第07讲 二次函数存在性问题 复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数存在性问题，系统梳理必备工具公式（两点间距离平方、中点坐标公式），构建等腰三角形（两圆一线法）、直角三角形（两线一圆法）、平行四边形（中点重合原理）存在性问题的解题框架，形成从通用工具到分类讨论的学习支架。 资料以“核心知识+易错辨析+典例精讲”为特色，通过分类讨论（如等腰三角形分三类顶角顶点）、代数化几何问题（距离平方运算）培养学生推理能力与模型意识，易错点表格与分层例题助力教师授课，学生可课后通过变式练习查漏补缺，强化应用意识。

第07讲 二次函数存在性问题 （核心知识+5易错辨析+3典例精讲） 【知识点01】必备核心工具公式（解题通用） 设定通用点坐标：（为抛物线上动点，满足解析式） 1. 两点间距离公式（核心去根号技巧） 线段长度： 几何比较大小、证线段相等时，直接用距离平方计算，简化运算： 2. 中点坐标公式（平行四边形专用） 线段中点坐标： 【知识点02】等腰三角形存在性问题 1. 核心解题模型：两圆一线法 已知定点，找点使为等腰三角形，根据顶角顶点不同分三类，无遗漏： ① （为顶角顶点）：在线段的垂直平分线上（一线）； ② （为顶角顶点）：以为圆心、长为半径画圆（第一圆）； ③ （为顶角顶点）：以为圆心、长为半径画圆（第二圆）。 2. 标准解题步骤 ① 求出题目中所有定点的坐标； ② 设动点，若在抛物线上，代入抛物线解析式锁定坐标关系； ③ 分三种情况，利用距离平方相等列方程； ④ 解方程后检验：三点共线无法构成三角形，必须舍去； ⑤ 剔除超出动点取值范围的点，整理最终有效坐标。 3. 高频易错点 ① 严禁默认固定顶角顶点，必须完整讨论三种情况； ② 所有解必须验证共线问题，共线点为无效增根； ③ 动点受限（对称轴、坐标轴、抛物线区间）时，超范围点全部舍去。 【知识点03】直角三角形存在性问题 1. 核心解题模型：两线一圆法 已知定点，找点使为直角三角形，根据直角顶点不同分三类： ① （为直角顶点）：过点作的垂线； ② （为直角顶点）：过点作的垂线； ③ （为直角顶点）：以为直径作圆，圆周上点（除A、B）均满足条件。 2. 代数核心解法（初中专用，无斜率） 全程利用勾股定理+距离平方列方程，避免根号运算： ① 为直角： ② 为直角： ③ 为直角： 3. 标准解题步骤 ① 求解定点坐标，设出抛物线上动点坐标，绑定抛物线解析式； ② 分三种直角顶点情况，分别表示三边距离平方； ③ 代入勾股关系列方程求解； ④ 检验三点不共线、不重合，剔除无效解。 4. 高频易错点 ① 最易漏解：只讨论动点为直角顶点，忽略两个定点为直角顶点的情况； ② 全程优先用距离平方计算，简化高次方程运算； ③ 严格检验解的有效性，杜绝三点共线、两点重合的无效答案。 【知识点04】平行四边形存在性问题 核心本质：平行四边形对角线互相平分，即对角线中点坐标完全重合（初中唯一万能解法）。 高频考型：三定一动（三个定点、一个动点），压轴题必考。 1. 核心分类逻辑（三定一动） 已知定点，求动点，使四点为顶点构成平行四边形，无需固定四边形顺序，按对角线配对分三种情况： ① 、为对角线：中点中点 ②、为对角线：中点中点 ③ 、为对角线：中点中点 通过中点公式直接求解动点坐标，再验证是否符合题干条件。 2. 标准解题步骤 ① 整理所有定点坐标，明确动点位置限制（抛物线、坐标轴等）； ② 分三组对角线组合，利用中点公式列等式； ③ 依次求解三种情况下的动点坐标； ④ 验证动点是否在指定图像上，剔除不符合条件的解； ⑤ 汇总所有有效坐标。 3. 拓展题型：两定两动 两个定点、两个受限动点（常见：一点在x轴、一点在抛物线上），依旧沿用中点重合核心结论，设双动点坐标，联立方程组求解。 4. 高频易错点 ① 误区：固定四点四边形顺序，导致漏解；题干“以四点为顶点”无固定顺序，必须三组对角线全讨论； ② 绝大多数考生仅求出1-2组解，遗漏第三种情况； ③ 求出坐标后未验证动点范围，保留无效解。 常见易错问题 标准正确处理方式 等腰三角形分类不全 固定两定点，分三种顶角顶点完整讨论 直角三角形只讨论动点为直角顶点 三个点均可为直角顶点，全程三类分类 平行四边形固定四点顺序漏解 按三组对角线配对讨论，不局限四边形顺序 直接保留所有方程解 必须检验三点共线、动点范围，舍去无效解 带根号计算复杂易出错 统一用距离平方运算，全程不开根号 【题型一】等腰三角形存在性问题 【例1】．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型二】直角三角形存在性问题 【例2】．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； (3)若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型三】平行四边形存在性问题（三定一动） 【例3】．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5】．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】．（2024·山西大同·三模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【变式3】．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 1. 核心思维：分类讨论是二次函数存在性问题的解题灵魂。等腰三角形看顶角顶点、直角三角形看直角顶点、平行四边形看对角线组合，分类不重不漏是满分关键。 2. 万能解题流程：设抛物线上动点坐标→几何条件转化为代数方程→分类解方程→检验筛选有效解。 3. 题型最优解法 等腰三角形：几何模型（两圆一线）辅助定位，代数方程精准求解； 直角三角形：优先勾股定理，彻底规避斜率解题漏洞； 平行四边形（三定一动）：依托对角线中点公式，全覆盖3种情况。 4. 答题规范警示：大题解题必须明确写出“分情况讨论”，每种情况独立推导计算，严禁直接罗列结果；牢记“四点为顶点≠固定顺序图形”，杜绝惯性思维漏解。 解答题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 10．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 14．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数存在性问题 （核心知识+5易错辨析+3典例精讲） 【知识点01】必备核心工具公式（解题通用） 设定通用点坐标：（为抛物线上动点，满足解析式） 1. 两点间距离公式（核心去根号技巧） 线段长度： 几何比较大小、证线段相等时，直接用距离平方计算，简化运算： 2. 中点坐标公式（平行四边形专用） 线段中点坐标： 【知识点02】等腰三角形存在性问题 1. 核心解题模型：两圆一线法 已知定点，找点使为等腰三角形，根据顶角顶点不同分三类，无遗漏： ① （为顶角顶点）：在线段的垂直平分线上（一线）； ② （为顶角顶点）：以为圆心、长为半径画圆（第一圆）； ③ （为顶角顶点）：以为圆心、长为半径画圆（第二圆）。 2. 标准解题步骤 ① 求出题目中所有定点的坐标； ② 设动点，若在抛物线上，代入抛物线解析式锁定坐标关系； ③ 分三种情况，利用距离平方相等列方程； ④ 解方程后检验：三点共线无法构成三角形，必须舍去； ⑤ 剔除超出动点取值范围的点，整理最终有效坐标。 3. 高频易错点 ① 严禁默认固定顶角顶点，必须完整讨论三种情况； ② 所有解必须验证共线问题，共线点为无效增根； ③ 动点受限（对称轴、坐标轴、抛物线区间）时，超范围点全部舍去。 【知识点03】直角三角形存在性问题 1. 核心解题模型：两线一圆法 已知定点，找点使为直角三角形，根据直角顶点不同分三类： ① （为直角顶点）：过点作的垂线； ② （为直角顶点）：过点作的垂线； ③ （为直角顶点）：以为直径作圆，圆周上点（除A、B）均满足条件。 2. 代数核心解法（初中专用，无斜率） 全程利用勾股定理+距离平方列方程，避免根号运算： ① 为直角： ② 为直角： ③ 为直角： 3. 标准解题步骤 ① 求解定点坐标，设出抛物线上动点坐标，绑定抛物线解析式； ② 分三种直角顶点情况，分别表示三边距离平方； ③ 代入勾股关系列方程求解； ④ 检验三点不共线、不重合，剔除无效解。 4. 高频易错点 ① 最易漏解：只讨论动点为直角顶点，忽略两个定点为直角顶点的情况； ② 全程优先用距离平方计算，简化高次方程运算； ③ 严格检验解的有效性，杜绝三点共线、两点重合的无效答案。 【知识点04】平行四边形存在性问题 核心本质：平行四边形对角线互相平分，即对角线中点坐标完全重合（初中唯一万能解法）。 高频考型：三定一动（三个定点、一个动点），压轴题必考。 1. 核心分类逻辑（三定一动） 已知定点，求动点，使四点为顶点构成平行四边形，无需固定四边形顺序，按对角线配对分三种情况： ① 、为对角线：中点中点 ②、为对角线：中点中点 ③ 、为对角线：中点中点 通过中点公式直接求解动点坐标，再验证是否符合题干条件。 2. 标准解题步骤 ① 整理所有定点坐标，明确动点位置限制（抛物线、坐标轴等）； ② 分三组对角线组合，利用中点公式列等式； ③ 依次求解三种情况下的动点坐标； ④ 验证动点是否在指定图像上，剔除不符合条件的解； ⑤ 汇总所有有效坐标。 3. 拓展题型：两定两动 两个定点、两个受限动点（常见：一点在x轴、一点在抛物线上），依旧沿用中点重合核心结论，设双动点坐标，联立方程组求解。 4. 高频易错点 ① 误区：固定四点四边形顺序，导致漏解；题干“以四点为顶点”无固定顺序，必须三组对角线全讨论； ② 绝大多数考生仅求出1-2组解，遗漏第三种情况； ③ 求出坐标后未验证动点范围，保留无效解。 常见易错问题 标准正确处理方式 等腰三角形分类不全 固定两定点，分三种顶角顶点完整讨论 直角三角形只讨论动点为直角顶点 三个点均可为直角顶点，全程三类分类 平行四边形固定四点顺序漏解 按三组对角线配对讨论，不局限四边形顺序 直接保留所有方程解 必须检验三点共线、动点范围，舍去无效解 带根号计算复杂易出错 统一用距离平方运算，全程不开根号 【题型一】等腰三角形存在性问题 【例1】．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，顶点坐标，根据等腰三角形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据顶点坐标公式进行求解即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，假设，根据等边列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴顶点D的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 连接，作线段的垂直平分线交轴于点， ∴, 此时，为等腰三角形， 假设， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 根据勾股定理得,， 分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点， ∴点P的坐标只有． 【变式3】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、在网格中判断直角三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型二】直角三角形存在性问题 【例2】．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； (3)若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，是直角三角形． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）令得到，解方程即可； （2）由，得对称轴为直线，设，则，由点关于轴对称，则，故； （3）先求得和顶点，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：由，得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； （3）解：当时，，当时，， ∴，顶点， ∵， ∴，，， ①若，则有， ∴， 解得； ②若，则有， ∴，无解； ③若，则有， ∴， 解得； 综上，当或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，二次函数的对称性，勾股定理，正确化简计算是解题的关键． 【变式1】．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 【变式3】．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)四边形面积的最大值为，P的坐标是 (3)Q的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）设，用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，连接，设，根据四边形面积列出二次函数表达式，再根据二次函数性质求出最值及坐标即可； （3）设，有，分三种情况：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，分别列方程解得t的值，即可求出相应Q的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， 设，把代入得： ， 解得：， ∴， 则抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图： 设， 在中，令得， 令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积， ， ， ∴当时，四边形面积最大为， ∴当时，， ∴P的坐标是； （3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线的对称轴为直线，设， ∵， ∴， 当为斜边时，， ∴， 解得或， ∴此时Q坐标为或； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 当为斜边时，， ∴， 解得， ∴此时Q坐标为； 综上所述，Q的坐标为或或或． 【题型三】平行四边形存在性问题（三定一动） 【例3】．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为：，设点D的坐标为，则，解方程即可得到点D的坐标； （3）设，，则，分两种情况讨论：①当为边时，此时四边形和是平行四边形；②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：将、代入得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设点D的坐标为， 、， ， ∴，即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为：， 设，， ， 分两种情况讨论： ①当为边时，此时四边形和是平行四边形， ，，，， ∴，, 解得：，， 此时点Q的坐标为或． ②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形， ，， ∴，即， 此时点Q的坐标为； 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【例4】．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 【例5】．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【变式1】．（2024·山西大同·三模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 【变式2】．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①证明：将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线经过原点求出抛物线的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线，且抛物线能由抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论；②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）①略 ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 【变式3】．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数及一次函数表达式、二次函数综合题， （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把分别代入与，得到两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是，则，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到结论即可； （3）根据，则当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，再分情况：当P在第一象限或当P在第四象限或当P在第三象限，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 1. 核心思维：分类讨论是二次函数存在性问题的解题灵魂。等腰三角形看顶角顶点、直角三角形看直角顶点、平行四边形看对角线组合，分类不重不漏是满分关键。 2. 