专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角三大核心模型（A字、8字、燕尾），构建"模型原理-证明推导-变式应用"的完整方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型|1例+4变式|外角性质推导∠1+∠2=∠A+180°等结论|从三角形内角和延伸至外角关系，结合折叠问题深化应用| |8字模型|1例+4变式|基础型∠A+∠B=∠C+∠D，角平分线型2∠P=∠B+∠D|通过对顶角构建角等量关系，拓展角平分线综合应用| |燕尾模型|1例+4变式|凹四边形∠BCD=∠A+∠B+∠D，角平分线型∠O=(∠A+∠C)/2|作辅助线转化为三角形问题，结合实际场景（零件检验）提升应用意识|

专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 模型说明：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，， 即， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东阳江·月考）[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于．现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题： 【问题引入】 （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，则________度． 【类比探究】 （2）如图2，在中，，剪去后得到一个四边形，则______度． 【归纳总结】 （3）根据（1）与（2）的思考和解答过程，请你猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【知识拓展】 （4）如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到与，那么和的数量关系为___________． 【答案】（1）270；（2）220；（3），证明见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由平角的定义可推出，据此可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）由（3）的结论可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （4）由（3）可得， ∴． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 模型说明： 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明：，， ； （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3）． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型说明： 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键． 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴ ， ∵这个零件， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 【变式3-2】（25-26八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题． 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示． (1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程． (2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示） 【答案】(1)不合格，见解析 (2) 【分析】（1）利用外角的性质求出后即可判断模具是否合格； （2）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义和平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格 如图延长交于点． ， ， 又 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法2：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接并延长至． 则， ． 又，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法3：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接． 在中，，且， ， ，， ， 在四边形中，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． （2） 又， 又与两个角的平分线交于点 ， ． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南安阳·月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，为延长线上一点，于，交于，若，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和求出，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 设与交于点，与交于点，根据三角形外角的性质得出，，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，即可得解． 【详解】如图，设与交于点，与交于点， ， ． ． ，， ． 故选： 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（   ）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，，进而即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：D． 5．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数（用表示），利用和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论． 【详解】延长，交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中， ， 增加； 故选． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． 延长交于点，由邻补角可得，由三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·重庆綦江·月考）如图，点D在的延长线上，于点E，交于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，由垂直，结合已知，求得，利用对顶角相等，三角形外角性质，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质，三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义理解，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理． 8．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，，则的度数为 ． 【答案】/280度 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 根据外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行角的转化计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，连接并延长至点D，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质和三角形内角和定理，理解图示是解决本题的关键． 连接，根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ． 13．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质． （1）在和中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导； （2）先在中得到与的关系，再在中利用三角形内角和定理来求解； （3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出，与之间的关系． 【详解】（1）证明：∵和的内角和都为， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， 在中，， ∴． （3）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，；；，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 模型说明：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川自贡·月考）如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东阳江·月考）[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于．现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题： 【问题引入】 （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，则________度． 【类比探究】 （2）如图2，在中，，剪去后得到一个四边形，则______度． 【归纳总结】 （3）根据（1）与（2）的思考和解答过程，请你猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【知识拓展】 （4）如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到与，那么和的数量关系为___________． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 模型说明： 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【变式2-2】（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型说明： 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题． 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示． (1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程． (2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示） 【变式3-3】（25-26八年级上·河南安阳·月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，为延长线上一点，于，交于，若，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（   ）度． A．90 B．60 C．50 D．40 5．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是 7．（25-26七年级上·重庆綦江·月考）如图，点D在的延长线上，于点E，交于点F，若，，则的度数为 ． 8．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是 ． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，，，，求的度数． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，求的度数． 13．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 14．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 15．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $