精品解析：江苏省赣榆高级中学等校2026-2027学年高三上学期8月学情检测数学试题

2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项最符合题意． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是单调减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若成等差数列，则正数的值为______. 13. 已知实数，则的最小值是______. 14. 已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 16. 已知函数，函数在区间上的最大值为4，. （1）求的解析式； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 17. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 18. 已知函数，函数， （1）设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； （2）若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 19. 我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． （1）求底面椭圆的离心率； （2）若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥外接球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期8月学情检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项最符合题意． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，解集合A，再和集合B取交集即可得出答案. 【详解】根据题意，对于集合A，，解得， 所以， 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，而， 则， 所以. 4. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围． 【详解】由题得，原命题的否命题是“，使”， 即，解得．选B. 【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题． 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案. 【详解】因为,，， 所以， 故选：C 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 7. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 8. 设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【详解】函数的图象如图所示： 因为，，所以，所以 所以，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以， 所以的范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是单调减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 将的图象向右平移个单位，可得的图象 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，反例，函数为奇函数，但不存在，即不成立； 选项B，反例，取，则， 于是有，这与减函数的定义矛盾； 选项C，令，则函数可化为， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以函数的定义域为，即函数的定义域为； 选项D，将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，即的图象． 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对AB选项可通过作差比较法及不等式性质判断可得，对C选项可通过作商比较法及指数函数的性质判断可得，对D选项则通过特殊值法判断可得. 【详解】选项A：对两式作差得， 由，得，，所以，即，A正确； 选项B：对两式作差得， 由，得，又， 所以，即，B正确； 选项C：因为，所以， 对两式作商得， 由得，由得，因为函数在上单调递增， 所以，即，C正确； 选项D：取特殊值，左边，右边， 此时，不满足大于关系，D错误. 11. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若成等差数列，则正数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的定义列关系式，再利用对数的运算法则以及对数函数的性质化简求出. 【详解】由题意可知，且， 则，则，得. 故答案为： 13. 已知实数，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由，通过换元，再结合基本不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以， 设，可化为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 14. 已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设， 根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围. 【详解】 由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，． 当，时，，满足题意； 当时，，解得． 综上，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【小问1详解】 函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. 【小问2详解】 由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 16. 已知函数，函数在区间上的最大值为4，. （1）求的解析式； （2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断在上的单调性，结合其最大值和求得，即得答案； （2）结合（1）求出的表达式，继而将在上有解，转化为在上有解，利用换元结合二次函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 ，其图象对称轴为， ，在单调递增， 即，. 又，则有即，所以，， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则在上有解，即在上有解，. 令，则在上有解， 所以， 又，，故当时，取到最大值1， 即，所以， 所以实数k的取值范围是. 17. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 【答案】（1）①；②至少要进行轮游戏，，． （2） 【解析】 【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； ②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为的最大值，可知学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由可求得的值，即可得解； （2）设选出的是第个箱子，计算出在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为，进而可求得所求概率为，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则； ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为， 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 即当时，． 学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知． 故理论上至少要进行轮游戏，此时，． 【小问2详解】 解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为． 设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形： 取法数为， 取法数为， 取法数为， 取法数为， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 ． 则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为． 而选到第个箱子的概率为， 故所求的概率为． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解. 18. 已知函数，函数， （1）设. （ⅰ）若，求的零点； （ⅱ）若的最小值为，求的值； （2）若函数在上有定义，且存在区间使得在上的值域是，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）零点为2和；（ⅱ）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）分类讨论得出的表达式，直接求出其零点即可； （ⅱ）将函数写成分段函数形式，再利用二次函数单调性进行分类讨论，解方程求得的值； （2）根据函数的值域可得，是在上的两个不等的正根，再由一元二次方程根的分布解不等式可得结果. 【小问1详解】 ， （ⅰ）若，令， 若，方程可化为，解得或（舍去）； 若，方程可化为，解得或（舍去）， 综上，的零点为2和. （ⅱ）， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，解得或（舍去）； 当时，若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令，解得（舍去）； 若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 令， 解得或（均不合题意，舍去）， 综上，实数的值为或. 【小问2详解】 函数在上有定义， 又在上单调递增，，解得. 若存在区间， 使得在上的值域是， 即， 则，是一元二次方程， 即在上的两个不等的正根， 需满足，解得. 实数的取值范围为. 19. 我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． （1）求底面椭圆的离心率； （2）若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥外接球表面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，进而计算出半焦距长和半长轴长，即可求出椭圆的离心率； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积为2求出点的坐标，进而求得平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）分别设出的外接圆半径，的外接圆半径，三棱锥的外接球半径，利用线段长度关系可得到，再分别求出和的最小值，即可得到三棱锥外接球表面积的最小值． 【小问1详解】 如图，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又由可得，故， 因此半焦距长，半长轴长， 所以离心率． 【小问2详解】 由于椭圆长轴，短轴，直线两两垂直，故以点为原点，椭圆长轴，短轴所在直线，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则平面内椭圆的标准方程为，， 由平面得，所以， 设平面内直线（与不重合），，， 与椭圆方程联立，消去得，，， 故，， ， 令，则，得或（舍），所以， 即，代入椭圆方程解得，， 即坐标系内，， ，，，设平面法向量为， 则，令得， 记直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 【小问3详解】 设外接圆为圆，半径为，外接圆为圆，半径为， 则在平面内垂直平分线上即轴上，同理在轴上， 设三棱锥外接球球心为，半径为， 因为平面平面，所以平面，平面， 设，， 所以，，，． 所以． 对于，， 当且仅当时取等，即为锐角，最大为； 由正弦定理，， 对于，因为，所以 ， 当且仅当时取等，即为锐角，最大为， 由正弦定理，； 所以，当且仅当，时取等， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $