第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，通过日食现象导入，类比直线与圆的研究方法，系统讲解位置关系判断（代数法、几何法）、相交弦及综合性问题，构建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于以几何直观和逻辑推理为核心，通过实例对比代数法与几何法的优劣，强化数学思维。课堂小结梳理知识清单与方法，随堂演练巩固应用，助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

2.5.2 圆与圆的位置关系 第二章　 §2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 <<< 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.(重点) 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.(难点) 学习目标 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球运行至太阳与地球之间并在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 导 语 一、两圆位置关系的判断 二、相交弦问题 课时对点练 三、圆与圆的综合性问题 随堂演练 内容索引 两圆位置关系的判断 一 1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 联立方程得 一元二次方程， 方程组有两组不同的实数解⇔两圆 ，有一组实数解⇔两圆 ，无实数解⇔两圆 . 相切 相交 外离或内含 2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|= .则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆外离 d>r1+r2   两圆外切 d=r1+r2   位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆相交 |r1-r2|< d<r1+r2   两圆内切 d=|r1-r2|   两圆内含 d<|r1-r2|   判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 注 意 点 <<< 9 (课本例5)　已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 例 1 10 方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得x+2y-1=0，③ 由③，得y=. 把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0.④ 方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2. 解 11 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. 方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25， 圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10， 圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=. 圆C1与圆C2的圆心距为 =3. 解 12 圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+两半径长之差r1-r2=5-. 因为5-<3<5+即r1-r2<3<r1+r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B. 解 13 　(课本例6)　已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 例 1 14 如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0). 解 设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|， 得=× 化简，得x2-12x+y2+4=0，即(x-6)2+y2=32. 所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图). 因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4又r2-r1<|PO|<r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交. 15 　 已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； 例 1 圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x-a)2+(y-1)2=16，C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1. ∴|C1C2|==a. 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切；当|C1C2|=r1-r2=3， 即a=3时，两圆内切. 解 16 (2)相交； 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. 解 (3)外离； 当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. 解 (4)内含. 当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 解 17 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 反 思 感 悟 18 　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是 A.4 B.6 C.16 D.36 跟踪训练 1 √ 圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴=1+，解得a=16. 解析 19 (2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条.  到点A(-1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，-1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|==5. 半径之和为3+1=4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 解析 4 20 二 相交弦问题 已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 例 2 22 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程， 得 由①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3，0)，r=， 解 23 ∴C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5， 即两圆的公共弦长为5. 解 24 (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解方程组 得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)，∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则=， 解得a=，半径为. 故所求圆的方程为+=， 即x2+y2-x+7y-32=0. 解 25 (1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+ F2 =0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y +F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 反 思 感 悟 26 圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为　　　　　　　　　　 　　　　.  跟踪训练 2 (x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0) 27 方法一　由解得 所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1，-1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1). 由 所以所求圆的圆心坐标为(3，-1)， 半径为=4， 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解析 28 方法二　同方法一求得A(-1，-1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 由 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解析 29 圆与圆的综合性问题 三 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 例 3 31 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0， 故=. ② =r. ③ 由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 解 32 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 延伸探究 33 因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切， 且过点(3，-)， 所以 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 解 34 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 反 思 感 悟 35 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判断. (2)两圆的公共弦问题. (3)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是 A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 √ 把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x-1)2+y2=1，圆O2：x2+(y-2)2=4，则O1(1，0)，O2(0，2)，r1=1，r2=2， |O1O2|==<r1+r2，又r2-r1<，所以两圆相交. 解析 1 2 3 4 2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为 A.2 B.-5 C.-2 D.5 √ 圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3， 圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2. 依题意有=3+2， 即m2+3m-10=0， 解得m=2或m=-5. 解析 √ 1 2 3 4 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是 　　　　　　　　　　　　　　　　.  设圆C的半径为r， 圆心距d==5， 当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4； 当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6， 则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36. 解析 (x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 1 2 3 4 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　.  将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y=， 圆心(0，0)到直线的距离d===1， 所以a=1. 解析 1 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A BCD B ABC C 4a2+b2=1 题号 8 11 12 13 14 15 答案 x2+y2+x- y+=0 C ACD A ∪ 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50， C2：(x+1)2+(y+1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5 C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=. 又|C1C2|=2r1+r2=5+r1-r2=5- 所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2，所以两圆相交. (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x=2y-4，③ 把③代入②得y2-2y=0， 解得y1=0，y2=2， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为=2. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3 所以两圆的公共弦长为2=2=2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2， =2，=2，解得k= 所以直线方程为5x-12y+7=0. 综上，所求l1的方程为x=1或5x-12y+7=0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)依题意，设D(a，a+2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|=5， =5， 解得a=-1或a=6. 所以D(-1，1)或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 因为圆C1的方程为+y2=10， 所以圆C1的圆心坐标为C1 因为圆C2与圆C1外切于点N 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y=-所以b=- 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为圆C2过点M且与圆C1外切于点N 所以圆C2的方程为x2+=. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)， 则AB(0，t)， 因为圆C2的方程为x2+= 所以圆C2与y 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以圆心C2m的距离满足<t> <t< ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF，所以EF，AB的中点重合. 所以EF的中点D 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为C2D⊥EF，C2 ·kEF=-1， ×2=-1， 解得t=4满足①式， 所以直线m的方程为y=2x+4， 即2x-y+4=0. 基础巩固 1.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为 A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 √ 由已知，得C1(-2，-4)，r1=5， C2(-2，-2)，r2=3，则圆心距d=|C1C2|=2， 所以d=|r1-r2|，所以两圆内切. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1，0)，圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为=，即x+y-1=0. 解析 3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是 A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=2. A项，圆心C1(-2，-2)，半径r1=3. ∵|C1C|=∈(r1-r，r1+r)，∴两圆相交； B项，圆心C2(2，-2)，半径r2=3， ∵|C2C|=5=r+r2，∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3=5， ∵|C3C|=3=r3-r，∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，-2)，半径r4=7， ∵|C4C|=5=r4-r，∴两圆内切，满足条件. 解析 4.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+ (y+3)2=m(m>0)有公共点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆x2+y2=1的圆心C1(0，0)，半径r1=1，圆(x-4)2+(y+3)2=m的圆心C2(4，-3)， 半径r2=，则|C1C2|==5，两圆有公共点⇔|-1|≤5≤+1，解得16≤m≤36，显然[16，36] [16，+∞). 故“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=m有公共点”的必要不充分条件. 解析 5.(多选)已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y-a)2=9，则下列结论正确的是 A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<-2 B.若圆C1和圆C2外切，则a=±2 C.当a=0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切 D.当a=2时，圆C1和圆C2内含 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C1：(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2，0)，半径r1=1， 圆C2：x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0，a)，半径r2=3，所以|C1C2|=， 若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=4，解得a>2或a<-2，故A正确； 若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|==4，解得a=±2，故B正确； 当a=0时，|C1C2|=2=r2-r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当a=2时，2=r2-r1<|C1C2|=2<r1+r2=4，则圆C1和圆C2相交，故D错误. 解析 6.若直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于 A.1 B. C. D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|=2=2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|=|C1C2|=2， 由勾股定理可得|AB|=|MA|==. 解析 7.已知圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，则实数a，b的关系是　　　　　　.  圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0化为标准方程为(x+2a)2+y2=4， 圆心坐标为(-2a，0)，半径长为2. 圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0化为标准方程为x2+(y-b)2=1， 圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以=2-1=1， 整理得4a2+b2=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4a2+b2=1 8.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y=0的两个交点， 并且有最小面积，则此圆的方程为　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2+y2+x-y+=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4)=0， λ∈R， 即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0， 此时圆心坐标为， 当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小， ∴2(-1-λ)++4=0，解得λ=， 则所求圆的方程为x2+y2+x-y+=0. 解析 9.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系； 将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+ (y+1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=.又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2，所以两圆相交. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求公共弦所在的直线方程； 将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求公共弦的长度. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x=2y-4，　　　　　　　　　　 ③ 把③代入②得y2-2y=0，解得y1=0，y2=2， 所以所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为=2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5，圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3， 所以两圆的公共弦长为2=2=2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以=2，即=2， 解得k=，所以直线方程为5x-12y+7=0. 综上，所求l1的方程为x=1或5x-12y+7=0. 解 (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设D(a，a+2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|=5， 所以=5， 解得a=-1或a=6.所以D(-1，1)或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9. 解 11.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于 A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1，0)，B(1，6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9， 圆C：(x-5)2+(y-6)2=61-m. 因为两圆相切， 所以|CM|=|3±|，即5=|3±|， 解得m=57或m=-3. 解析 12.(多选)若圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-b)2=r2(r>0)，则 A.当b=4时，若圆C1与圆C2有且仅有三条公切线，则r=4 B.当r=4时，若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线，则b的取值范围是(-4，4) C.当r=5时，存在实数b，使得圆C1与圆C2无公切线 D.若存在实数b，使得圆C1与圆C2有且仅有三条公切线，则r的取值范围 是[2，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当b=4时，若两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以|C1C2|=r+1，即=r+1，得r=4，故A正确； 当r=4时，若两圆有两条公切线，则两圆相交，所以4-1<|C1C2|<4+1，即3<<5，解得-4<b<0或0<b<4，故B错误； 当r=5时，若两圆无公切线，则两圆内含，所以|C1C2|<5-1，即<4，解得b2<7，得-<b<，故C正确； 若两圆有三条公切线，则两圆外切，所以|C1C2|=r+1，即=r+1，若存在b使两圆有三条公切线，则r+1=≥3，即r≥2，故D正确. 解析 13.如图，A(2，0)，B(1，1)，C(-1，1)，D(-2，0)， 是以OD为直径的圆上一段圆弧， 是以BC为直径的圆上一段圆弧， 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法错误的是 A.曲线W与x轴围成的图形的面积等于2π B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C. 所在圆的方程为x2+(y-1)2=1 D. 与 的公切线方程为x+y=+1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知点的坐标知，曲线W与x轴围成的图形为一个半圆、两个四分之一圆及一个长方形，且圆的半径都为1，由题意，面积为π×12+2×1= π+2，A错； 解析 由图知，曲线W上除A，B，C，D为整点，还有(0，2)，共5个整点，B对； 由题意得， 所在圆的半径为1，圆心为(0，1)，对应圆的方程为x2+(y-1)2=1，C对； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意， 所在圆的方程为(x-1)2+y2=1，故圆心为(1，0)，由图知， 与 的公切线的斜率存在且为负值， 设为y=kx+m且k<0，m>0，所以 即公切线方程为x+y=+1，D对. 解析 14.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0上存在点P到 点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是　　　　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∪ 因为圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0，所以(x-a)2+(y-a)2=1， 其圆心C(a，a)，半径r=1. 因为点P到点(0，1)的距离为2，所以P点的轨迹为x2+(y-1)2=4. 因为P又在(x-a)2+(y-a)2=1上， 所以圆C与圆x2+(y-1)2=4有交点， 即2-1≤≤2+1， 解得≤a≤0或1≤a≤. 所以实数a的取值范围是∪. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示)， 则R=　　　mm.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N， 点D为线段OO2与圆O2的交点， 则|DE|=h=6，|NE|=10，|O2M|=10，|O2N|=10-|DN|=h=6， 因为∠O1NO2=∠OMO2=90°， ∠O1O2N=∠OO2M， 所以△O1NO2∽△OMO2，所以=， 所以=，解得R=. 解析 16.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 因为圆C1的方程为+y2=10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y=-， 所以b=-， 解 因为圆C2过点M， 且与圆C1外切于点N， 所以解得 所以圆C2的方程为x2+=. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为x2+=， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以圆心C2到直线m的距离满足<且t>， 所以<t<， ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF，所以EF，AB的中点重合. 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以·kEF=-1，即×2=-1， 解得t=4满足①式， 所以直线m的方程为y=2x+4，即2x-y+4=0. 解 第二章　 §2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 <<< $