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 [解析] 由解得或 设 ，.设动圆的方程为 ， 则切线长， 故点 的轨迹是圆心为,半径的圆. 设线段的中点为 ，由，得点在圆外， 易知 ， ，则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 （,, 三点不能共线），所以 ，又 恒成立，所以 的最大值是 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.[2025·湖南岳阳模拟] 已知圆上有一动点 ，点 ，若直线与线段 的中点的轨迹始终有公共点， 则实数 的取值范围为_ ___________________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 [解析] 如图，设线段,的中点分别为, ， 因为，所以，又 ， 故点的轨迹方程为 . 若直线与动点 的轨迹始终有公共点， 则，解得或，故 的 取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 $