专题 2.7 有理数的运算全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数运算核心知识点，系统梳理加减、乘除、乘方运算法则，明确混合运算顺序，涵盖科学记数法与近似数，剖析高频易错点，构建从基础运算到综合应用的完整学习支架。 资料特色为分层次题型精析，夯实基础部分针对单纯运算与基础混合运算，综合提升部分包含高阶运算、简便运算及规律探究，同步检测多样化题型。通过实际应用题培养应用意识，规律探究题发展推理意识，助力教师课堂教学，方便学生课后查漏补缺。

专题 2.7 有理数的运算全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、复习总览 1 二、核心知识梳理（纯运算） 2 【知识点一】有理数加减运算 2 【知识点二】有理数乘除运算 2 【知识点三】有理数乘方运算 2 【知识点四】有理数混合运算顺序（核心必考） 3 【知识点五】科学记数法与近似数 3 【知识点六】本章运算高频易错点 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】有理数单纯加减运算 3 【题型2】有理数乘除基础运算 5 【题型3】有理数乘方易错运算 7 【题型4】含括号的基础混合运算 9 【题型5】科学记数法改写与还原 11 【题型6】四舍五入取近似数 13 四.题型精析（综合提升） 14 【题型7】高阶有理数混合运算（重难点） 14 【题型8】乘法分配律简便运算 18 【题型9】有理数运算规律探究 20 【题型10】有理数运算实际应用题 24 五.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 19．（本小题满分8分） 35 20．（本小题满分8分） 35 21．（本小题满分10分） 36 22．（本小题满分10分） 37 23．（本小题满分10分） 38 24．（本小题满分12分） 39 一、复习总览 本专题聚焦有理数纯运算核心考点，包含有理数加减、乘除、乘方运算、混合运算、科学记数法与近似数，是初中数学计算的基础核心。复习重点为：熟练运算法则、规范运算步骤、规避符号错误、掌握综合运算及实际应用。 二、核心知识梳理（纯运算） 【知识点一】有理数加减运算 1. 加法法则 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 异号两数相加：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； 互为相反数的两个数相加得0；一个数加0，仍得原数。 2. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数： 3. 运算技巧：凑整法、同号结合法、相反数结合法，简化加减混合运算。 【知识点二】有理数乘除运算 1. 乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 多个非0有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负（偶正奇负）。 2. 除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0的数，都得0；0不能作除数。 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数： 【知识点三】有理数乘方运算 1. 乘方定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，其中a是底数，n是指数，运算结果叫做幂。 2. 乘方符号规律 正数的任何正整数次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0。 3. 必考易错辨析 ：负号参与乘方运算；：负号不参与乘方，是的相反数。 示例：， 【知识点四】有理数混合运算顺序（核心必考） 1. 优先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（乘除、加减），从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算括号内，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 【知识点五】科学记数法与近似数 1. 科学记数法 把绝对值大于10的数表示为（，n为正整数），n的值为原数整数位数减1。可实现大数改写、科学记数法还原原数两类运算。 2. 近似数与精确度 依据四舍五入法取近似数，四舍五入到哪一位，就精确到哪一位；近似数末尾的0不可随意省略，否则会改变精确度。 【知识点六】本章运算高频易错点 1. 混淆与的运算结果，符号判断错误； 2. 混合运算顺序混乱，优先计算加减、跳过乘方； 3. 多个负因数乘除运算，负号个数数错，导致符号出错； 4. 科学记数法中a的取值不符合； 5. 取近似数时，随意省略末尾有效0，导致精确度错误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】有理数单纯加减运算 【例题1】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据有理数的加减法可以解答本题． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴的概念，有理数的加减法，明确移动方向与运算的关系是解题关键． 根据数轴上点的移动规律，向右移动为正方向，增加数值；向左移动为负方向，减少数值，结合题意计算即可． 解：起点为，先向右移动个单位长度，得；再向左移动个单位长度，得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2；（2）4；（3）3.5；（4） 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）根据有理数的加减简便运算可进行求解； （4）根据有理数的加减运算可进行求解． （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型2】有理数乘除基础运算 【例题2】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）②③；（2）36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． （1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·山西长治·期末）（ ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 解： ． 故选：D． 【变式2】（上海市浦东新区几校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）计算： ________，________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合原则是解题的关键． 根据有理数减法法则，将减法转化为加法后按顺序计算即可求解；根据有理数乘除法则，先确定积的符号，再计算数值即可． 解：， ， ； ， ， ； 故答案为：；． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3】有理数乘方易错运算 【例题3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： （2）解： 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 【答案】D 解：A．，不满足相反数定义，A错误． B．，两数相等，不满足相反数定义，B错误． C．，两数相等，不满足相反数定义，C错误． D．，，满足，符合相反数定义，D正确． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【答案】1 解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）6；（2）；（3） （1）解： （2）解： （3）解： 点拨：重点区分有无括号，是本章计算第一易错点 【题型4】含括号的基础混合运算 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． （1）解： （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为23． 故选：A． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 【题型5】科学记数法改写与还原 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）2900亿； （2）千万． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法的表现形式是解题的关键． （1）（2）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可得到答案． （1）解：2900亿； （2）解：千万． 【变式1】（2024·浙江温州·二模）我们祖国的领土面积约为．把这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，本题中将原数的小数点向左移动至第一个非零数字后，小数点移动的位数即为的指数． 解：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． （1）___________． （2）___________． （3）___________ （4）___________． 【答案】（1）3618；（2）-21000；（3）；（4）-800000 【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法. 科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题. 解：（1） （2） （3） （4） 故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000． 【题型6】四舍五入取近似数 【例题6】（25-26七年级上·四川乐山·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： ①1.596（精确到0.01）    ②0.03057（精确到千分位）    ③2345000（精确到万位） 【答案】①1.60；②0.031；③ 【分析】本题主要考查了近似数的四舍五入取法，熟练掌握四舍五入的规则及不同精确度的取法是解题的关键． ①将1.596精确到0.01，需看千分位数字，按四舍五入取近似值； ②将0.03057精确到千分位，需看万分位数字，按四舍五入取近似值； ③将2345000精确到万位，先确定万位数字，看千位数字，按四舍五入后用科学记数法表示． 解：①； ②； ③． 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点拨】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” （1）你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； （2）图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】（1）小王加工的轴不合格， 理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； （2）轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 解：（1） 略 （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 四.题型精析（综合提升） 【题型7】高阶有理数混合运算（重难点） 【例题7】（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为，，，，那么可以通过“”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示，白色小正方形表示，该生所在班级的序号为，则以下表示班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，类比题干中提供的计算方法，把转换成含有的次方的形式，可得：，再根据黑色小正方形表示，白色小正方形表示，即可得到班学生的识别图案． 解：A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，符合题意； D.，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025七年级·全国·竞赛）算式的计算结果是___________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能计算出因数0是解题的关键． 根据题意先算出，再根据含有因数0的乘法运算乘积为0即可得到答案． 解：原式 ． 故答案为：0． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3）． （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）8；（2）0；（3）；（4）17；（5）；（6） 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，利用运算律进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可求解； （4）根据乘法分配律进行运算； （5）根据有理数混合运算法则进行运算，先乘方再乘除最后再加减，有括号先算括号内的； （6）根据有理数混合运算法则进行运算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型8】乘法分配律简便运算 【例题8】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1） （2） 【答案】（1）8；（2）166680 【分析】（1）先把括号里的分数化成小数，把括号外的分数化为，再根据加法交换律和减法的性质把括号的式子变为进行简算，再进一步计算即可； （2）根据题意，这五个数每个数位上都是有1，2，3，4，5；把个，十，百，千，万单个拿出来都是，然后再根据乘法分配律进行简算，加上即可． （1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 解： ； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【乘法分配律】计算： ____________． 【答案】1 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 解： ， 故答案为：1． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）10；（2）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据有理数混合运算的运算法则进行计算； （2）根据乘法分配律进行计算． （1）解：原式 ； （2）原式 ． 