25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 专题提升练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，以核心考点分层设计，从直接应用到综合构造，梯度递进，培养抽象能力与推理意识，适配同步教学与阶段测评。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|直接利用韦达定理求值|结合直角三角形等简单情境，如已知两边为方程根求斜边| |方法整合层|根的定义与韦达定理结合（整体代换、对称式）|通过完全平方公式转化，如含参最值问题| |综合创新层|参数讨论、构造方程|结合绝对值去符号、逆向构造方程，如利用根与系数关系求参数最值|

第25章 一元二次方程 专题一 根与系数的关系(1)——化简求值 核心考点1 利用根与系数的关系直接求值 01. (2026 硚口期中) 已知m, n是方程. 的两个实数根, 若 m+n-2mn=c, 则 c= . 02. (2026江岸期中)△ABC中,∠C=90°, AC, BC的长是方程 的两根, 则 AB= . 03.已知m，n是关于x的方程： 的两个根，则4m2+8n+mn+99= . 核心考点2 结合完全平方公式和公式 利用根与系数的关系求值 04. 若 x₁, x₂是方程. 的两个根，试求下列各式的值： 核心考点3 根的定义结合根与系数关系①——整体代换与降次代换 05. 设a, b是方程 的两个实数根，则 06. m, n是方程 的两根，则( 07. (2026东西湖期中) 已知a, b是方程. 的两根，则 08. (2026江夏 月考) 已知m, n是方程 的两根，则 核心考点4 根的定义结合根与系数关系②——对称式 09.(2024武昌期中)已知a，b是一元二次方程 的两根，则 核心考点5 根的定义结合根与系数关系③——参数讨论 10.已知关于x的一元二次方程 有两根α，β.若 则 m= . 核心考点6 根的定义结合根与系数关系④——含参最值 11.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x₁，x₂，则 的最大值是 12.关于x的一元二次方程. 的两个实数根分别是m，n，则( 的最大值为 专题二 根与系数的关系(2)——讨论求参 核心考点1 先利用判别式求参数范围，再根据参数范围取舍参数的值 01.(2025七一中学月考)关于x的方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； (2) 若 x₁, x₂是方程的两根, 且 求a的值. 02.(2025 武汉二中月考)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2) 若 x₁,x₂ 是方程的两根, 且 求m的值. 核心考点2 先利用根与系数的关系求参数，再利用判别式取舍参数的值 (易错点) 03.关于x的方程 的两个实数根分别为x₁，x₂，且 则m的取值范围是 . 04.关于x的一元二次方程 的两个实数根为x₁，x₂，且有 则实数k的取值范围为 . 05.(2026洪山期中)关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为 . 06.已知方程 有一个正根，一个负根，那么m的取值范围是 . 07.已知方程 的两个实数根的平方和为 求k的值. 专题三根与系数的关系(3)——去绝对值 核心考点1 先利用判别式求参数范围，再利用该范围去掉绝对值 01.(2025 武汉三初月考)已知：关于x 的一元二次方程. 有两个实数根x₁,x₂. (1)求k 的取值范围； (2)若 求k 的值. 核心考点2利用根与系数的关系中的隐藏条件去掉绝对值，先移项再平方处理 02.(2025 武汉外校月考)关于x 的方程 有两个实数根x₁,x₂. (1)求实数k 的取值范围； (2)若x₁, x₂满足 求k 的值. 03.(2025 武珞路中学月考)已知关于x 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实根分别为x₁,x₂,且| 求m 的值及方程的根. 专题四 根与系数的关系(4)——构造方程 材料1：一元二次方程 的两根x₁ ，x₂有如下的关系(韦达定理)： 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造 例如，如果实数m，n满足 且m≠n，则可将m，n看作是方程 的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造 例如, 如果实数a, b满足a+b=99, ab=100, 则可以将a, b看作是方程. 的两实数根. 核心考点1 满足一元二次方程定义的等式，构造方程利用根与系数的关系求值 01. (1) 若实数a, b满足: 则(a+b= . , ab= ; (2)已知实数m，n满足 且m≠n, 求 的值； (3)已知实数s，t分别满足 且st≠1, 求 的值. 02. 若a, b, m, n为互不相等的实数, 且 (a+m)(a+n)=2, (b+m)(b+n)=2,则 ab-mn= . 核心考点2 已知根与系数的关系结构构造方程，利用判别式求参数最值 03.(1) 已 知 a, b, c 满 足 a+b+c=0, abc=16, 则正数c的最小值为 . (2) 已知实数a, b, c满足a+b=c-6, 且c<6，求c的最大值. 第25章 一元二次方程 专题一 根与系数的关系(1)——化简求值 答案版 核心考点1 利用根与系数的关系直接求值 01. (2026硚口期中) 已知m, n是方程. 的两个实数根, 若m+n-2mn=c, 则c= -1 . 02. (2026江岸期中) △ABC中, ∠C=90°, AC, BC的长是方程. 的两根，则 03.已知m，n是关于x的方程. 的两个根，则 核心考点2 结合完全平方公式和公式 利用根与系数的关系求值 04. 若x₁, x₂是方程 的两个根，试求下列各式的值： 解：依题意有： 核心考点3 根的定义结合根与系数关系①——整体代换与降次代换 05. 设a, b是方程 的两个实数根，则 06. m, n是方程 的两根，则( 07. (2026东西湖期中) 已知a, b是方程 的两根，则 08. (2026江夏月考) 已知m, n是方程 的两根，则 核心考点4 根的定义结合根与系数关系②——对称式 09.(2024武昌期中)已知a，b是一元二次方程. 的两根，则 核心考点5 根的定义结合根与系数关系③——参数讨论 10.已知关于x的一元二次方程. 有两根a，β.若 则m= 3 . 核心考点6 根的定义结合根与系数关系④——含参最值 11.关于x的一元二次方程. 的两个实数根分别是x₁，x₂，则 的最大值是 -8 . 12.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是m，n，则( 的最大值为 -8 . 解：∵方程有两个实数根， 解得t≥2.∵方程的两个实数根分别是 m，n， ∴m+n=-2, mn=-2t+5, 中, - 2<0, t≥2, ∴当 t=2时, 有最大值，最大值为： 专题二 根与系数的关系 (2)——讨论求参 核心考点1 先利用判别式求参数范围，再根据参数范围取舍参数的值 01.(2025七一中学月考)关于x的方程. (1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； (2) 若x₁, x₂是方程的两根, 且( 求a的值. 解: (1) ∵关于x的方程. 有两个不相等的实数根， 解得 ∴a的取值范围是 (2) ∵x₁, x₂是方程的两根, 又∵(x₁+1)(x₂+1)=5,即 解得 ∵△≥0, ∴a=-1. 02.(2025武汉二中月考)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2) 若x₁,x₂是方程的两根, 且 求m的值. 解：(1)根据题意， 解得 (2)由题意知 由 即 可得 解得: m=1 (舍去) 或m=-3, ∴m的值是-3. 核心考点2 先利用根与系数的关系求参数，再利用判别式取舍参数的值(易错点) 03.关于x的方程 的两个实数根分别为x₁，x₂，且 则m的取值范围是 m≤\frac{1}{2}且m≠0 . 04.关于x的一元二次方程. 的两个实数根为x₁，x₂，且有 则实数k的取值范围为 05.(2026洪山期中)关于x的一元二次方程. 有两个正实数根，则k的取值范围为0<k≤4. 06.已知方程. 有一个正根，一个负根，那么m的取值范围是 m<7 . 07.已知方程 的两个实数根的平方和为 求k的值. 解：设x₁，x₂为方程两根，则 即 ∴(k+11)(k-3)=0, 当k=-11时, Δ<0; 当k=3时, Δ>0, ∴k=3. 专题三 根与系数的关系(3)——去绝对值 核心考点1 先利用判别式求参数范围，再利用该范围去掉绝对值 01.(2025武汉三初月考)已知：关于x的一元二次方程 有两个实数根x₁，x₂. (1)求k的取值范围； (2)若 求k的值. 解:(1) ∵方程有实数根, 解得 (2)由根与系数关系知： 又 化简代入得 解得 (舍去) ∴k=-4. 核心考点2 利用根与系数的关系中的隐藏条件去掉绝对值，先移项再平方处理 02.(2025武汉外校月考)关于x的方程 有两个实数根x₁，x₂. (1)求实数k的取值范围； (2)若x₁, x₂满足 求k的值. 解: (1)根据题意得 解得 (2)根据题意得 即 得： 03.(2025武珞路中学月考)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实根分别为x₁，x₂，且 求m的值及方程的根. (1)证明: 即△>0，∴方程总有两个不相等的实数根. (2)解：∵方程的两实根分别为 当x₁≤0时,则 即 得m=3, 此时 当x₁≥0时,则 即 得m=-1, 此时 综上所述：m=3时，方程的根为 m=-1时，方程的根为 专题四 根与系数的关系(4)——构造方程 材料1：一元二次方程 的两根x₁，x₂有如下的关系(韦达定理)： 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造 例如，如果实数m，n满足 且m≠n，则可将m，n看作是方程 的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造 例如, 如果实数a, b满足a+b=99,ab=100,则可以将a, b看作是方程. 的两实数根. 核心考点1 满足一元二次方程定义的等式，构造方程利用根与系数的关系求值 01. (1) 若实数a, b满足: 则 a+b= -5 , ab= -7 ; (2)已知实数m，n满足 且m≠n, 求 的值； 解：可以将m，n看作是方程 的两个不相等的实数根，则 (3)已知实数s，t分别满足 且st≠1, 求 的值. 解： t≠0,∴两边同时除以t²,得 整理得 ∵st≠1, ∴可将s,\frac{1}{7}看作是方程 的两个不相等的实数根， 则 02. 若a, b, m, n为互不相等的实数, 且((a+m)(a+n)=2, (b+m)(b+n)=2, 则 ab-mn= -2 . 核心考点2 已知根与系数的关系结构构造方程，利用判别式求参数最值 03.(1) 已知a,b,c满足a+b+c=0, abc=16, 则正数c的最小值为 4 . (2) 已知实数a, b, c满足(a+b=c-6, 且c<6，求c的最大值. 解：∵a+b=c-6, ∴将a，b看作是方程 的两实数根. 而c<6, ∴(6-c)³≥64, ∴6-c≥4, 即c≤2, ∴c的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $