精品解析：湖北新八校2026-2027学年高三上学期8月联考数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，集合，而， 因为，所以. 2. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 因为z为纯虚数，所以，解得. 3. 在长方形中，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在长方形ABCD中，且. 因为，所以且. 因此，相似比为. 所以. 又因为，所以. 4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】五名同学全排列的基本事件总数为. 利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有种方式， 该整体与其余三人共4个元素全排列有种方式， 故甲与乙相邻的事件数为. 所求概率为. 6. 已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即，即， 可得，即必要性成立； 反之，若“”可得，即， 可得，可知，但角可能为钝角，所以充分性不成立； 故选：B 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知函数关于点中心对称，关于直线轴对称，且是周期为4的周期函数，结合题中函数值和解析式可得，进而分析求解即可. 【详解】因为为奇函数，则， 可知函数关于点中心对称， 令，则，即； 又因为为偶函数，则， 可知函数关于直线轴对称； 可得. 可知是周期为4的周期函数，则， 因为，可得， 当时，， 可得，解得，满足且. 故当时，. 因为，则， 由于，所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. ， B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 11. 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线方程确定准线方程判断A，根据抛物线的定义及焦点弦、通径的性质判断B，由题设，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求三角形面积判断C，设，过抛物线上一点的切线方程写出两条切线方程并联立求出交点横坐标判断D. 【详解】 A：由，得，焦点为，准线方程为，故A正确； B：由抛物线定义，而为抛物线的焦点弦， 根据抛物线的性质，焦点弦中通径的长度最短，即， 当且仅当直线垂直于轴时为通径长，则最小值为8，故B正确； C：直线倾斜角为，其方程为，代入，得， 设，则， ， 则的面积为，故C错误； D：若，则点处的切线方程为，点处的切线方程为， 其中且均不为0，，，联立两切线方程， 消去得，则交点的横坐标①， 因为直线过焦点，则，联立，则， 所以，代入①得，故两切线的交点恒在定直线（即抛物线准线）上，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据化简得，根据化简得，从而计算可解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为且，所以. 由前4项和公式与题设得. 又，所以. 故. 13. 已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设出公共切点坐标，利用在该点处两函数值相等且导数值相等列出方程组，通过代入消元并构造辅助函数利用其单调性求出唯一的切点横坐标，最终代回解出参数的值. 【详解】设公共切点的坐标为，其中， 求导得， 由在公共点处切线相同，得 由第二式得， 代入第一式得， 化简得，设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 且，所以方程有唯一实根， 将代入的表达式中，得. 14. 正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四面体底面中心到顶点距离与体高，由得到动点在底面的轨迹是半径为1的圆；利用向量分解，消去垂直底面的，把异面直线夹角余弦转化为底面向量与夹角的表达式，结合的取值范围求得的范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设正的中心为，连接， 因为为正四面体，所以平面， 在正中，边长为，外接圆半径为， 在Rt中，正四面体的高为， 在Rt中，因为，，所以， 所以点在平面内的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因为平面，且平面，所以， 所以， 设在平面内向量与的夹角为， 则， 由异面直线所成角的定义得， 因为，所以，从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. （1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； （2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用全概率公式，即可求解； （2）利用（1）中结果，再由条件概率公式和贝叶斯公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件、、分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件表示抽取的AI模型存在代码漏洞， 由题设条件可知，， ， 由全概率公式得 . 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，则， 又因为且，则， 且，且PC、平面，则平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面，即可得面面垂直； （2）设，则，设，，建立空间直角坐标系，根据面面夹角可得，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，设，， 以为坐标原点，分别以、的方向为轴、轴正方向， 过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 平面的法向量可取. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则，可知， 可得，解得， 可得，且点是PB的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 设直线PD与平面所成角为， 则， 所以直线PD与平面所成角的正弦值为. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，代入已知等式推出，再利用余弦定理化简得出，即可求解； （2）由余弦定理可求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得. 代入已知等式， 得. 由于，所以. 因为，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得. 将与代入上式得. 故的面积为. 18. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【小问1详解】 由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）对，都有，求实数的取值范围； （3）设数列的通项公式为，为数列的前项的和，证明：（）. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）首先证明右边不等式： 设，求导得. 所以，即. 当时，令，得. 当时，成立； 当时，. 综合得. 接下来证明左边不等式： 构造函数， 求导得 . 当时，，所以在上单调递增， 因此对任意，有，即. 令，则, 将上述不等式对累加得 即. 综上，原不等式获证 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值范围，判断导数的正负，即可求解； （2）分和两种情况讨论，结合函数的最值情况判断，是否都有，即可求解； （3）构造函数，利用单调性推出，再进行变量代换，结合数列的累加求和，即可证明，同样可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得. （ⅰ）当时，对任意，都有，即， 所以在上单调递增； （ⅱ）当时，令，解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知： （ⅰ）若，当时，， 故，不满足对任意均有； （ⅱ）若在处取得最小值，最小值为. 由题意需满足. 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在长方形中，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为5 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相离 D. 直线被圆截得的弦长最小值为 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. ， B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 11. 已知抛物线：，焦点为，过的动直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的有（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 的最小值是8 C. 若直线倾斜角为60°，则面积为（是坐标原点） D. 抛物线在、两点处的切线的交点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 13. 已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 14. 正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. （1）求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； （2）如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，，求的面积. 18. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）对，都有，求实数的取值范围； （3）设数列的通项公式为，为数列的前项的和，证明：（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $