广西南宁第二中学2025-2026学年高三下学期2月月考数学试卷

南宁二中2026年2月高三月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数（其中是虚数单位），则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．为了解高一学生选科意向，某校抽取了部分男、女学生做意向调查，根据调查结果统计得到如下两个等高堆积条形图： 在样本中 A．男生数量多于女生数量 B．历史方向意向的学生数量多于物理方向意向的学生数量 C．物理方向中男生数量多于女生数量 D．男生中物理方向意向的学生数量多于历史方向意向的学生数量 4．已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为 A．117 B．120 C．121 D．122 6．已知，则 A． B． C． D． 7．120的不同正因数的个数共有 A．24个 B．16个 C．12个 D．5个 8．已知函数，，，则实数的值为 A．1 B． C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是 A． B．存在，满足，，，四点共面 C．直线与平面所成角为定值 D．当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 10．已知曲线上的动点到点的距离比它到直线：的距离小2，则 A．曲线的方程为 B．若以为直径的圆过点，则 C．若点到直线：，：的距离分别为，，则的最小值为 D．已知，是曲线上的两点，若，则线段的中点到轴的距离为 11．已知奇函数及其导函数的定义域均为，且．当时．则 A． B．为偶函数 C． D．存在实数，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列各项均为正数，，则 ▲ ． 13．已知，向量在向量上的投影向量为，则 ▲ ． 14．已知锐角的三个角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，的图象过点，． （1）求的解析式； （2）若，求的单调区间． 16．（15分） 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点（），点的坐标为，且． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）如果过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程． 17．（15分） 口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为． （1）分别求摸到白球的次数，的分布列； （2）信息熵可以量化一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大表明该随机系统“不确定性”越高．已知，其中随机变量，，，…，，请比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高．（参考数值：）． 18．（17分） 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19．（17分） 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $南宁二中2026年2月高三月考（数学）答案 1 2 3 4 5 6 0 10 11 A D D C C B B A ABD BC ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 1 <a<2 12.-213.314.2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 下0 Asin4× =0 15.解：(1)由题，将 6 代入函数解析式得 6 …1分 2π 所以3 E=kk …2分 又p∈(0，)，所以”3， 3分 D=n 3 Asin- 再将点(0,3)以及3代入得3 …4分 解得4=25所)25sm4+写 …6分 8=1+引-f小}-25m4r+}-2m4引 1分 -25sm4+}-25sm4x-石 …8分 =3v3 cos4x-3sin 4x 9分 -6sin 4x …10分 5π，kπ11π，kπ x∈ L242’24 2 k∈Z…11分 π+5πk ,用4++ k∈Z…12分 5π，kπ11π，kπ 故8()的单调增区间为： 242’24T2」， 十 k∈Z km5π，km 单调减区间为： 242’242」.k∈Z …13分 (全程没有k∈Z,扣1分) 16.解：(1)由OF=2FM, c210 2c 解得C=2…1分 由2b=2V2,所以b=V2 2分 则a=Vb2+c2=V6 3分 x2,y2 =1 所以，所求椭圆方程为：62 …4分 ==2-6 e=-= 离心率 a 6 3 …5分 (2)由(1)知M(3,0), …6分 设P:x=my+3 …7分 设P(,乃)，(x,)】 则由OP1O0,可得OP.0见=0，即2+y2=0 …8分 父+= 62 联立x=my+3,得(m2+3)y2+6my+3=0 +=- 61m m2+3.h= 3 则 m2+3 。。。。。。。。。。 …9分 4>0→m2>3 2……l0分 故x+=(m+3(m+3)+%=(m2+1)yy+3m(0+)+9=0 …11分 代入韦达定理可得： 3 (m2+1) +3m 6m） +9=0 m2+3 m2+3 m2=5>3 ,解 …12分 【说明：只要有m2=5,即给此分】 所以m=±v5. …13分 PO的方程为：x=士V5y+3. …15分 【说明：m值或直线方程只有其中一种情况，总体上只扣1分】 17.(1)对于游戏一，X的可能取值为0,1,2…1分(X的取值正确得1 分，如果不单独写X的取值，后面分布列体现有X取值，也可以给这1分.) mx--e-x--c⑨.x-a-c- X的分布列为 X 0 1 2 P(X) 1-4 2 …4分（一个取值正确】 分) 对于游戏二，Y的可能取值为0,1,2 PY=0)=-CC=！ 6 Y的分布列为 X 0 1 2 P(Y) 1 6 3 6 …8分 HX=-∑P(X=0IOg2P(X=) (2)由(1)知 i-0 ,1分（代入1分，结 果2分) 同理 n-多pv=s,w--ge6号rg -[6(-g,3-0+号0-e,3g(-e,3--log,3-号159-n39=126 …14分 所以H(X)>H(Y),故游戏一的“不确定性”更高。 …15分（结论分） 18.解：(1)证明：连接AC,BD相交于点O,连接OM, ……分 四边形ABCD为菱形，所以O为BD中点， 又M为PD中点，所以PBIIOM, …2分 又OMC平面MAC,PB丈平面MAC, …3分 所以PB∥平面MAC」 …4分 (2)证明：因为'aM-n=2yw-AcD,有'a-Mp=2cwD,即'e-r=2,-4wD 得S△Ap=2 SAAND, …5分 M-1AP+2AD 有M是PD靠近D的三等分点，则 3 3 又AD⊥AP,AP=2,AD=1,所以 3 6分 PD-15.DM-iPD- 3 3， 则AM2+DM2=AD2,即AM⊥DM,AM⊥PD,…7分 又AM⊥CD,PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD,(没写PD∩CD=D,倒扣1分) 所以AM⊥平面PCD,... …8分 又AMC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD:. …9分 (3)解法一：二面角M-CD-A的余弦值等于二面角P-CD-A的余弦值…10分 注：指出即给1分 由AD上AE,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示.…11分 P(E) 注：不一定在此建系，建系正确即给1分 A(0,0,0) D1,0,0).P(0,y,z). …12分 注：写出除原点外的坐标即给1分 因为平面ACD的一个法向量为历=(0,0,1) …13分 设平面PCD的一个法向量为元=(：，片，☑) DP=(-1,y,z) .DC=0 x1 2 2÷0 由i:DP=0得-x+yy+z2=0 3-V3y 令=3，则片=V5= 2 …14分 注：一个法向量1分 3-V3y c0s(m,)= m.n m 12+ 3-V3y z 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …15分 1=3-3y z,由y+z=2,令y=2sin0,z=V2cos0 1=3-3.2sino 则有 2cos0 ,得V6sin0+V2tcos0=3 3 sin(+)=- =≤1 有 22+6，得 2,… …16分 注：计算过程有效且正确给1分 3-V3y m.n cos(m,n)= m列 3-V3y 即 2+ 即二面角M-CD-A的余弦值的最小值3.…17分注：结果1分 解法二：延长CD交AE于F,作PH⊥AE交AE于H, 过H作HO⊥DF交DF于D,连接PO, …10分 设∠PAH=0,8∈(0，)， 又AD⊥AE,AD⊥PA,AE∩PA=A,AE,PAC平面PAE, 所以AD⊥平面PAE, …11分 又PHC平面PAE,AD⊥PH, 又PH⊥AE,AD∩AE=A,AD,AEC平面ADE, 所以PH⊥平面ADE,即PH⊥平面ADF,…12分 又DFC平面ADF,所以PH⊥DF, 又H0⊥DF,PH∩H0=2,PH,H0c平面POH, 所以DF⊥平面PH, …13分 .DF⊥PQ,DF⊥H0, 所以∠PQH是二面角P-CD-A的平面角， …14分 在Rt△ADF中，AD=l,∠ADF= ,所以AF=V5】 ∠PAH=0,AE=PA=√2， :PH=2sin0.FH=3-2cos0 sim∠AFD-P=,2→H0=5_ DF 2 FH 2 -cos0 tan∠PgH=PH。 2sin0 2v2sin0 ΓH0√3√2 cose 3-2cos0 =t>0 22 ,…15分 t 则V31=2W2sin6+V21cos0=V8+2r产sin(0+p),其中 tan= 2 ~0∈(0，π).∴V3t=v8+2rsin(0+p)≤V8+22 解得0<1≤2V2, …16分 所tmP0He2v1.s∠PoHe 即二面角P-CD-A的余弦值的最小值3. …17分 19.解：(1)hx)=e-ax-l,h(x)=e-a …1分 ①若a≤0，则x∈R,h(x)>0, 所以h(x)的单调递增区间为一0，+0)，无递减区间.…2分（不写无减区间不扣分） ②若a>0,令h()=0,解得x=lna, …3分 当x<na时，h()<0,所以h()的单调递减区间为（一0，na.…4分 当x>lna时，h()>0,所以h(x)的单调递增区间为na,+o∞) …5分 【备注1】单调区间都不对的情况下，体现分类讨论思想(a>0或a≤0)给1分 (2)若a=1,则f()=x+1,设F(x)=e-f(x)=e-x-1 则F'(x)=-L,令F()=0,解得x=0, …6分 当x<0时，F'()<0,F(x)单调递减：当x>0时，F'(w)>0,F()单调递增， 所以F(x)m=F0)=0,所以F)≥0，即e≥fx, …7分 由e≥fx)=x+l,得x≥n(x+), …8分 因此x+1≥h(x+2),即f(x)≥g().. …9分 综上，e≥f(0为2g（0.…10分 【备注2】e≥f)的证明2分：f()≥8(0的证明2分，结论1分 (3)解法一： 由(2)知e≥x+1,当x=0时取“=”；x+1≥n(x+2),当x=-1时取“=”： 所以e>lh(x+2)e>lnx+2)因此n1+)<e,x>-1时恒成立.…12分 【备注3】没有任何理由，直接得血1+)<e,给1分：有适当说理就可以给2分 n( …13分 因此 ヅ- …14分 2-(n <e°+e1+e2+…e 15分 e(1-e") 1-e …16分 =-e)k 2-*y …17分 台aW有+月 …11分 先证：当n≥2时， 当n=2时，左边 g但得”t 当n≥3时， 日 恒成立 等n.日- …13分 2 <r9+ …14分 <+*② 15分 .…16分 e-e小。 h2+-e后 …17分