奥数培优讲义第5讲 找规律——数列（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

——小学三年级奥数培优讲义★★★★★—— 第5讲 找规律——数列 适用年级 三年级 建议课时 1课时（60分钟） 专题模块 数列找规律 难度星级 ★★★★☆ 🎯 学习目标 维度 具体目标 知识与技能 认识数列、项、序号的基本概念；掌握等差、等比、差变（二级）、奇偶分裂、和/积递推五大类数列规律；能通过观察相邻数、间隔数、差的变化找到规律并填数。 过程与方法 经历"观察数列→算差/算商→猜想规律→用后续数字验证→填数→回代检验"的完整解题流程；掌握"做差"这一核心试探手段。 思维品质 培养敏锐的观察力和猜想—验证的推理习惯；面对看不出规律的数列学会多角度尝试（差、倍数、隔项、分组）；养成填完后回代验证的严谨习惯。 情感与应用 感受数字排列的秩序之美，体会数学猜想与验证的思想，提升数感和学习数学的兴趣。 📖 【前言】 图0-1 数字里藏着什么秘密？ 同学们，生活中很多事物都会按照固定的顺序重复出现——春夏秋冬四季轮回，红绿灯红黄绿交替闪烁，星期一到星期日周而复始。数学里也有这样的现象！ 把一堆数字按照一定的顺序排成一列，就叫做"数列"。有的数列每次加同一个数；有的每次乘同一个数；还有的要隔一个数才能看出规律。找数列规律就像破译数字密码：先仔细观察，大胆猜想规律，再把规律代入数列验证——如果全部符合，你就找到了正确的密码！ 🌟 本讲我们将一起学习五大类常见数列规律，掌握"观察—算差—猜想—验证—填数"的标准解题流程，成为数字密码破译小达人！ 一、知识导航 1.1 基础概念 ▸ 数列：按一定次序排列的一列数，叫做数列。例如：2, 5, 8, 11, 14, … ▸ 项：数列中的每一个数都叫做一项。从左往右数，第1个数叫"第1项"，第2个数叫"第2项"……第 n 个数就叫"第 n 项"。 ▸ 序号：一个数在数列中排第几个，这个"第几"就是它的序号。序号和项是一一对应的。 ▸ 有限数列 & 无限数列：数字个数有限的叫有限数列（如 1, 3, 5, 7, 9）；一直写不完、末尾带省略号的叫无限数列（如 2, 4, 6, 8, …）。 1.2 五大常见数列类型 类型 识别方法 典型例子 ① 等差数列 后项 − 前项 = 固定不变的差 4, 9, 14, 19, 24, …（每次 +5） ② 等比数列 后项 ÷ 前项 = 固定不变的倍数 2, 6, 18, 54, 162, …（每次 ×3） ③ 差变（二级）数列 相邻两项的"差"本身又组成一个有规律的新数列 2, 5, 10, 17, 26, …（差为 3,5,7,9） ④ 奇偶分裂数列 隔一个看一个：奇数位置和偶数位置分别组成两套独立小数列 1, 5, 3, 10, 5, 15, …（奇项+2，偶项+5） ⑤ 和/积递推数列 从第3项起，每一项等于前面两项的和（或积） 1, 2, 3, 5, 8, 13, …（前两项之和） 图1-1 等差数列与等比数列对比示意 🔑 【核心试探技巧】 拿到陌生数列，优先算相邻两个数的"差"；算差看不出，再试算"倍数"；还不行，就尝试"奇偶分裂"或者"分组"观察。 1.3 易错辨析 ❌ 错误：只看前2个数就下结论，不拿后面数字验证。 ✅ 正确：猜想完规律，一定要用后面 2~3 个数字验证，全部符合才成立。 ❌ 错误：混合数列（奇偶分裂）一直盯着相邻数字看，不会隔项观察。 ✅ 正确：相邻看不出规律时，立刻尝试把奇数项、偶数项拆成两个独立小数列。 ❌ 错误：差变数列只看原数列，不去算"相邻的差"组成的新数列。 ✅ 正确：二级数列，要把差单独拎出来写一行，对差再找规律。 ❌ 错误：填完数字不代回原数列检验。 ✅ 正确：填完括号，把数字放回数列整体读一遍，检查是否符合规律。 二、典例精讲 📝 【例1】基础数列大练兵（等差 · 等比 · 平方） 题目：找出下列数列的规律，在括号里填上合适的数。 (1) 4, 9, 14, 19, ( ), 29 (2) 1, 3, 9, 27, ( ), 243 (3) 1, 4, 9, 16, 25, ( ), 49 (4) 2, 6, 12, 20, 30, ( ) ▶ 分析 优先计算相邻两项的差或者倍数；(3) 和项的序号有关（平方数）；(4) 差本身在递增。 ▶ 详解 (1) 等差数列：后项 = 前项 + 5。19 + 5 = 24，验证 24 + 5 = 29 ✓。括号填 24。 (2) 等比数列：后项 = 前项 × 3。27 × 3 = 81，验证 81 × 3 = 243 ✓。括号填 81。 (3) 平方数列：第 n 项 = n × n。第 1 项 1²=1，第 2 项 2²=4，……第 6 项 = 6² = 36，验证 7²=49 ✓。括号填 36。 (4) 差变数列：做差得 4, 6, 8, 10，差每次 +2，下一个差为 12。30 + 12 = 42。括号填 42。（也可看作第 n 项 = n×(n+1)，第 6 项 6×7=42） 💡 简单数列先算差，再算倍数；部分数列和它所在的"序号"有关（平方、n(n+1) 等）。 📝 【例2】差变（二级）数列——差里藏着新秘密 题目：找规律填数。 (1) 3, 6, 12, 21, 33, ( ) (2) 1, 4, 10, 19, 31, ( ) (3) 5, 7, 11, 17, 25, ( ) 图2-1 差变数列：把"差"写出来单独找规律 ▶ 分析 相邻相减，把差写在下面，差自己组成一个新数列，再找差的规律。 ▶ 详解 (1) 做差：6−3=3，12−6=6，21−12=9，33−21=12。差数列：3, 6, 9, 12，每次 +3，下一个差为 15。33 + 15 = 48。括号填 48。 (2) 做差：4−1=3，10−4=6，19−10=9，31−19=12。差数列：3, 6, 9, 12，下一个差 15。31 + 15 = 46。括号填 46。 (3) 做差：7−5=2，11−7=4，17−11=6，25−17=8。差数列：2, 4, 6, 8，每次 +2，下一个差 10。25 + 10 = 35。括号填 35。 💡 看不出等差、等比，立刻做差！做差！做差！很多难题的突破口就在"差的数列"里。 📝 【例3】奇偶分裂数列——隔项看两套 题目：找规律填数。 (1) 2, 7, 4, 14, 6, 21, 8, ( ), ( ) (2) 3, 1, 6, 2, 12, 4, 24, ( ), ( ) 图3-1 奇偶分裂：奇数项和偶数项各成一套 ▶ 分析 把数列拆成两套子数列：① 奇数位置（第1、3、5、…项）；② 偶数位置（第2、4、6、…项）。两套独立数列分别找规律。 ▶ 详解 (1) 奇数项（第1、3、5、7项）：2, 4, 6, 8，每次 +2，下一项 = 8 + 2 = 10。 偶数项（第2、4、6项）：7, 14, 21，每次 +7，下一项 = 21 + 7 = 28。 答案依次填：28, 10。 (2) 奇数项：3, 6, 12, 24，每次 ×2，下一项 = 24 × 2 = 48。 偶数项：1, 2, 4，每次 ×2，下一项 = 4 × 2 = 8。 答案依次填：8, 48。 💡 相邻数字忽大忽小、波浪式起伏，大概率是奇偶分裂——把奇数位、偶数位拆开成两套数列单独观察。 📝 【例4】和/积递推数列——前两项说了算 题目：找规律填数。 (1) 2, 5, 7, 12, 19, 31, ( ) (2) 1, 2, 2, 4, 8, 32, ( ) (3) 3, 4, 7, 11, 18, 29, ( ) ▶ 分析 从第3项开始，看每一项和前面两项的关系：(1)(3) 是前两项之和；(2) 是前两项之积。 ▶ 详解 (1) 和递推：从第3项起，后项 = 前两项之和。2+5=7, 5+7=12, 7+12=19, 12+19=31。下一项 = 19 + 31 = 50。括号填 50。 (2) 积递推：从第3项起，后项 = 前两项之积。1×2=2, 2×2=4, 2×4=8, 4×8=32。下一项 = 8 × 32 = 256。括号填 256。 (3) 和递推：3+4=7, 4+7=11, 7+11=18, 11+18=29。下一项 = 18 + 29 = 47。括号填 47。 💡 看到数字增长突然加快，试试"前两项相乘"；增长平稳但差不固定，试试"前两项相加"。 📝 【例5】分组数列与数表规律——打包看 (1) 找规律填数： 1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, ( ), ( ), ( ), ( ) (2) 观察下面的数表，第 10 行第 5 个数是几？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ▶ 分析 (1) 按个数分组：第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数……每组内部从组号开始、按组号递增。(2) 第n行有n个数，先算前9行共多少个数，再推第10行。 ▶ 详解 (1) 分组观察： 第1组(1个数)：1 第2组(2个数)：2, 4 第3组(3个数)：3, 6, 9 第4组(4个数)：4, 8, 12, 16 规律：第 n 组有 n 个数，从 n 开始，每次 +n。 第5组：5, 10, 15, 20, 25。括号依次填：10, 15, 20, 25。 (2) 第 n 行恰好有 n 个数。前 9 行共有：1+2+3+…+9 = 45 个数。 所以第 10 行从第 46 个数开始：46, 47, 48, 49, 50, … 第 10 行第 5 个数 = 50。 💡 数字排列有"块感"时，尝试按个数分组；数表问题先算前面行共有多少个数，再定位目标位置。 三、方法总结 图4-1 找规律解题标准流程 题型 突破口 核心技巧 等差数列 算相邻差 后项 − 前项 = 固定常数 等比数列 算相邻倍数 后项 ÷ 前项 = 固定倍数 差变（二级）数列 求差数列 把相邻两项的差写出来，对差再找规律 奇偶分裂数列 隔项拆分 奇数项、偶数项拆成两个独立小数列 和/积递推数列 看第3项 从第3项起 = 前两项相加 / 相乘 分组数列 打包观察 每2个/3个/按个数一组，看组内和组间变化 📢 【小口诀】 找规律，不用慌，先算差来再算商； 忽大忽小看分组，奇偶拆开细端详； 猜想规律要验证，填完回代再检查！ 四、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关（等差 · 等比 · 简单差变） 【题目1】 5, 11, 17, 23, ( ), 35 【题目2】 2, 8, 32, 128, ( ) 【题目3】 1, 9, 25, 49, ( ) 【题目4】 3, 5, 9, 15, 23, ( ) 【题目5】 1, 1, 2, 3, 5, 8, ( ) 【题目6】 12, 10, 8, 6, ( ), 2 🟧 B 组｜能力提升（差变 · 奇偶分裂 · 递推） 【题目7】 2, 5, 11, 20, 32, ( ) 【题目8】 1, 3, 4, 7, 11, 18, ( ) 【题目9】 3, 6, 5, 10, 9, 18, 17, ( ), ( ) 【题目10】 1, 4, 9, 16, 25, 36, ( ) 【题目11】 2, 3, 6, 18, 108, ( ) 【题目12】 1, 2, 6, 24, 120, ( ) 🟥 C 组｜挑战冲刺（综合 · 分组 · 思考题） 【题目13】 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ( ) 【题目14】 1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, ( ), ( ) 【题目15】 观察数组：(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), …… 第 10 组两个数的和是多少？ 【题目16】 【思考题】一个数列从第 3 个数开始，每个数都等于前两个数的和。已知第 1 个数是 3，第 5 个数是 21，求第 2 个数是多少？ 五、参考答案与详细解析 🟦 A 组答案与解析 【题目1】 29 解析：等差数列，每次 +6。23 + 6 = 29，验证 29 + 6 = 35 ✓。 【题目2】 512 解析：等比数列，每次 ×4。128 × 4 = 512。 【题目3】 81 解析：奇数的平方：1², 3², 5², 7², 9² = 81。 【题目4】 33 解析：做差：2, 4, 6, 8，差每次 +2，下一个差 10。23 + 10 = 33。 【题目5】 13 解析：斐波那契数列（和递推），从第3项起 = 前两项之和。5 + 8 = 13。 【题目6】 4 解析：递减等差数列，每次 −2。6 − 2 = 4，验证 4 − 2 = 2 ✓。 🟧 B 组答案与解析 【题目7】 47 解析：做差：3, 6, 9, 12，差每次 +3，下一个差 15。32 + 15 = 47。 【题目8】 29 解析：和递推，从第3项起 = 前两项之和。11 + 18 = 29。 【题目9】 34, 33 解析：奇偶分裂。奇数项：3, 5, 9, 17，差为 2, 4, 8（×2递增），下一个差 16，17+16=33。偶数项：6, 10, 18，差为 4, 8，下一个差 16，18+16=34。依次填 34, 33。 【题目10】 49 解析：平方数列，第 n 项 = n²。第 7 项 = 7² = 49。 【题目11】 1944 解析：积递推，从第3项起 = 前两项之积。18 × 108 = 1944。 【题目12】 720 解析：阶乘数列：1, 1×2=2, 2×3=6, 6×4=24, 24×5=120, 120×6=720。（即第 n 项 = n!） 🟥 C 组答案与解析 【题目13】 34 解析：斐波那契数列，13 + 21 = 34。 【题目14】 9, 20 解析：奇偶分裂。奇数项：1, 3, 5, 7，每次 +2，下一项 = 9。偶数项：4, 8, 12, 16，每次 +4，下一项 = 20。依次填 9, 20。 【题目15】 40 解析：第 n 组为 (n, 3n)。第 10 组 = (10, 30)，两数之和 = 10 + 30 = 40。 【题目16】 5 解析：设第 2 个数为 x。则：第3个 = 3+x，第4个 = x+(3+x) = 3+2x，第5个 = (3+x)+(3+2x) = 6+3x。由 6+3x = 21，得 x = 5。验证：3, 5, 8, 13, 21 ✓。 六、本讲小结 ✦ 核心概念：数列、项、序号（第 n 项）。 ✦ 五大数列：①等差数列；②等比数列；③差变（二级）数列；④奇偶分裂数列；⑤和/积递推数列。 ✦ 解题流程：观察 → 算差/算倍数 → 猜想规律 → 用后面数字验证 → 填数 → 回代检验。 ✦ 核心技巧：拿到陌生数列先做差；相邻看不出就隔项（奇偶拆分）或分组；递推数列看第3项与前两项的关系。 ⚠ 易错警示 ❌ 只看前两项就确定规律——一定要拿后面 2~3 个数字验证猜想！ ❌ 遇到忽大忽小的波浪数列，死磕相邻两项——想不到奇偶隔项拆分。 ❌ 二级数列忘记单独写出"差"，找不到差里面隐藏的规律。 ❌ 填完括号不回代检验——一定要把数字放回原数列通读一遍。 🧠 学习建议 ✓ 做题第一步：拿草稿纸，把相邻两项的差写在数字下方——差是找规律最重要的武器。 ✓ 猜想出来的规律，必须拿后面数字验证，不能看到局部就下定论。 ✓ 相邻看不出，立刻切换思路：试一试隔项拆分，或者 2~3 个一组打包观察。 ✓ 填完括号，把数字放回原数列通读一遍，检验整体是否通顺。 ✓ 准备一本"规律本"，把遇到的新数列类型记下来，积累越多，解题越快。 ✨ 大胆猜想，小心验证，破译数字隐藏的密码！ ✨ 祝贺你完成了本讲的学习，为努力学习的你点赞👍！ 学科网（北京）股份有限公司 $