万能解题流程：设抛物线上动点坐标→几何条件转化为代数方程→分类解方程→检验筛选有效解。 3. 题型最优解法 等腰三角形：几何模型（两圆一线）辅助定位，代数方程精准求解； 直角三角形：优先勾股定理，彻底规避斜率解题漏洞； 平行四边形（三定一动）：依托对角线中点公式，全覆盖3种情况。 4. 答题规范警示：大题解题必须明确写出“分情况讨论”，每种情况独立推导计算，严禁直接罗列结果；牢记“四点为顶点≠固定顺序图形”，杜绝惯性思维漏解。 解答题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． (1)请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． (2)观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ (3)设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 根据上述 5 个点描点连线绘制图形如下： (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其顶点为：， 抛物线和轴的交点坐标为，， 当时，，当时，， （2）解：∵，则或 ， ∴当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：存在，理由： ， ， 由点的坐标得，， 当时， 则，则，则点； 当或时， 同理可得：或， 则或， 即点或或， 综上，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 3．（2026·湖南长沙·三模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“立信之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点中，是矩形“立信之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“立信之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，若是以点C为直角顶点的直角三角形，求c的值； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，或 【分析】（1）根据“立信之点”的定义解答即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，先求出和的值，再求出顶点的坐标，然后利用两点之间的距离公式、勾股定理建立方程求解即可； （3）先求出点的坐标，再根据建立方程求出点的坐标，然后根据对角线互相平分可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“立信之点”满足，， ∴点是矩形“立信之点”． （2）解：∵点是抛物线上的“立信之点”， ∴点是直线上的点， 设点的坐标为，点的坐标为， 联立得：， ∴是这个关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， 将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∴，，， ∵是以点为直角顶点的直角三角形， ∴，即， 整理得：， ∴，即， 解得或， 当时，二次函数为，顶点坐标为， 联立，解得或， 此时，点与点重合，不能构成，不符合题意，舍去， ∴的值为1． （3）解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 联立得：， 解得或， ∴，， 设点的坐标为， ∵以为顶点的菱形是以为对角线的， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得或， 当时，，则此时点的坐标为， 当时，，则此时点的坐标为， 设点的坐标为， 由菱形的性质得：对角线互相平分， ∴或， 解得或， ∴存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在的值为或，使得为直角三角形 【分析】本题考查二次函数解析式求解，坐标与几何图形，三角形面积转化，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）①代入点、的坐标求出抛物线解析式，再根据点纵坐标为的特点，求出的坐标；②求出直线的解析式，设出点的坐标并表示出的长度，利用面积相等列方程求解点． （2）确定、两点的坐标，用勾股定理表示三边的平方，分三种直角情况建立方程求解并检验的值． 【详解】（1）①解：抛物线经过点，， 把点，分别代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为， 点在边上，且四边形是矩形， 当时，，解得，， ． 答：，． ②如图，过点作轴交于点，连接，， 设直线的解析式为， 把点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 的面积等于的面积， ，即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． 答：． （2）解：由（1）知，则抛物线的解析式为， 当时，，，则点坐标为， 当时，，则点坐标为， ，， ， ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即， 解得或， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，点在的延长线上，不符合题意，舍去； ③当时，， 即， 解得或（舍去）， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 则， 综上所述，存在的值为或，使得为直角三角形． 答：存在的值为或，使得为直角三角形． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 【答案】(1)； (2) 解：过点C作于点轴于点， ， ， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转至， ， 即， 又 ∵， ， ， ∵二次函数的解析式为， 当时，， ， 设直线，把代入得 ， ∴直线 ， ． (3)4个 【分析】本题考查二次函数的解析式求解以及几何图形的旋转与全等证明，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式，通过作辅助线、证明三角形全等进行几何推导． （1）利用待定系数法，将、、三点坐标代入二次函数，解方程组求出、、的值，得到解析式． （2）先求出点坐标，再求出直线的解析式，确定点坐标，结合全等三角形的性质，得出，进而推导出． （3）根据题意画出符合条件的点H即可 【详解】（1）解：把代入， 得 ∴二次函数的解析式为； （2）略 （3）如图，有四个符合条件的H点，使得点A，D，H构成的是直角三角形； 过D作，交直线于点； 过A作，交直线于点； 以为直径画圆，交直线于； ∴存在4个符合条件的点H，使得点A，D，H构成的是直角三角形 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积最大． (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 7．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 9．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)或． 【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）首先根据平移规则确定四边形的坐标特征，可知其为横坐标在到之间、纵坐标在到之间的矩形．接着分析抛物线的图象性质，其开口向上，顶点为，与轴交于、，与直线交于．通过确定抛物线在时的横坐标范围，再分两类讨论矩形横坐标范围与该范围的交集情况，从而得出点横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，， ∴， 解得：， ∴； 当时，， ∴， 解得：（不合题意舍去） ∴； 综上所述，存在，点M的坐标为或； （3）解：设点 E 的横坐标为，根据平移规则： 点向上平移4个单位得； 点 F 向右平移2个单位得； 点 G 向下平移4个单位得 因此，四边形是横坐标范围为到、纵坐标范围为0到4的矩形． 先求抛物线在时的横坐标范围： 当时，解方程，得或； 当时，解方程，即，由求根公式得 因为抛物线开口向上，所以： 当时，第一种横坐标范围是； 第二种横坐标范围是 再分析矩形与抛物线的公共点条件： 矩形的横坐标范围是到，需与上述两种范围有重叠，分两类讨论： 情况一：与重叠需满足： （矩形左端点不超过-3）； （矩形右端点不小于），移项得， 因此，这种情况的取值范围是． 情况二：与重叠，需满足： （矩形左端点不超过）； （矩形右端点不小于1），移项得， 因此，这种情况的取值范围是． 综上，点E的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键． 10．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 11．（24-25九年级上·山西忻州·期中）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为，点的坐标为 (2)，点的坐标为或或或 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式可求出点的坐标； （）利用点坐标可求出的面积，设点的纵坐标为，进而根据两个三角形面积相等列出方程求出的值，再代入二次函数表达式求出点的横坐标即可求解； （）求出二次函数的对称轴为直线，设，分点为等腰的顶点和点为等腰的顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、两点间距离公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 当时，由，解得，， ∴或； 当时，由，解得，， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得， ∴或； 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得或， ∴或； 综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的面积的最大值为 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，过点作轴，交直线于点，利用铅锤法，得出点与点的坐标表达式，得出的长度表达式，即可推断出的面积的最大所对应的情况； （3）根据题意要求，得出当时，满足要求，故进行分类讨论，得出的表达式，再得出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 令点坐标为， 过点作轴，交直线于点，如下图所示： 可得点的坐标为， ∴， ∴， 即求的最大值， 得， ∵ ∴的最大值为． （3）解：∵，若以为顶点的四边形是平行四边形， 则满足即可， ∵抛物线的解析式为， ∴点， 当时，， ∴点， ∴， 令点坐标为，同理可得点坐标为， 当点在点下方时，即， 得， ∵， ∴， 化简得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； 当点在点上方时，即或， 得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 13．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 14．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $