2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时） （教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖相交、相切、相离三种类型及代数法、几何法判定，通过道路施工、公园景观等现实情境导入，从初中位置关系分类旧知出发，类比两直线研究方法引出代数法，再结合动画观察d与r关系构建几何法学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过代数法（联立方程算Δ）与几何法（d与r比较）对比发展数学思维，题型训练（如求切线方程、弦长）提升数学语言表达能力。小结知识清单与易错提醒清晰，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

第二章 直线与圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 (第1课时) ·选择性必修第一册· 学习目标 理解直线和圆的三种位置关系． 会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 会用代数法来判断直线与圆的位置关系． 能解决直线与圆位置关系的求切线方程、求弦长等综合问题． 目录 CATALOG 01.直线与圆的位置关系 03.应用新知 02.直线与圆相交——弦长的计算 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 01 直线与圆的位置关系 导入新知1：道路施工——圆形转盘与新建道路 某城市新建一个圆形转盘，圆心位于路口中心 O(0,0)，半径 r=30 米。市政规划拟从转盘西侧修建一条笔直道路 l，道路边缘所在直线方程为 4x+3y−120=0。施工前需评估： 问题1：这条道路是否会穿过转盘区域？如果会，是否需要调整路线？请用数学方法给出判断依据。 问题2：如果道路与转盘相交，施工时需要在转盘内预留多长的施工围挡范围（即道路在转盘内的长度）？ 导入新知2：公园景观——圆形水池与观景步道 某公园有一圆形景观水池，中心坐标为 C(2,3)，半径 r=5 米。公园管理处计划在水池边缘某点 P(5,7) 处修建一座观景亭，并从亭子出发修建一条笔直石板步道，要求步道恰好与水池边缘相切（步道不与水池相交，仅在亭子处与水池边缘相接）。 问题1：从亭子出发，可以修建几条满足条件的步道？为什么？ 问题2：你能利用今天所学的知识，帮设计师求出这条步道所在直线的方程吗？ 探究新知 回顾初中知识，我们知道，直线与圆有三种位置关系： (1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，没有公共点． 回顾 在本章2.3.1的学习中， 我们是如何用方程定量计算研究两条直线的位置关系的？ 联立两条直线方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到两直线交点的个数，从而得出两条直线位置关系. 探究新知 类比 类比以上方法， 得出如何用方程定量计算研究直线与圆的的位置关系的方法. 联立直线方程和圆的方程，构成方程组， 方程组解的个数即可得到直线与圆交点的个数， 从而可判断直线与圆的位置关系. 探究新知 例 1： 解析 代数法 探究新知 总结 第 1 步 联立：将直线方程和圆的方程联立 第 2 步 消元：消元得到一元二次方程 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤： 第 3 步 算∆：计算一元二次方程的∆，得出∆的正负性 第 4 步 定论：根据∆的正负性，下结论 探究新知 追问 分析 已判断直线与圆有两个交点，若能求出两个交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长 解析 代数法计算弦长： 计算出直线与圆的两个交点坐标，直接用两点间的距离公式求弦长即可 总结 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断直线与圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断直线与圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断直线与圆的位置关系 02 直线与圆相交——弦长的计算 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 探究新知 思考： 观看以下动画， 思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 探究新知 思考：将以上动画的三个瞬间定格如下： 再次思考是否还有其他方法判断直线与圆的位置关系呢？ 提示 分析下面三个图中的两个量：d与r的大小关系,你会有怎样的结论？ d: 圆心到直线的距离；r：圆的半径 直线与圆 相交 直线与圆 相切 直线与圆 相离 d = r d > r d < r 几何法 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由直线与圆的位置关系求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由直线与圆的位置关系求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线与圆的位置关系求距离的最值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 03 应用新知 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 应用新知 例 1： 解析 探究新知 追问 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 知识小贴士： 分析 根据垂径定理，可以构造一个直角三角形， 然后利用勾股定理即可求得弦长. 解析 探究新知 总结 第 1 步 算r：将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径r. 第 2 步 算d：计算圆心到直线的距离d， 1.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤： 2.几何法计算弦长： 借助垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理求弦长即可 第 3 步 下结论：根据d与r的大小关系，下结论 探究新知 思考：与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么 优点？ 用方程判断是定量计算分析，若相交或相切可以直接求出交点（切点）坐标 思考：例1中两种解法（代数法和几何法）判断位置关系的差异是什么？ 解法1：即代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组，有无实数解的情况判断直线圆位置关系，完全代数的方法，比较容易想到，计算量比较大. 解法2：即几何法是利用图形中的相关几何量(圆心到直线的距离，圆的半径)的大小比较，判断直线与圆位置关系. 利用图形的几何性质，有助于简化计算. 应用新知 例 2： 分析 解析 代数法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.代数法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程∆=0只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 联立算∆：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 计算∆； 第 4 步 列方程：利用∆=0建立方程，求出k，即可求得切线方程 应用新知 例 2： 分析 解析 几何法 探究新知 总结 第 1 步 设斜率k：分斜率“存在”与“不存在”两种情况讨论； 第 2 步 写方程：用点斜式写出直线的方程:y−y0=k(x−x0)； 1.几何法求过圆外一点P(x0,y0)的切线方程： 2.注意事项： ① 过圆外一点的切线一定会有两条 ② 若解方程d=r只有一个解，说明另一解就是斜率k不存在 第 3 步 算d和r：计算圆心到直线的距离d和圆的半径r； 第 4 步 列方程：利用d=r建立方程，求出k，即可求得切线方程 04 题型强化训练 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 重要题型专练 题型一 判断直线与圆的位置关系 例题 解析 重要题型专练 题型二 求弦长、根据弦长求参数值 例题 解析 重要题型专练 题型二 求弦长、根据弦长求参数值 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题1 法一 重要题型 题型三 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 例题 法二 应用新知 方法总结 代数法 几何法 根据直线与圆的位置关系求参数（值）范围 联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程， 利用建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 求圆心到直线的距离d和圆心半径r， 利用 建立不等式（方程），即可解出参数的范围（值） 重要题型 题型四 求过圆上一点的圆的切线方程 例题 法一 重要题型 题型四 求过圆上一点的圆的切线方程 例题 法二 应用新知 方法总结 法一 法二 求过圆上一点P的圆C的切线方程 先判断点P在圆上，则点P为切点；然后用切点和圆心坐标，求直线PC的斜率；然后利用切线与直线PC垂直，求出切线斜率；最后用点斜式即可求切线方程. 设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程， 利用建立方程，求出k的值，最后最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程无解，则说明切线斜率不存在. 重要题型 题型五 求过圆外一点的圆的切线方程 例题 解析 应用新知 方法总结 求过圆外一点P的圆C的切线方程 第一步：设切线的斜率为k，点斜式写出切线方程 第二步：求圆心到切线的距离（含k的式子）； 第三步：利用（相切）建立方程，求出k的值 第四步：最后用点斜式即可求切线方程. 注意：若方程只有一个解，则说明有一条切线的斜率不存在. 05 真题感知 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第93页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系》.  2.5.1 直线与圆的位置关系(第1课时) 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） 课后作业答案 练习（第93页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（26-27高三·全国·一轮复习）直线 与圆 的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2.（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C： 与直线 ： ，则圆C与直线 的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故选：A. 5.（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线 与圆心为 的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离，所以该圆的半径的取值范围是.故选:A. 3.（25-26高二上·安徽六安·期末）已知 ，直线 ，则直线 与 的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【详解】将代入直线中有， 解得，所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交，故选：A 4.（25-26高二上·广东湛江·期末）直线 ： 与圆C： 的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交.故选:A. 6.（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆 ，直线 ，则圆上到直线 的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】由题知圆的圆心为， 半径为，圆心到直线的距离为，因为，，所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2.故选：B 7.（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线 与圆 相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交，所以， 化简得.故选：C. 8.（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆 上至少有 个点到直线 的距离等于 ，则半径 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即，圆心到直线的距离为， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即，则半径的取值范围是.故选：A. 9.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知 ，则圆 上任意一点到直线 的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5.故选：C. 10.（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆 ： ，直线 ： ，设 为圆 上的一动点，则 点到直线 的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【详解】由题意得圆心，半径为3，因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离，所以点到直线的最大距离为．故选：C. 直线 与圆 的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 圆 ，即 ， 其圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线 的距离 ， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C （1）直线 与圆 交于 两点，则弦 的长（    ） A． B． C． D． 设圆 的圆心为 ，半径 ， 因为 到直线 的距离 ， 所以 . （2）已知直线 与圆 交于 两点，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 圆 的圆心 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ，则 ， 而 ，所以 ，解得： . 故选：A. 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 将直线 代入圆的方程,得 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT , ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知直线方程 ,圆的方程 .当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2. 圆心(2,1)到直线 的距离 . ∴当 ,即 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点; 当 ,即 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 又 ，所以 ， 易知 在圆 上，且直线l与圆相切 所以 ，所以 所以，所求切线方程为： ，即 已知过点P(2,2) 的直线l与圆 相切,求直线l的方程. 圆 的圆心坐标 ，半径 ， 设过点 的直线的斜率为 ， （1）当k不存在时，直线l为： ，易知与圆不相切，不符合题意； （2）当k存在时，则直线方程 ，即 ，由于直线和圆相切，故 ，得 ， 所以，所求切线方程为： ，即 过点M（2，4）向圆 引切线，求其切线的方程． 由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外． 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，故 ，解得 ． 所以切线方程为24x－7y－20＝0． 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切． 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2． 1.（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 由题知，圆的圆心为，半径为，因为点在圆外， 所以，则，到直线的距离， 所以直线与圆相交．故选：C. 2.（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 直线：可变形为：， 令系数为0，则，解得，直线恒过定点， 圆C：的标准形式为，是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交．故选：C. 3.（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆上的点到直线的距离为1，则满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为圆的半径为，则劣弧的中点到直线的 距离为，故到直线的距离为1的点共有4个.故选：D.    4.（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）（多选题）已知圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点在圆内 B．圆的圆心坐标为，半径为 C．圆与轴交于点，则 D．直线：与圆相切，则 对于A，根据点与圆的位置关系，将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确；对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得，所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确；对于D，因为直线：与圆相切，所以，解得，所以D错误.故选：ABC $