【题型9】有理数运算规律探究 【例题9】（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， （1）第个式子是___________； （2）请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； （3）请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【答案】（1）；；（2）；；（3）． 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、有理数的混合运算． 根据题干中式子的变化规律写出第个式子； 根据中的规律写出第个式子； 根据中式子的变化规律可得：原式，再根据分数的乘法法则进行计算即可． （1）解：第个式子， 第个式子， 第个式子， 第个式子， ， 第个式子， 故答案为：； （2）解：由中的规律可知，第个式子为， 故答案为：； （3）解：由 . 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中共有（   ）个○． A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化规律的问题，有理数的运算，列代数等知识点，由图形可知：第1个图形○的个数是，；第2个图形○的个数是，；第3个图形○的个数是，；第4个图形○的个数是，，…由此得出第n个图形○的个数是，然后将2024代入计算即可得解，把○成两部分进行考虑，并找出第n个图形○的个数的表达式是解题的关键． 解：观察发现，第1个图形○的个数是，， 第2个图形○的个数是，， 第3个图形○的个数是，， 第4个图形○的个数是，， … 以此类推，第n个图形○的个数是，， ∴第2024个图形○的个数是为， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）找出规律并计算：______=______； （2）用含有n的式子表示上面的规律：______； （3）用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】（1）64，；（2）；（3） 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． （1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 【题型10】有理数运算实际应用题 【例题10】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． （1）小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ （2）小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ （3）小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】（1）元；（2）元；（3）吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． （1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算的应用． 设商品原来的价格为a元，求出三种方案的最终价格，进而判断即可． 解：设商品原来的价格为a元， 方案一提价后的价格为（元）； 方案二提价后的价格为（元）； 方案三提价后的价格为（元）． 因为， 所以， 所以方案三提价最多． 故选：C． 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【答案】 或 【分析】先计算原问题中各楼层作为会议室的总爬楼距离，得到原最优楼层. 再分别计算新增10人到不同楼层后各楼层的总爬楼距离，筛选出使原最优楼层仍保持最短总距离的添加位置． 解：（1） 设所有参会人员到会议室的爬楼距离之和为，其中为会议室所在楼层，相邻楼层的爬楼距离记为个单位. 原各楼层参会人数分别为：1层人，2层人，3层人，4层人，5层人. 分别计算总爬楼距离： ， ， ， ， . 比较得，因此原最优会议室在层. （2） 设将名新增参会人员添加到层，此时层作为会议室的总爬楼距离记为，分情况讨论： ① 当时： ，，，，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ② 当时： ，，， ，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ③ 当时： ，，可得，最优楼层变为层，不符合要求 ④ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. ⑤ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. 因此满足条件的添加楼层为层或层． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某时，长江主要港口的水位数据如下表． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位/米 165.47 169.67 39.45 165.14 146.08 （1）算出这5个港口的平均水位．（结果保留两位小数） （2）如果把平均水位记为0米，那么用正负数表示出这5个港口及水库的水位与平均水位的差并填写在下表中． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位差/米 【答案】（1）137.16米；（2）米；米；米；米；米 【分析】（1）这5个港口的水位数据之和再除以即可； （2）每个数据与平均数比较大小，大于的为正，小于的为负，再求差即可． （1）解：（米） 答：这5个港口的平均水位是137.16米． （2）解：以平均水位 137.16米为标准，计算各港口水位偏差： 寸滩： ，记为正数， ，即米； 武隆： ，记为正数， ，即米； 宜昌： ，记为负数， ，即米； 三峡水库： ，记为正数， ，即米； 丹江口水库： ，记为正数， ，即米． 据此填表如下： 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位/米 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）在一条东西方向的跑道上，小亮先向西走了20米，记作“米”，接着又向东走了8米，此时小亮的位置可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了正负数的应用，有理数的加法，依题意，向西走为负，则向东走为正，得到，即可得出答案，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 解：根据题意，向西走为负，则向东走为正， ∴， ∴此时小亮的位置可记作米， 故选：B． 2．（24-25七年级上·吉林松原·阶段检测）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行解题即可． 解：， 故某地一天早晨的气温是℃，到了中午，气温上升了10℃，则中午的气温是8℃． 故选C． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可以得到，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 解：由数轴可得， ∴， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级上·广西南宁·期中）一个点从数轴原点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，此时该点所表示的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点，根据数轴上的点的移动，左减右加，列出算式，计算即可． 