第三章 整式及其加减 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷针对北师大版七年级上册第三章“整式及其加减”，通过基础题与综合题的梯度设计，融入航天科技、生活调运等真实情境，落实运算能力、模型意识等核心素养，适用于单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数式表示、整式分类、同类项|如第7题结合多项式化简考查分类讨论，第9题以欧拉记号引入函数思想| |填空题|5/20|整式求值、规律探究|如13题三行数规律求和，15题通过“变换”规则考查推理意识| |解答题|7/70|化简求值、几何与实际应用|20题结合火箭截面计算面积（几何直观），22题调运问题构建代数式模型（应用意识）|

第三章 整式及其加减 单元测试题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．“a与1的差的2倍”用代数式可以表示为（　　） A．2a﹣1 B．a﹣1×2 C．2（a﹣1） D．2（1﹣a） 2．代数式，2x+y，，，，中整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列说法中，错误的是（　　） A．多项式x2+x﹣1的常数项为﹣1 B．单项式的系数是，次数是3 C．多项式2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 D．单项式m的次数为1，无系数 4．下列运算错误的是（　　） A．a3+a3＝2a3 B．2ab+3ab＝5ab C．4a2﹣a2＝3a2 D．3ab﹣2ab＝1 5．若x2a﹣5b与为同类项，则4a﹣10b+6的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 6．下列说法正确的是（　　） A． B． C．﹣19是代数式，也是整式，也是单项式 D．把3a2﹣6+4a3﹣a按a降幂排列是4a3、3a2、﹣a、﹣6 7．已知m，n为常数，代数式2x4y+mx5﹣ny+xy化简之后为单项式，则m+n的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 8．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，按图1和图2两种方式放置于同一个正方形中．记图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 9．历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示．例如，对于多项式f（x）＝mx3+nx﹣5，当x＝3时，多项式的值为f（3）＝27m+3n﹣5，若f（3）＝7，则f（﹣3）的值为（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣17 D．17 10．将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知x＝﹣5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 　　 ． 12．为加强节水意识，某市采用如下收费标准：不超过12立方米时，每立方米3元，超过12立方米时，超出的部分每立方米5元．设某用户月用水量为x立方米，水费为y元．若该用户某月预算水费40元，实际水费33元，则该用户本月实际用水比预算少用了　　 立方米． 13．观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①；0，6，﹣6，18，﹣30，66，…②； ﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…③，取每行数的第10个数，则这三个数的和是 　　 ． 14．已知a+b＝2025，c﹣d＝2024，则代数式的值为　　 ． 15．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3．若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之积为 　　 ． 三．解答题（共7小题，共70分） 16．化简：（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2）； （2）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]． 17．先化简，再求值： （1）2a2﹣b2+（2b2﹣a2）﹣（a2+2b2），其中a，b＝3； （2）5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y），其中x，y＝﹣1． 18．已知多项式Ay2﹣xy+1，B＝﹣2y2+2xy﹣12x． （1）化简：2A+B； （2）当x，y＝﹣2时，求2A+B的值． 19．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简：3|a|+|c﹣a|﹣2|c﹣b+a|+5|a+b|． 20．2025年10月31日23时44分，长征二号F遥二十一运载火箭从酒泉卫星发射中心点火发射，将神舟二十一号载人飞船精准送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．长征二号F运载火箭被誉为“神箭”，是我国现役唯一一型载人运载火箭．同学们倍受鼓舞，绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含有a，b的代数式表示该截面的面积S； （2）当a＝3cm，b＝2cm时，求这个截面的面积． 21．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）4节链条长 　　 cm； （2）n节链条长 　　 cm； （3）现有50节这样的链条，那么链条总长度是多少？ 22．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　　 辆，乙仓库调往A县农用车 　　 辆、乙仓库调往B县农用车 　　 辆．（用含x的代数式表示） （2）该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的运费分别是多少．（用含x的代数式表示） （3）求当x＝6时，公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费． 参考答案 第三章 整式及其加减 单元测试题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．“a与1的差的2倍”用代数式可以表示为（　　） A．2a﹣1 B．a﹣1×2 C．2（a﹣1） D．2（1﹣a） 【解答】解：“a与1的差的2倍”用代数式可以表示为2（a﹣1）， 故选：C． 2．代数式，2x+y，，，，中整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：由题意得，2x+y，，，是整式， ，是分式， 故选：B． 3．下列说法中，错误的是（　　） A．多项式x2+x﹣1的常数项为﹣1 B．单项式的系数是，次数是3 C．多项式2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 D．单项式m的次数为1，无系数 【解答】解：A．∵多项式x2+x﹣1的常数项为﹣1，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵单项式的系数是，次数是3，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵多项式2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； D．∵单项式m的次数为1，系数为1，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列运算错误的是（　　） A．a3+a3＝2a3 B．2ab+3ab＝5ab C．4a2﹣a2＝3a2 D．3ab﹣2ab＝1 【解答】解：∵a3+a3＝2a3，原运算正确，故此选项不符合题意； 2ab+3ab＝5ab，原运算正确，故此选项不符合题意； 4a2﹣a2＝3a2，原运算正确，故此选项不符合题意； 3ab﹣2ab＝ab≠1，原运算错误，故此选项符合题意． 故选：D． 5．若x2a﹣5b与为同类项，则4a﹣10b+6的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：由同类项的定义可知2a﹣5b＝2， 解得b， ∴4a﹣10b+610． 故选：B． 6．下列说法正确的是（　　） A． B． C．﹣19是代数式，也是整式，也是单项式 D．把3a2﹣6+4a3﹣a按a降幂排列是4a3、3a2、﹣a、﹣6 【解答】解：A．y，故该选项不正确，不符合题意． B．代数数不是整式，更不是一个多项式，故该选项不正确，不符合题意． C．﹣19是代数式，也是整式，也是单项式，故该选项正确，符合题意． D．把3a2﹣6+4a3﹣a按a降幂排列是4a3、3a2、﹣a，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 7．已知m，n为常数，代数式2x4y+mx5﹣ny+xy化简之后为单项式，则m+n的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【解答】解：由题意可知，需要分两种情况： ①当2x4y，mx5﹣ny为同类项时， ∴m＝﹣2，n＝1， 此时m+n＝﹣1． ②mx5﹣ny，xy为同类项时， ∴m＝﹣1，n＝4， 此时m+n＝3． 故选：C． 8．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，按图1和图2两种方式放置于同一个正方形中．记图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：由图1可知大正方形的边长为a+c， ∵图1和图2放置于同一个正方形中． ∴图2中最大正方形的边长为a+c， ∴图2中两个阴影长方形的长均为a+c﹣b，宽均为c， ∴S2＝2c（a+c﹣b）+c2＝2ac+2c2﹣2bc+c2， S1＝（a+c）2﹣a2﹣c2＝a2+c2+2ac﹣a2﹣c2＝2ac， ∵S1＝S2， ∴2ac＝2ac+2c2﹣2bc+c2， ∴2c2﹣2bc+c2＝0， ∴3c2﹣2bc＝0， ∴3c＝2b， ∴， 故选：A． 9．历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示．例如，对于多项式f（x）＝mx3+nx﹣5，当x＝3时，多项式的值为f（3）＝27m+3n﹣5，若f（3）＝7，则f（﹣3）的值为（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣17 D．17 【解答】解：∵f（3）＝27m+3n﹣5，f（3）＝7， ∴27m+3n﹣5＝7， ∴27m+3n＝12， ∴f（﹣3）＝m×（﹣3）3+（﹣3）n﹣5 ＝﹣27m﹣3n﹣5 ＝﹣（27m+3n）﹣5 ＝﹣12﹣5 ＝﹣17． 故选：C． 10．将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【解答】解：第1个图中正方形有3×1﹣2＝1个， 第2个图中正方形有3×2﹣2＝4个， 第3个图中正方形有3×3﹣2＝7个， 第4个图中正方形有3×4﹣2＝10个， … ∴第n个图中正方形有（3n﹣2）个， 当n＝6时，3n﹣2＝3×6﹣2＝16个． ∴…按照这样的规律，图6中共有正方形16个． 故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知x＝﹣5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为 　﹣23　 ． 【解答】解：原式＝3（x+y）﹣4xy， ∵x＝﹣5﹣y，xy＝2， ∴x+y＝﹣5， ∴原式＝3×（﹣5）﹣4×2 ＝﹣15﹣8 ＝﹣23， 故答案为：﹣23． 12．为加强节水意识，某市采用如下收费标准：不超过12立方米时，每立方米3元，超过12立方米时，超出的部分每立方米5元．设某用户月用水量为x立方米，水费为y元．若该用户某月预算水费40元，实际水费33元，则该用户本月实际用水比预算少用了　1.8　 立方米． 【解答】解：当水费为40元时， 因为12×3＝36元＜40元， 所以用水量超过12立方米， 设预算用水量为x立方米， 12×3+5×（x﹣12）＝40， 解得：x＝12.8， 当水费为33元时，因为33＜36元， 所以用水量未超过12立方米． 设实际用水量为y立方米， 根据收费标准列方程：3y＝33，y＝11， 预算用水量为12.8立方米，实际用水量为11立方米， 所以少用的量为：12.8﹣11＝1.8（立方米）． 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.8立方米． 故答案为：1.8． 13．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…② ﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…③ 取每行数的第10个数，则这三个数的和是 　2562　 ． 【解答】解：由题目中的数字可得， 第①行中的第n个数为（﹣2）n， 第②行中的第n个数为（﹣2）n+2， 第③行中的第n个数为（﹣2）n， 则第①行的第10个数是（﹣2）10，第②行的第10个数是（﹣2）10+2，第③行的第10个数是（﹣2）10， ∵（﹣2）10+（﹣2）10+2+（﹣2）10 ＝1024+1024+2+1024 ＝1024+1024+2+512 ＝2562， 故答案为：2562． 14．已知a+b＝2025，c﹣d＝2024，则代数式的值为　4042　 ． 【解答】解： ＝a+b﹣5+c﹣d﹣2 ＝a+b+c﹣d﹣7， ∵a+b＝2025，c﹣d＝2024， ∴原式＝2025+2024﹣7＝4042． 故答案为：4042． 15．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3．若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之积为 　18　 ． 【解答】解：当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之积为2×9＝18． 故答案为：18． 三．解答题（共7小题，共70分） 16．化简：（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2）； （2）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]． 【解答】解：（1）原式＝4a2﹣3a﹣1+4a﹣4a2 ＝a﹣1； （2）原式＝﹣2mn+6m2﹣m2+5（mn﹣m2）﹣2mn ＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn ＝mn． 17．先化简，再求值： （1）2a2﹣b2+（2b2﹣a2）﹣（a2+2b2），其中a，b＝3； （2）5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y），其中x，y＝﹣1． 【解答】解：（1）2a2﹣b2+（2b2﹣a2）﹣（a2+2b2） ＝2a2﹣b2+2b2﹣a2﹣a2﹣2b2 ＝﹣b2； 当a，b＝3时， 原式＝﹣32 ＝﹣9； （2）5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y） ＝15x2y﹣5xy2﹣xy2﹣3x2y ＝12x2y﹣6xy2； 当x，y＝﹣1时， 原式＝12×（）2×（﹣1）﹣6（﹣1）2 ＝﹣3﹣3 18．已知多项式Ay2﹣xy+1，B＝﹣2y2+2xy﹣12x． （1）化简：2A+B； （2）当x，y＝﹣2时，求2A+B的值． 【解答】解：（1） ＝3y2﹣2xy+2﹣2y2+2xy﹣12x ＝y2+2﹣12x； （2），y＝﹣2时， ＝4+2﹣6 ＝0． 19．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简：3|a|+|c﹣a|﹣2|c﹣b+a|+5|a+b|． 【解答】解：由数轴可知，a＜0＜c＜b， ∵|a|＝|b|， ∴a+b＝0，c﹣a＞0，c﹣b+a＜0， ∴原式＝﹣3a+c﹣a﹣2（﹣c+b﹣a） ＝﹣3a+c﹣a+2c﹣2b+2a ＝﹣2a﹣2b+3c ＝3c 20．2025年10月31日23时44分，长征二号F遥二十一运载火箭从酒泉卫星发射中心点火发射，将神舟二十一号载人飞船精准送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．长征二号F运载火箭被誉为“神箭”，是我国现役唯一一型载人运载火箭．同学们倍受鼓舞，绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用含有a，b的代数式表示该截面的面积S； （2）当a＝3cm，b＝2cm时，求这个截面的面积． 【解答】解：（1）该截面的面积Sab+a•2a（a+2a）•b ＝（2a2+2ab）cm2． （2）当a＝3cm，b＝2cm时， 这个截面的面积＝2×32+2×3×2＝2×9+12＝18+12＝30（cm2）． ＝﹣6． 21．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）4节链条长 　7.6　 cm； （2）n节链条长 　（1.7n+0.8）　 cm； （3）现有50节这样的链条，那么链条总长度是多少？ 【解答】解：（1）根据图形可得出： 2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8cm， 3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2cm， 4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6cm． 故答案为：7.6cm； （2）由（1）可得n节链条长为：2.5n﹣0.8（n﹣1）＝（1.7n+0.8）cm． 故答案为：1.7n+0.8； （3）1.7×50+0.8＝85.8厘米， 所以50节这样的链条总长度是85.8厘米． 22．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　（12﹣x）　 辆，乙仓库调往A县农用车 　（10﹣x）　 辆、乙仓库调往B县农用车 　（x﹣4）　 辆．（用含x的代数式表示） （2）该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的运费分别是多少．（用含x的代数式表示） （3）求当x＝6时，公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费． 【解答】解：（1）设从甲仓库调往A县农用车x辆，甲仓库共12辆，故甲仓库调往B县农用车（12﹣x）辆， A县共需10辆，故乙仓库调往A县农用车（10﹣x）辆，乙仓库共6辆，乙仓库调往B县农用车6﹣（10﹣x）＝（x﹣4）辆， 故答案为：12﹣x，10﹣x，x﹣4； （2）到A县的总运费：40x+30（10﹣x）＝（10x+300）元， 到B县的总运费：80（12﹣x）+50（x﹣4）＝（760﹣30x）元； （3）公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费＝10x+300+760﹣30x＝﹣20x+1060， 当x＝6时，原式＝﹣20×6+1060＝940， ∴到A、B两县所需要的总运费为940元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $