2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（教学课件） 数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系应用，通过城市供水管道铺设、景区栈道设计等实际情境导入，引导学生抽象数学问题，复习坐标法“四步曲”作为学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以真实问题为载体，通过数学建模、逻辑推理培养核心素养，如台风危险区判断中用坐标法分析直线与圆位置关系。题型分层且方法总结到位，学生能提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

·选择性必修第一册· 第二章 直线与圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 (第2课时) 学习目标 复习巩固直线与圆的位置关系判断方法； 能用直线和圆的位置关系解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点、难点） 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点） 目录 CATALOG 01.复习巩固直线与圆的位置关系 03.应用新知 02.直线与圆的位置关系实际应用问题 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 01 复习巩固直线与圆的位置关系 导入新知1：城市供水——圆形蓄水池与管道铺设 某城市新建一座圆形蓄水池，池壁边界方程为 (x−3)2+(y−4)2=25（单位：米）。市政规划拟从蓄水池外的一点 P(−2,0) 铺设一条笔直供水管道，与蓄水池池壁相切（管道紧贴池壁外侧，不进入池内）。 问题1：从点 P 出发可以铺设几条满足条件的管道？为什么？（引导学生回顾“圆外一点引两条切线”的几何事实） 问题2：你能帮工程师求出这两条管道所在直线的方程吗？工程中需要精确的数学计算来指导施工放线。 导入新知2：景区观光——圆形湖泊与直线栈道 某景区有一圆形湖泊，湖心岛位于圆心 O(0,0)，湖泊半径 r=100 米。计划在湖面上修建一条直线观光栈道，栈道两端分别位于湖北岸点 A(−60,80) 和湖南岸点 B(80,−60)。 问题1：这条栈道是否会穿过湖心岛区域？如果穿过，湖心岛上的游客能否看到栈道上的观光车？（判断直线与圆的位置关系） 问题2：若栈道穿过湖泊，施工时需要在湖面上架设多长的栈道水面部分？（求弦长，激发学生探究弦长计算方法的需求） 创设背景，引入新知 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的。 台风“桦加沙”中心从A地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，广州市在A地正西40 km处，则广州市是否会遭遇到台风的危害吗？ 创设背景，引入新知 回顾 在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾： 用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 第 1 步 一建：建立适当的平面直角坐标系， 第 3 步 三算：进行有关代数运算 第 4 步 四译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 2 步 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆内定点的弦长最值（范围） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆内定点的弦长最值（范围） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 02 直线与圆的位置关系实际应用问题 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 应用新知 例3 回顾 建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 原则一 让尽可能多的点落在坐标轴上 原则三 轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 原则二 条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 应用新知 例3 思考： 如何建立平面直角坐标系？ 以O为原点，线段AB所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 追问 原点O是圆心吗？ 不是，圆心在 y 轴上 可令圆心坐标 应用新知 转化 建立平面直角坐标系，将实际应用问题转化为怎样的数学问题？ 已知_____________________________________，圆心在________上， 求点的________坐标. 思路 由点在圆上，可以先求______________， 然后代入点的横坐标，求得纵坐标. 应用新知 例3 解 析 应用新知 例3 解 析 应用新知 例3 解 析 探究新知 思考： 如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答？ 解 析 探究新知 思考： 根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 综合法 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂 坐标法 坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 过圆上一点的圆的切线方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、切线长 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长 03 应用新知 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 应用新知 例4 解 析 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解 析 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考： 你还能用其他方法解决上述问题吗？ 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 前面我们学过向量，利用向量工具解决平面几何问题也很方便，我们考虑如何利用向量来解决这个问题， 可以利用向量求出点O到直线AB的距离，然后与暗礁分布范围的半径比较大小即可判断，是否会触礁. 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解 析 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 探究新知 思考： 比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷。 04 题型强化训练 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 重要题型专练 题型一 圆的中点弦问题 例题 解 析 应用新知 方法总结 第 1 步 先求圆的圆心坐标，和半径 第 2 步 利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第 3 步 根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第 4 步 利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程 重要题型专练 题型二 圆的切线长问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 圆的切点弦的方程问题 例题 解 析 重要题型专练 题型四 直线与圆的位置关系实际应用问题 例题 重要题型专练 题型四 直线与圆的位置关系实际应用问题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 重要题型专练 题型五 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题 解 析 应用新知 方法总结 直线与圆有公共点 直线与圆没有公共点 05 真题感知 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系(第2课时)》 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. P 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. A B P C x y 课后作业答案 练习（第95页） 2.某圆拱桥的水面跨度是20 m,拱高4 m,现有一船，宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过? 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线 与圆 相交所得弦长最短时，实数 的值为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为.定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短.因为，所以直线的斜率为1，故， 解得.故选：B. 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点． 由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短．计算． 最短弦长故选：B 2.（25-26高二下·湖北·期中）已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得.所以直线的方程为：， 化简得：.故选：C 3.（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆 上一点 作圆的切线 则 的方程为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆 上一点 作圆 的切线 ，则 的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，  则切线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：C. 5.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆 在点 处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】，由切线与直线垂直，得：，得：，又因为切线经过，所以切线的方程为：，即.故选：A 6.（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆 上的点 作圆 的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，因为点在圆上，且，所以所求切线与轴垂直， 故所求切线的方程为.故选：D. 7.（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆 上的点 作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，因为点在圆上，且，易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即.故选：D. 8.（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆 上一点 作圆的切线 ，则 的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即.故选：D 9.（26-27高三·全国·一轮复习）由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【详解】圆即为，可知圆心为，半径，在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA，在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为．故选：C 10.（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆 ，过直线 上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则 的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【详解】连接，则，当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为，则，故的最小值为． 故选：B． 若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程. 的圆心 ，则直线CM的斜率 ， 由垂径定理可得：直线 与 垂直， 故直线AB的斜率 ， 则直线 的方程为 ，即 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (1)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ．解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (2)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ． 解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (3)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有3个点到直线 的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线 的距离为 即可, 所以圆心到直线的距离为: ,解得 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (4)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有4个点到直线l的距离都等于1， 所以圆心到直线 的距离小于1， 因此有 . 1.（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（     ） A． B． C． D．2 可化为，圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为，所以.故选：B． 2.（2026·甘肃武威·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足解得， 即直线恒过定点.圆心，半径.圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小.由弦长公式得最小值为. 故的最小值为.故选：C． 3.（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（     ） A．24 B．12 C．10 D．5 求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此.故选：A． 4.（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A． B． C． D． 直线过定点，圆 的标准方程为，则圆心为，半径为． 当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为， 所以直线的斜率为，故，解得．故选：B． $