专题 2.3 有理数的乘法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数乘法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、倒数（乘积为1，0无倒数）、多个有理数相乘符号法则（负因数个数定符号，含0则积为0）及运算律（交换律、结合律、分配律），构建从两数运算到多数运算再到运算律应用的递进学习支架。 资料特色在于分层题型设计，夯实基础（两数运算、倒数求解、简单实际应用）与综合提升（符号判定、运算律简便运算、概念辨析、倒数相关运算）结合，同步检测分选择、填空、解答覆盖不同能力。通过销售盈亏、口罩生产等实际问题，培养运算能力、推理意识与应用意识，课中辅助分层教学，课后助力巩固查漏。

专题 2.3 有理数的乘法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数乘法法则 2 【知识点二】倒数 2 【知识点三】多个有理数相乘的符号法则 2 【知识点四】有理数乘法运算律 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】两数直接乘法运算（整数、小数、分数） 3 【题型2】求有理数的倒数 5 【题型3】有理数乘法简单实际应用 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型4】多个有理数相乘（符号判定+简便计算） 8 【题型5】乘法运算律综合简便运算 10 【题型6】有理数乘法概念辨析（符号与零因数） 13 【题型7】与倒数相关的运算 15 五.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 19．（本小题满分8分） 25 20．（本小题满分8分） 26 21．（本小题满分10分） 26 22．（本小题满分10分） 27 23．（本小题满分10分） 28 24．（本小题满分12分） 29 一.学习目标 1. 理解有理数乘法的意义，熟练掌握有理数乘法法则，能够准确完成整数、小数、分数的乘法运算。 2. 掌握倒数的定义，熟练求解非零有理数的倒数，明确0没有倒数的核心知识点。 3. 掌握多个有理数相乘的符号判定规则，熟练处理含零因数的乘法运算。 4. 熟记有理数乘法交换律、结合律、分配律，能灵活运用运算律简化计算。 5. 能够运用有理数乘法解决气温变化、销售盈亏、数量变化等实际生活问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。 字母表示： 同号相乘：， 异号相乘：， 含0相乘： 【要点提示】 ① 有理数乘法运算遵循先定符号，后算绝对值的固定顺序； ② 乘法符号规则与加法符号规则不同，切勿混淆：同号相乘为正、同号相加不变号； ③ 任意有理数与0相乘，结果恒为0，无需计算绝对值。 【知识点二】倒数 乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互的关系。 【要点提示】 ① 非零数的倒数为，的倒数是1，的倒数是-1； ② 0没有倒数，不存在任何数与0相乘等于1； ③ 正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不改变原数符号； ④ 求带分数、小数的倒数，需先化为最简假分数，再颠倒分子分母。 【知识点三】多个有理数相乘的符号法则 1. 多个不为0的有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 2. 若干个有理数相乘，只要其中有一个因数为0，最终积一定为0。 【要点提示】 ① 多个数相乘，优先观察是否含0因数，有0直接得0，无需后续计算； ② 无0因数时，仅通过负因数个数判断符号，再将所有数的绝对值相乘； ③ 符号判断只与负因数个数有关，与正因数个数无关。 【知识点四】有理数乘法运算律 有理数范围内，乘法交换律、结合律、分配律均成立，可用于简化多步乘法运算。 1. 乘法交换律：，交换因数位置，积不变； 2. 乘法结合律：，可任意结合因数分组计算； 3. 乘法分配律：，一个数乘两数和，可分别相乘再相加。 【要点提示】 ① 交换、结合律多用于凑整、凑1、凑相反数，简化数值计算； ② 运用分配律时，括号外的因数必须乘括号内每一项，杜绝漏乘、错乘符号； ③ 负数作为因数移动位置时，必须连带负号整体移动。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】两数直接乘法运算（整数、小数、分数） 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）30；（3）；（4）8 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键． 根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法． 两个有理数相乘，异号得负，要使积最小，应选择绝对值最大的正数和绝对值最大的负数相乘． 解：正数中绝对值最大的是5，负数中绝对值最大的是， 两者相乘得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 小结：牢记“同正异负”，先定符号，再算数值。 【题型2】求有理数的倒数 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． （1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，直接根据倒数的定义求解即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 解：的倒数是， 故选：D． 【变式2】（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是_____________． 【答案】 解：＝，所以的倒数是， 故答案为： 【点拨】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用. 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数：，，，，． 【答案】见分析 【分析】本题考查倒数．乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． 解：的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为； 因为，所以的倒数为． 【题型3】有理数乘法简单实际应用 【例题3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【答案】该公司去年总的盈利万元 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 解：由题得，， ， （万元）． 答：该公司去年总的盈利万元． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相遇问题的路程计算，利用“总路程=速度和×相遇时间”的公式即可求解，关键是理解相向而行时两人的路程和等于两地距离. 解：∵甲的速度为，乙的速度为，两人相向而行经过相遇 ∴A、B两地的距离为两人行驶的路程之和 ∴距离. 【变式2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 【变式3】（24-25七年级上·四川巴中·期末）2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ （3）若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个；（2）与原计划产量比较，这周超产300个；（3）本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期五超产最多，星期三减产最多，然后用记录相减计算即可得解； （2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． （1）解：（个） 产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个； （2）解：（个）   与原计划产量比较，这周超产300个； （3）解：（元） 本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】多个有理数相乘（符号判定+简便计算） 【例题4】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）36；（2） 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算_______． 【答案】21 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘，先计算前两个数的积，再与第三个数相乘． 解：． 故答案为：21． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 解：（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【题型5】乘法运算律综合简便运算 【例题5】（25-26六年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）13；（2）20；（3）10；（4）19 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减． 根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律． 解：解法二中，24与、、分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律． 故答案为：乘法分配律． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 解：（1）解：原式 ； （2）解： ． 【题型6】有理数乘法概念辨析（符号与零因数） 【例题6】（25-26六年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．有限小数一定是有理数 C．相反数等于本身的数是 D．倒数等于本身的数是0，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数、有理数、相反数、倒数等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正数和负数、有理数、相反数、倒数逐项判断即可． 解：A．0既不是正数也不是负数，故A错误，不符合题意； B．有限小数可以写成分数形式，是有理数，故B正确，符合题意； C．相反数等于本身的数是0，故C错误，不符合题意； D．倒数等于本身的数是，0无倒数，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0是解题的关键．根据，知道，同号，又根据，知道，都为负数． 解： ，同号， 又， ，都为负数， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法： ①若是正数，则一定是负数；②一个有理数的绝对值一定比0大；③若a，b互为相反数，且，则；④倒数和绝对值都等于本身的数只有1． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了有理数的有关概念，分别根据负数、绝对值、相反数、有理数的意义逐一判断每个说法的正确性即可． 解：①若a是正数，则一定是负数，故说法①正确； ②一个有理数的绝对值一定是非负的，故说法②错误； ③若a，b互为相反数，且，则，故说法③正确。 ④倒数等于本身的数有1和，绝对值等于本身的数是非负数，同时满足这两个条件的数只有1，故说法④正确． 所以，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【题型7】与倒数相关的运算 【例题7】（23-24七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； （2）请你运用丽丽的解法计算：． 【答案】（1） ， 故丽丽的解法是正确的． （2） 【分析】（1）根据运算顺序计算验证即可． （2）根据范例解法计算即可． 解：（1）略 （2） ， ． 【点拨】本题考查了倒数的应用，运算律的解题应用，熟练掌握倒数，运算律是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路______； （2）请选择一种正确的思路计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序解答即可； （2）利用思路2或3的计算方法解答即可． （1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）解：思路2： ； 思路3：原式的倒数为： ， 故． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． （1）你觉得________的解法更具有简便性． （2）请你用你认为更简便的方法，计算：． 【答案】（1）小红；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键． （1）小红的解法运用了运算律，更具有简便性． （2）先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． （1）解：小红的解法运用了运算律，这种方法避免了复杂的分数加减运算，直接得到结果，更具有简便性． 故答案为：小红． （2）原式的倒数为 ， 故原式． 【变式3】（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】（1）喜欢张明的解法．理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 解：（1）略 （2）解：原式的倒数 ， ∴． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 2．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 解： ． 故选：A． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数． 解：∵总人数为320名，少数民族学生人数占总人数的， ∴少数民族学生人数为=120（名）． ∴故选：A． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 解：； 5．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算，减法运算，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 解：观察数轴得，， ∴，①符合题意， ，②不符合题意， ，③符合题意， ，④不符合题意， 综上，①③符合题意； 故选：D． 7．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如果，，，那么这四个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、b、c、d的符号． 根据，，得出a、b异号，c、d中至少有1个负数，再由，负因数的个数是1个或3个，即可求解． 解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵， ∴c、d中至少有1个负数， ∴a、b、c、d中至少有2个负数， 又∵， ∴负因数的个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有3个． 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学在假期计划每天做6道数学题，其中十天做题数量记录如下（超过的记为正数，不足的记为负数，单位：道）：，2，，1，0，，8，7．他这十天共做了数学题（   ） A．70道 B．71道 C．72道 D．73道 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，十天中做题记录的数的和加上的倍即可求解． 解：道， 故选：C． 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法和倒数的性质．说法①正确，因为任何数乘以得其相反数；说法②错误，时或至少一个为，但不一定都为；说法③正确，则，同号；说法④错误，没有倒数，倒数等于本身的数只有和． 解：一个数乘以得该数的相反数，①正确； 时，或，但不一定同时为，②错误； 时，和同号，③正确； 没有倒数，倒数等于本身的数只有和，④错误． 正确的有①和③，共个． 故选：B． 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查倒数的概念．掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键，根据倒数的定义，求解 的倒数即可． 解：∵ ， ∴ 的倒数是 ． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算的结果是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则，异号两数相乘，积为负，再计算两个绝对值的乘积即可． 解：． 13．（25-26七年级上·全国·期末）某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 【答案】80 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，售价，标价，折扣三者的关系，根据题意，可知打八折表示按标价的销售，据此即可得出答案． 解：（元） 故答案为：80． 14．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 解：原式； 故答案为： 15．（25-26七年级上·重庆·期末）规定：，那么______． 【答案】120 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据定义的运算规则，先计算括号内的，再计算，即可作答． 解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 17．（25-26七年级上·全国·期末）在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据题意可知将最小的负数和最大的两个正数相乘结果即为本题答案． 解：要使得积最小，则必为负数，则所取三个数中有一个或三个负数， ∵， ∴当所取三个数中有一个负数，可取最小的负数是，最大的两个正数是和， 此时积为． 当所取三个数中有三个负数，即取， 此时积为． ∵， ∴最小的积等于 ． 故答案为：． 18．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果每所学校平均有2个水龙头漏水，全国大约有30万所学校用自来水，每个漏水的水龙头平均每十分钟漏水100克，如果1个人1年用水30吨，全国这些学校1年漏掉的水可供______人用1年．（1年按365天计算） 【答案】105120 【分析】本题考查了整数乘除法的应用，计算全国学校漏水水龙头一年漏水的总量，再除以一个人一年的用水量，得到可供人数． 解：全国漏水水龙头总数为：（个）． 每个水龙头每分钟漏水量：（克/分钟）． 一年总分钟数：（分钟）． 每个水龙头一年漏水量：（克）（吨）． 所有水龙头一年总漏水量：（吨）． 可供人数：（人）． 故答案为：105120． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各小题，根据计算结果得结论． （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式. （4）解：原式. 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）简便计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）直接根据乘法分配律计算即可； （2）将化为，再根据乘法分配律计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： （1）（请用两种方法进行运算）； （2）（简便运算）； （3）． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）方法一：先计算括号内的加减运算，再计算乘法；方法二：利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律简便计算即可； （3）利用有理数加法的结合律简便计算即可． 解：（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 【答案】86.5元 【分析】根据题意里程费共要收取千米的费用，再加上起步价即可． 解：（千米）， 里程费共要收取千米的费用，每千米收费4.5元， 故需要支付代驾费（元）． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）简便计算：． （2）认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． （1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 有理数的乘法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数乘法法则 2 【知识点二】倒数 2 【知识点三】多个有理数相乘的符号法则 2 【知识点四】有理数乘法运算律 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】两数直接乘法运算（整数、小数、分数） 3 【题型2】求有理数的倒数 4 【题型3】有理数乘法简单实际应用 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型4】多个有理数相乘（符号判定+简便计算） 5 【题型5】乘法运算律综合简便运算 5 【题型6】有理数乘法概念辨析（符号与零因数） 6 【题型7】与倒数相关的运算 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 19．（本小题满分8分） 10 20．（本小题满分8分） 10 21．（本小题满分10分） 10 22．（本小题满分10分） 10 23．（本小题满分10分） 10 24．（本小题满分12分） 11 一.学习目标 1. 理解有理数乘法的意义，熟练掌握有理数乘法法则，能够准确完成整数、小数、分数的乘法运算。 2. 掌握倒数的定义，熟练求解非零有理数的倒数，明确0没有倒数的核心知识点。 3. 掌握多个有理数相乘的符号判定规则，熟练处理含零因数的乘法运算。 4. 熟记有理数乘法交换律、结合律、分配律，能灵活运用运算律简化计算。 5. 能够运用有理数乘法解决气温变化、销售盈亏、数量变化等实际生活问题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。 字母表示： 同号相乘：， 异号相乘：， 含0相乘： 【要点提示】 ① 有理数乘法运算遵循先定符号，后算绝对值的固定顺序； ② 乘法符号规则与加法符号规则不同，切勿混淆：同号相乘为正、同号相加不变号； ③ 任意有理数与0相乘，结果恒为0，无需计算绝对值。 【知识点二】倒数 乘积为1的两个数互为倒数，倒数是相互的关系。 【要点提示】 ① 非零数的倒数为，的倒数是1，的倒数是-1； ② 0没有倒数，不存在任何数与0相乘等于1； ③ 正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，倒数不改变原数符号； ④ 求带分数、小数的倒数，需先化为最简假分数，再颠倒分子分母。 【知识点三】多个有理数相乘的符号法则 1. 多个不为0的有理数相乘：负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 2. 若干个有理数相乘，只要其中有一个因数为0，最终积一定为0。 【要点提示】 ① 多个数相乘，优先观察是否含0因数，有0直接得0，无需后续计算； ② 无0因数时，仅通过负因数个数判断符号，再将所有数的绝对值相乘； ③ 符号判断只与负因数个数有关，与正因数个数无关。 【知识点四】有理数乘法运算律 有理数范围内，乘法交换律、结合律、分配律均成立，可用于简化多步乘法运算。 1. 乘法交换律：，交换因数位置，积不变； 2. 乘法结合律：，可任意结合因数分组计算； 3. 乘法分配律：，一个数乘两数和，可分别相乘再相加。 【要点提示】 ① 交换、结合律多用于凑整、凑1、凑相反数，简化数值计算； ② 运用分配律时，括号外的因数必须乘括号内每一项，杜绝漏乘、错乘符号； ③ 负数作为因数移动位置时，必须连带负号整体移动。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】两数直接乘法运算（整数、小数、分数） 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 小结：牢记“同正异负”，先定符号，再算数值。 【题型2】求有理数的倒数 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·四川自贡·阶段检测）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是_____________． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数：，，，，． 【题型3】有理数乘法简单实际应用 【例题3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【变式3】（24-25七年级上·四川巴中·期末）2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ （3）若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 四.题型精析（综合提升） 【题型4】多个有理数相乘（符号判定+简便计算） 【例题4】（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）计算_______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型5】乘法运算律综合简便运算 【例题5】（25-26六年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下： 下面是计算的两种解法． 解法一： ． 解法二： ． “解法二”计算过程中，运用的运算律是__________． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）． （2） 【题型6】有理数乘法概念辨析（符号与零因数） 【例题6】（25-26六年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．有限小数一定是有理数 C．相反数等于本身的数是 D．倒数等于本身的数是0，1 【变式1】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知a、b是有理数，且，同时，那么下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法： ①若是正数，则一定是负数；②一个有理数的绝对值一定比0大；③若a，b互为相反数，且，则；④倒数和绝对值都等于本身的数只有1． 其中正确结论的序号是__________． 【题型7】与倒数相关的运算 【例题7】（23-24七年级上·广东中山·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，丽丽用了如下方法：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证丽丽的解法的正确性； （2）请你运用丽丽的解法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路______； （2）请选择一种正确的思路计算：． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． （1）你觉得________的解法更具有简便性． （2）请你用你认为更简便的方法，计算：． 【变式3】（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 5．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 7．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如果，，，那么这四个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学在假期计划每天做6道数学题，其中十天做题数量记录如下（超过的记为正数，不足的记为负数，单位：道）：，2，，1，0，，8，7．他这十天共做了数学题（   ） A．70道 B．71道 C．72道 D．73道 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列说法：①一个数同相乘得这个数的相反数；②若，则a，b都为0；③若，则a，b同号；④倒数等于本身的数有1，，0．其中正确的有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）的倒数是______． 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算的结果是________． 13．（25-26七年级上·全国·期末）某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 14．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）规定：，那么______． 16．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 17．（25-26七年级上·全国·期末）在五个数，，，，中任取三个数相乘，其中最小的积等于 __． 18．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果每所学校平均有2个水龙头漏水，全国大约有30万所学校用自来水，每个漏水的水龙头平均每十分钟漏水100克，如果1个人1年用水30吨，全国这些学校1年漏掉的水可供______人用1年．（1年按365天计算） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）简便计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东威海·期中）计算： （1）（请用两种方法进行运算）； （2）（简便运算）； （3）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·四川达州·开学考试）小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分： ①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元． ②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）． 小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？ 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： （1）简便计算：． （2）认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $