第25章 专题1 十字相乘法、一元二次方程解法综合 课堂练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以十字相乘法为基础，系统构建一元二次方程解法选择体系，通过分类归纳与分层训练培养运算能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |学习新知|知识点1(4题)、知识点2(4题)|按系数特征分类：b=0用直接开平方法，c=0用因式分解法，b为偶数用配方法，结合十字相乘法和公式法|从单一方法（十字相乘法）到综合解法选择，形成“方法-应用”逻辑链| |过关检测|基础(4题)、能力(2题)、拓展(1题)|换元法降次体现转化思想|基础巩固解法选择，能力提升综合应用，拓展渗透数学思维，构建“基础-能力-拓展”递进逻辑|

第25章专题1十字相乘法、 程解法综合 学习新知 知识点1十字相乘法 1.用十字相乘法解方程：x十7x+12=0 2.用十字相乘法解方程：x-11x-12=0. 3.解方程：2x2-5x-3=0 4.解方程：3x2-7x十2=0 一元二次方 1/9 知识，点2用适当的方法解一元二次方程Qx2+bx十c=0 类型1若b=0,用直接开平方法 5解方程：×0 类型2若c=0,用因式分解法 6.解方程：2x2-V2x=0. 类型3若a=1，b为偶数，用配方法 7.解方程：x-4x-1=0. 类型4十字相乘法或公式法 8.解方程：x2-X-72=0. 总结： 219 解一元二次方程Qx2十bx十c=0a≠0的方法选择： (1)当b=0,即Qx2十c=0时，用直接开平方法： (2)当c=0,即ax十bx=0时，用因式分解法： (3)当a=1,b为偶数时，用配方法： (4)十字相乘法（部分题适用）： (⑤)公式法(“万能法”，可解所有一元二次方程 过关检测 一、基础训练 9.解方程：10001+x2=1440. 10.解方程：48x-4x2=44. 11.将方程x2-2x=2配成x十a2=k的形式，方程两边需加上（) A.1B.2C.4D.-1 319 12.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x-9x十18=0的两个 根，则该三角形的周长是() A.9B.15C.12或15D.不能确定 二、能力训练 13解方程： 2xx-1=15. 14.解方程：8-2x6-2x=24 三、拓展训练 15.【换元法】阅读下列材料： 【提出问题】 解方程：x6x2十5=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的 4/9 解法通常是： 设x=y,那么x=y,于是原方程可变形为y-6y+5=0,解得 y1=1,y2=5 当y=1时，x=1,故x=±1；当y=5时，x2=5,故x=±V5 所以原方程有四个根：x1=1,x2=-1,X3=5,x4=-V5 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 【解决问题】 (①解方程(X-x+4Xx-12=0时，若设y=X-x,则原方程可转化为 并求出x; (②)利用换元法解方程：1.6x+2=0 2xx2-1 答案 1.解：x+3x+4=0 x+3=0,或x+4=0, X1=-3,X2=-4 5/9 2.解：x-12x+1=0.x-12=0,或x+1=0,x1=12,x2=-1 3.解：2x+1x-3=0 2x+1=0?或x-3=0: 1 X=2’x2=3. 4解：3x-1x-2=03x-1=0,或x-2=0,X=有×=2 5解：整理，得= 由此可得x生存 即X之吃 1 6.解：因式分解，得x2x-2=0.于是得x=0,或2x-V2=0, 2 即X1=0，X2=2· 7.解：移项，得x-4x=1. 配方，得x2-4x+2=1+2, 即x-22=5. 由此可得x-2=±5， 即x1=5+2,X2=-V5+2 8.解：x-9川x+8=0.x-9=0,或x+8=0,x1=9,x2=-8 9.解：整理，得1+x=1.44 6/9 由此可得1+x=±1.2， 1+x=1.2,或1+x=-1.2, 即X1=0.2,x2=-2.2 10.解：方程化为4x2-48x+44=0.x2-12x+11=0.x-1x-11=0.x-1=0,或 x-11=0,.x1=1,x2=11 11.A 12.B 13.解：方程化为x-x-30=0.因式分解，得x+5x-6=0.于是得x+5=0, 或x-6=0,即x1=-5,X2=6 14.解：方程化为x2-7x+6=0.因式分解，得x-1x-6=0.于是得x-1=0, 或x-6=0,即x1=1,X2=6. 15.解：(1)原方程可变形为 y2+4y-12=0, 解得y1=2,y2=-6 当y=2时，x2-X=2, 解得X1=-1,X2=2: 当y=-6时，x-x=-6, 719 即x-x+6=0, △=b2-4ac=1-4×1×6=-23<0, 方程无实数根 .原方程有两个根：X,=-1,X,=2 故答案为y+4y-12=0 四设安 6x=3 x2-1y1 :原方程可变形为y3+2=0, y 解得y1=1,y2=-3. 经检验，y1=1和y2=-3都是原分式方程的根 当y=1时， X2-1=1, 2x 解得x=1+V2,x2=1-2: X-1=-3, 当y=-3时，2x 解得为3=-3+10，x4=-3-V10 经检验，X1’X2,X3,X4均是方程的根， ∴.x1=1+V2,x2=1-/2, x3=-3+10,x4=-3-10. 819 616