解：由题意，得， 此时终点所表示的数是． 故选：B． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨某景区日均接待游客15000人次，将15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，据此求出结论即可 解：． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，有理数的乘法． 根据绝对值的定义可知，，结合，筛选出满足条件的a和b的值，再计算的值． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：D． 7．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别根据相反数、绝对值、有理数乘方计算每个选项中两个数的值，再比较是否相等即可解答． 解：A． ，，，即选项A不符合题意； B．，，，即选项B符合题意； C．，，，即选项C不符合题意； D．，，，即选项D不符合题意． 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 解：． 9．（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过逐一计算每个选项的运算结果，发现选项C的计算错误，其他选项正确． 解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 10．（25-26六年级上·山东济南·期末）式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，通过对以上材料的阅读，计算＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义代入求值即可． 先根据求和符号的意义展开式子，再利用分式裂项拆分的方法，通过裂项相消计算出结果． 解：∵， ∴ ． 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）写成省略加号的和的形式为 ___________． 【答案】 【分析】利用有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号省略即可 解：∵ ∴写成省略加号的和的形式为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数加减混合运算中的符号化简，熟练掌握有理数减法的法则，符号化简法则，是解题的关键． 12．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 解：∵，，， ∴时；时， 则或． 13．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，求一个数的绝对值． 根据“b与c互为相反数，且”可知c是负数，进而根据求出，进而根据倒数的定义，相反数的定义求出b、a的值即可． 解：∵b与c互为相反数，且， ∴c是负数， ∵， ∴， ∴， ∵a与b互为倒数， ∴， 故答案为：． 14．（2023七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 解： ． 15．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算：____________； 【答案】32 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先计算乘方运算，再根据有理数的除法法则，将除法转化为乘法进行计算． 解：原式 ． 故答案为32． 17．（2026·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 解：（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ （1） ； （2） 【答案】（1）3；（2）4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． （1）解： （2） 20．（本小题满分8分）（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ （3）小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】（1）33；（2）34，24；（3）盈利了845.5元． 【分析】（1）从上周末买入价25元出发，依次累加周一、周二、周三三天的涨跌额，得到周三收盘时的每股价格； （2）根据正负数的意义结合表格数据求解即可； （3）收益卖出实际到手的钱买入总共花的钱，买卖都有手续费，卖出还要额外交税． （1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 解：（1） （2） 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·山西临汾·期中）综合与实践 问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示， 解决问题： （1）当时，求______；当时，求______； （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“”、“”或“”）： _________0；________0；________0； 拓展探究： （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）1；；（2）；；；（3）0 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的运算法则及有理数比较大小，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可知，将，，分别化简即可； （2）由图可知，且，再根据有理数的运算法则可判断出结果； （3）由（2）可知，，，故有，，，，进而可求出代数式的值． 解：（1）∵时，，时，， ∴，， 故答案为：1，； （2）由题意得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （3）由（2）可知，，，，， ∴，，，， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）【问题背景】 如图，数轴上有四个点、、、，其中点、被不小心擦掉了，点、对应的数分别为、1，已知点是数轴的原点，点到点、的距离相等． 【问题探究】 （1）点表示的数是__________，点表示的数是__________，并在数轴上标出点、； （2）若在数轴上另取一点，点到点的距离为4，求点与点之间的距离； 【拓展延伸】 （3）已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点到点的距离为2，点到点与点到点的距离相等，求的值． 【答案】（1）0，；（2）或1；（3）或2． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及有理数的加法与减法． （1）根据点是数轴的原点可知点C表示的数是0，根据点到点、的距离相等可求出点B表示的数是，然后在数轴上标出点、即可； （2）分两种情况求解即可； （3）先根据点到点的距离为2求出x的值，再根据点到点与点到点的距离相等求出y的值，然后相加即可． 解：解；（1）∵点是数轴的原点， ∴点C表示的数是0， ∵点到点、的距离相等， ∴点B表示的数是， 如图， 故答案为：0，； （2）∵点到点的距离为4， ∴点表示的数为：或， ∴点与点之间的距离为：或． 综上可知，点与点之间的距离为或1； （3）∵点到点的距离为2， ∴或． ∵点到点与点到点的距离相等， ∴当时，，解得，； 当时，，解得，； 综上可知，的值为或2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 有理数的运算全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、复习总览 1 二、核心知识梳理（纯运算） 1 【知识点一】有理数加减运算 1 【知识点二】有理数乘除运算 2 【知识点三】有理数乘方运算 2 【知识点四】有理数混合运算顺序（核心必考） 2 【知识点五】科学记数法与近似数 3 【知识点六】本章运算高频易错点 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】有理数单纯加减运算 3 【题型2】有理数乘除基础运算 4 【题型3】有理数乘方易错运算 4 【题型4】含括号的基础混合运算 5 【题型5】科学记数法改写与还原 5 【题型6】四舍五入取近似数 6 四.题型精析（综合提升） 6 【题型7】高阶有理数混合运算（重难点） 6 【题型8】乘法分配律简便运算 7 【题型9】有理数运算规律探究 7 【题型10】有理数运算实际应用题 8 五.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一、复习总览 本专题聚焦有理数纯运算核心考点，包含有理数加减、乘除、乘方运算、混合运算、科学记数法与近似数，是初中数学计算的基础核心。复习重点为：熟练运算法则、规范运算步骤、规避符号错误、掌握综合运算及实际应用。 二、核心知识梳理（纯运算） 【知识点一】有理数加减运算 1. 加法法则 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； 异号两数相加：取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值； 互为相反数的两个数相加得0；一个数加0，仍得原数。 2. 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数： 3. 运算技巧：凑整法、同号结合法、相反数结合法，简化加减混合运算。 【知识点二】有理数乘除运算 1. 乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0。 多个非0有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负（偶正奇负）。 2. 除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以任何非0的数，都得0；0不能作除数。 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数： 【知识点三】有理数乘方运算 1. 乘方定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作，其中a是底数，n是指数，运算结果叫做幂。 2. 乘方符号规律 正数的任何正整数次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0。 3. 必考易错辨析 ：负号参与乘方运算；：负号不参与乘方，是的相反数。 示例：， 【知识点四】有理数混合运算顺序（核心必考） 1. 优先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（乘除、加减），从左到右依次计算； 3. 有括号时，先算括号内，运算顺序：小括号→中括号→大括号。 【知识点五】科学记数法与近似数 1. 科学记数法 把绝对值大于10的数表示为（，n为正整数），n的值为原数整数位数减1。可实现大数改写、科学记数法还原原数两类运算。 2. 近似数与精确度 依据四舍五入法取近似数，四舍五入到哪一位，就精确到哪一位；近似数末尾的0不可随意省略，否则会改变精确度。 【知识点六】本章运算高频易错点 1. 混淆与的运算结果，符号判断错误； 2. 混合运算顺序混乱，优先计算加减、跳过乘方； 3. 多个负因数乘除运算，负号个数数错，导致符号出错； 4. 科学记数法中a的取值不符合； 5. 取近似数时，随意省略末尾有效0，导致精确度错误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】有理数单纯加减运算 【例题1】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个点从数轴上表示的点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，则此时这个点表示的数是______． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】有理数乘除基础运算 【例题2】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【变式1】（25-26七年级上·山西长治·期末）（ ） A．2 B． C．1 D．4 【变式2】（上海市浦东新区几校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）计算： ________，________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型3】有理数乘方易错运算 【例题3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： （1） （2）． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期中）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1） （2） （3） 点拨：重点区分有无括号，是本章计算第一易错点 【题型4】含括号的基础混合运算 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算： （1）． （2）． 【题型5】科学记数法改写与还原 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： （1）2900亿； （2）千万． 【变式1】（2024·浙江温州·二模）我们祖国的领土面积约为．把这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． （1）___________． （2）___________． （3）___________ （4）___________． 【题型6】四舍五入取近似数 【例题6】（25-26七年级上·四川乐山·期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： ①1.596（精确到0.01）    ②0.03057（精确到千分位）    ③2345000（精确到万位） 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” （1）你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； （2）图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 四.题型精析（综合提升） 【题型7】高阶有理数混合运算（重难点） 【例题7】（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图是某个学生所在班级的识别图案．将小正方形从左到右依次记为，，，，那么可以通过“”转换为该生所在班级的序号．若黑色小正方形表示，白色小正方形表示，该生所在班级的序号为，则以下表示班学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级·全国·竞赛）算式的计算结果是___________． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3）． （4）； （5）； （6）． 【题型8】乘法分配律简便运算 【例题8】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【乘法分配律】计算： ____________． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算下列各式： （1）； （2）． 【题型9】有理数运算规律探究 【例题9】（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究下列式子，你能发现什么规律？ ，，，，， （1）第个式子是___________； （2）请用含（为正整数）的式子表示你发现的规律___________； （3）请用你所发现的规律解决下面的问题： 计算． 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2024个图形中共有（   ）个○． A．6070 B．6071 C．6072 D．6073 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【变式3】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）找出规律并计算：______=______； （2）用含有n的式子表示上面的规律：______； （3）用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【题型10】有理数运算实际应用题 【例题10】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． （1）小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ （2）小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ （3）小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某时，长江主要港口的水位数据如下表． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位/米 165.47 169.67 39.45 165.14 146.08 （1）算出这5个港口的平均水位．（结果保留两位小数） （2）如果把平均水位记为0米，那么用正负数表示出这5个港口及水库的水位与平均水位的差并填写在下表中． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位差/米 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）在一条东西方向的跑道上，小亮先向西走了20米，记作“米”，接着又向东走了8米，此时小亮的位置可记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级上·吉林松原·阶段检测）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广西南宁·期中）一个点从数轴原点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，此时该点所表示的数是（   ）． A． B． C．0 D．1 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨某景区日均接待游客15000人次，将15000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 7．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 9．（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 10．（25-26六年级上·山东济南·期末）式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，通过对以上材料的阅读，计算＝（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）写成省略加号的和的形式为 ___________． 12．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 13．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________． 14．（2025七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是________． 15．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）若，为有理数，且，则______． 16．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算：____________； 17．（2026·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ （1） ； （2） 20．（本小题满分8分）（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （1）星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ （3）小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·山西临汾·期中）综合与实践 问题情境：数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示， 解决问题： （1）当时，求______；当时，求______； （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，填空（请填入“”、“”或“”）： _________0；________0；________0； 拓展探究： （3）在（2）的条件下，求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）【问题背景】 如图，数轴上有四个点、、、，其中点、被不小心擦掉了，点、对应的数分别为、1，已知点是数轴的原点，点到点、的距离相等． 【问题探究】 （1）点表示的数是__________，点表示的数是__________，并在数轴上标出点、； （2）若在数轴上另取一点，点到点的距离为4，求点与点之间的距离； 【拓展延伸】 （3）已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点到点的距离为2，点到点与点到点的距离相等，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $