专题15 计数原理（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦二项式定理与排列组合，通过考情分析、真题研析构建“基础公式+计数原理”双主线方法体系，知识逻辑从课本概念到真题应用层层递进，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式定理|5真题+10模拟|通项公式套用、区分二项式系数与项的系数|从课本基础概念到指定项系数求解，形成“公式记忆-应用辨析-运算落实”链条| |排列组合|3真题+7模拟|分步分类计数原理、有序无序判断|从简单计数场景到生活化情境，回归计数本质，构建“原理理解-场景分析-逻辑梳理”路径|

专题15 计数原理 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 二项式定理近三年考题固定出现在填空题第4-6题，属于试卷前半段基础送分题，难度极低，无压轴属性，是学生必须满分拿下的核心考点，考查稳定性极强，春考、秋考年年必考。 排列组合题号呈现逐年前移、难度逐年回落的趋势：2024秋考位于填空第10题（中档区分度题），2025秋考前移至第9题，2026春考进一步前移至第7题。题号越靠后，题目情境越复杂、逻辑门槛越高，是本板块唯一具备小幅区分度的考点。 二项式定理 2026秋考第6题 2026春考第5题 2025春考第6题 2025秋考第4题 2024秋考第6题 2024春考第4题 排列组合 2026春考第7题 2025秋考第9题 2024秋考第10题 2026秋考第6题｜二项式定理 试卷定位：填空第6题，基础压轴前置位小题，属于试卷前半段保底得分题，难度极简，无运算门槛，面向全体考生。 核心考查内容：延续上海卷经典命题模式，聚焦二项展开式指定项系数求解，考查基础通项公式套用，题型为常规整式型二项式展开问题，无分式、无复杂变形。 命题特点：完全回归课本基础，不设置情境包装、不综合其他知识点，唯一易错点为混淆二项式系数与项的系数，侧重考查答题细致度与公式熟练度，无创新题型，是标准送分题。 2026春考第5题｜二项式定理 试卷定位：填空第5题，纯基础入门小题，题号前置，难度为全年二项式考题最低，侧重基础公式落地考查。 核心考查内容：主打常数项、指定幂项求解，延续上海春考固定考向，以经典基础模型为主，指数取值常规，计算量极小。 命题特点：题型极致常规，规避所有偏难怪考点，仅考查通项公式核心用法，命题目的为检验学生基础知识点掌握情况，零区分度、零陷阱，只要熟记公式即可满分。同时体现2026年命题核心导向：弱化运算难度，强化基础概念。 2026春考第7题｜排列组合 试卷定位：填空第7题，中档过渡型小题，对比2024秋考10题、2025秋考9题，题号显著前移，标志2026年排列组合难度全面回落，不再作为区分度压轴小题。 核心考查内容：聚焦生活化简单计数场景，核心考查分步、分类两大计数原理，侧重有序、无序场景的基础判断，无复杂分组、无错位排列、无捆绑插空复杂模型。 命题特点：去套路化、去技巧化，摒弃往年小众解题模型，回归计数本质。题目文字简洁、情境直白，难点仅在于基础逻辑梳理，不设置多重限制条件，贴合2026上海高考重基础、轻难题、重逻辑、轻技巧的整体命题基调。 考向一 二项式定理 典例1．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 考向二 排列组合 典例2．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 考向一 二项式定理 1．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 【答案】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 3．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 【答案】15 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 考向二 排列组合 6．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 7．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 【答案】329 【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； （1）若个位为0，这样的偶数有个； （2）若个位不为0，这样的偶数有个； 所以集合元素个数最大值为个． 故答案为：329 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 二、填空题 2．（2026·上海·三模）已知为正整数且，则的值为___________ 【答案】10 【详解】因为为正整数且，所以, 由组合数的性质可知，由于，故时，， 所以的值为. 3．（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 5．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】15 【详解】二项展开式的通项公式为. 令，解得，则. 故的系数为15. 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 【答案】5 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 7．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 【答案】7 【详解】 . 所以被8除所得的余数为7. 8．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 【答案】0 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中含项有，即展开式中的系数为. 9．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【答案】 【详解】二项式的展开式共有项， 由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为， 化简得， 令 ，解得， 所以含的项的系数为. 10．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 【答案】 【详解】展开式的第项为：，其中 令，得到，故展开式中常数项为第项. 11．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 12．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 【答案】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 13．（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令，则. 14．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 【答案】 【详解】因为的展开式的通项为：， 又因为展开式中常数项是， 令，得， 所以，解得， 所以，即为， 在中令， 得所以项系数和为. 15．（2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 16．（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 17．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 18．（2026·上海浦东新·三模）从0、1、2、3、4、5中任取4个数字，可以组成没有重复数字，且为奇数的四位数的个数是___________． 【答案】144 【详解】所求为无重复数字的四位奇数，需满足两个限制条件：个位数为奇数，千位数不为0，且四个数位数字互不重复，按分步乘法计数原理计算： 确定个位数字：只能从1、3、5中选取，共种选法； 确定千位数字：已占用1个个位数字，且0不能作为千位数字，可选范围为除0和已选个位数字外的4个数字，共种选法； 确定百位数字：已占用个位、千位共2个数字，剩余4个数字可选，共种选法； 确定十位数字：已占用3个数字，剩余3个数字可选，共种选法， 因此满足条件的四位数总个数为个. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 【答案】72 【详解】 要使“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，则排列方式必为这两组字交替排列. 由于“复旦附中”有4个字，“顶呱呱”有3个字，故排列形式必为 A B A B A B A， 其中A为“复旦附中”中的字，B为“顶呱呱”中的字. “复旦附中”四个字的全排列有种；“顶呱呱”三个字的全排列有种. 根据乘法原理，总排列数为. 20．（2026·上海浦东新·三模）用4种不同的颜色为正方体的6个面涂色，要求所有颜色都用到，且相邻面颜色不同．若把经过旋转能够重合的染色方案视作同一种，则不同的染色方案共有______________种． 【答案】6 【详解】种颜色均用，如红、黄、蓝、绿四种颜色，必有一个面染红色，不妨设底面为红色． 若其对面也为红色，则侧面有黄蓝黄绿，蓝黄蓝绿，绿黄绿蓝种染法，共种染法； 若其相对面为其他三种颜色，则侧面的染法唯一，共种染法． 综上，共计种染法． 21．（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【答案】55 【详解】由题意知，8个模块总特征值为：. 设系统的特征值之和为，则系统的特征值之和为， 由条件①知，，解得. 设系统中有个向左模块，结合条件②可得，或. 当时，则系统中有1个向左模块，3个向右模块，方案数：； 当时，则系统中有2个向左模块，4个向右模块，方案数：； 所以总方案数为：. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 计数原理 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 二项式定理近三年考题固定出现在填空题第4-6题，属于试卷前半段基础送分题，难度极低，无压轴属性，是学生必须满分拿下的核心考点，考查稳定性极强，春考、秋考年年必考。 排列组合题号呈现逐年前移、难度逐年回落的趋势：2024秋考位于填空第10题（中档区分度题），2025秋考前移至第9题，2026春考进一步前移至第7题。题号越靠后，题目情境越复杂、逻辑门槛越高，是本板块唯一具备小幅区分度的考点。 二项式定理 2026秋考第6题 2026春考第5题 2025春考第6题 2025秋考第4题 2024秋考第6题 2024春考第4题 排列组合 2026春考第7题 2025秋考第9题 2024秋考第10题 2026秋考第6题｜二项式定理 试卷定位：填空第6题，基础压轴前置位小题，属于试卷前半段保底得分题，难度极简，无运算门槛，面向全体考生。 核心考查内容：延续上海卷经典命题模式，聚焦二项展开式指定项系数求解，考查基础通项公式套用，题型为常规整式型二项式展开问题，无分式、无复杂变形。 命题特点：完全回归课本基础，不设置情境包装、不综合其他知识点，唯一易错点为混淆二项式系数与项的系数，侧重考查答题细致度与公式熟练度，无创新题型，是标准送分题。 2026春考第5题｜二项式定理 试卷定位：填空第5题，纯基础入门小题，题号前置，难度为全年二项式考题最低，侧重基础公式落地考查。 核心考查内容：主打常数项、指定幂项求解，延续上海春考固定考向，以经典基础模型为主，指数取值常规，计算量极小。 命题特点：题型极致常规，规避所有偏难怪考点，仅考查通项公式核心用法，命题目的为检验学生基础知识点掌握情况，零区分度、零陷阱，只要熟记公式即可满分。同时体现2026年命题核心导向：弱化运算难度，强化基础概念。 2026春考第7题｜排列组合 试卷定位：填空第7题，中档过渡型小题，对比2024秋考10题、2025秋考9题，题号显著前移，标志2026年排列组合难度全面回落，不再作为区分度压轴小题。 核心考查内容：聚焦生活化简单计数场景，核心考查分步、分类两大计数原理，侧重有序、无序场景的基础判断，无复杂分组、无错位排列、无捆绑插空复杂模型。 命题特点：去套路化、去技巧化，摒弃往年小众解题模型，回归计数本质。题目文字简洁、情境直白，难点仅在于基础逻辑梳理，不设置多重限制条件，贴合2026上海高考重基础、轻难题、重逻辑、轻技巧的整体命题基调。 考向一 二项式定理 典例1．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 考向二 排列组合 典例2．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 考向一 二项式定理 1．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________. 2．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 3．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________． 4．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为______. 5．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 考向二 排列组合 6．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 7．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________． 一、单选题 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 二、填空题 2．（2026·上海·三模）已知为正整数且，则的值为___________ 3．（2026·上海·三模）若的展开式中的常数项是________． 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 5．（2026·上海静安·二模）在的二项展开式中，的系数为______．（用数字作答） 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 7．（2026·上海黄浦·三模）利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 8．（2026·上海浦东新·三模）展开式中的系数为______________． 9．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 10．（2026·上海·三模）二项式的展开式中常数项为第__________项． 11．（2026·上海·三模）在的展开式中，项的系数为________． 12．（2026·上海闵行·二模）若，则______. 13．（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 14．（2026·上海普陀·二模）设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达） 15．（2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 16．（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 17．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 18．（2026·上海浦东新·三模）从0、1、2、3、4、5中任取4个数字，可以组成没有重复数字，且为奇数的四位数的个数是___________． 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 20．（2026·上海浦东新·三模）用4种不同的颜色为正方体的6个面涂色，要求所有颜色都用到，且相邻面颜色不同．若把经过旋转能够重合的染色方案视作同一种，则不同的染色方案共有______________种． 21．（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $