专题06函数的值域专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数值域求法，构建“解法汇总-知识归纳-典例应用”三阶体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心解法|7类方法|分离常数法、基本不等式法等7种核心方法，含二次函数闭区间最值分类讨论|从基本方法到特殊函数（绝对值、取大取小函数）的应用拓展| |知识点归纳|9项归纳|基本初等函数值域结论，配方法、换元法等操作步骤|概念生成（值域定义）→原理推导（方法依据）→应用场景（函数类型）| |典型例题|5例+变式|覆盖选择、填空、解答题型，含综合函数值域问题|以题载法，体现方法迁移与易错点突破|

专题6 函数的值域 一、核心解法汇总 1.常见的求值域方法 （1）分离常数法 （2）基本不等式法 （3）换元法 （4）函数单调性法 （5） 有界性法 （6） 配方法 （7） 图象法 2.二次函数函数的闭区间上的最值 （1） 函数在上最大值有三种情况 （2）函数在上最小值有三种情况 （3） 函数在上最小值有两种情况 （4）函数在上最大值有两种情况 3.判别式法求最值 4.绝对值函数的值域和最值 （1） （2） 5. 取大（小）函数 （1）谁大取谁函数图象是各函数最上层部分组合 （2）谁小取谁函数图象是各函数最下层部分组合 二、知识点归纳 1、基本初等函数的值域结论 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为； 当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 2、配方法：将二次函数配方成； 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 3、分离常数法：观察函数类型，型如； 对函数变形成形式；求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 4、换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 5.基本不等式法：型如或的函数；配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，得函数的值域 6.二次函数闭区间上的最值（含参分类讨论见专题03二次函数与一元二次方程根的分布） 7.图象法（见例题） 8. 判别式法（见例题） 9.取大（取小）函数（见例题） 【典型例题】 【例1】求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1】函数的值域是_________. 【例2】求函数在区间的最大值？ 【变式2】已知函数，则它的值域为________ 【例3】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式3】函数的值域为__________． 【例4】作出下列函数的图象，并写出函数的值域： （1） ； （2）． 【变式4】（单选题）已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【例5】（单选题）若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式5】（填空题）函数的值域是______． 【练 习】（1-7单选题） 1.函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.函数的最大值与最小值的和是（ ） A． B． C． D． 5.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6.已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（多选题）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 9.（多选题）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 10.（填空题）求函数的值域_____. 11.（填空题）已知函数的值域为，，则的取值范围是_____ 12.求下列函数的值域 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 13.已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 函数的值域 一、核心解法汇总 1.常见的求值域方法 （1）分离常数法 （2）基本不等式法 （3）换元法 （4）函数单调性法 （5） 有界性法 （6） 配方法 （7） 图象法 2.二次函数函数的闭区间上的最值 （1） 函数在上最大值有三种情况 （2）函数在上最小值有三种情况 （3） 函数在上最小值有两种情况 （4）函数在上最大值有两种情况 3.判别式法求最值 4.绝对值函数的值域和最值 （1） （2） 5. 取大（小）函数 （1）谁大取谁函数图象是各函数最上层部分组合 （2）谁小取谁函数图象是各函数最下层部分组合 二、知识点归纳 1、基本初等函数的值域结论 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为； 当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 2、配方法：将二次函数配方成； 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 3、分离常数法：观察函数类型，型如； 对函数变形成形式；求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 4、换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 5.基本不等式法：型如或的函数；配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，得函数的值域 6.二次函数闭区间上的最值（含参分类讨论见专题03二次函数与一元二次方程根的分布） 7.图象法（见例题） 8. 判别式法（见例题） 9.取大（取小）函数（见例题） 【例1】求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）. （1）一次函数，定义域为R，值域为R. （2）反比例函数，定义域为，值域为. （3）一次函数，定义域为R，值域为R. （4）二次函数，定义域为R，值域为. 【变式1】求下列函数的值域 函数的值域是_________. 【答案】 【】由题意：函数，开口向上，对称轴， 画出函数如下， 函数在区间上的值域为. 【例2】求函数在区间的最大值？ 【答案】1 【】∵函数， ∴函数在区间上为单调增函数∴当时，函数取得最大值，为. 【变式2】已知函数，则它的值域为________ 【答案】 【】， ，，，， ，的值域为. 【例3】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【】函数的定义域是，令，则， ， 所以， 因为函数开口向上，对称轴方程且所以当有， 所以原函数的值域为．故选：D. 【变式3】函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 【例4】作出下列函数的图象，并写出函数的值域： （1） ； （2）． 【】（1）因为，函数的值域为； （1） ．函数的值域为：. 【变式4】（单选题）已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，因为， 所以的图象如图实线所示： 由可得， 由可得，由图知在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以的最小值为，故选：B. 【例5】（单选题）若函数的最大值为，最小值为，则（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B． 【变式5】（填空题）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【练 习】 1.函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 2.函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为， 当接近时，接近，所以的值域为.故选：D. 3.已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4.函数的最大值与最小值的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【】设，则有， 当时，代入原式，解得． 当时，， 由，解得，于是的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B. 5.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 6．已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列式求解即可. 【】解法一：因为在为减函数， 由解得，所以． 解法二：令，得；令，得， 又函数在定义域内单调递减，所以函数的定义域． 故选：B 7．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 8.（多选题）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域、值域对选项进行分析，从而确定正确答案. 【】对于A：的定义域是，值域是，不符合题意，A错误； 对于B：的定义域和值域都是，符合题意，B正确； 对于C：的定义域是，值域是，不符合题意，C错误； 对于D：的定义域和值域都是，符合题意，D正确. 9.（多选题）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 10.（填空题）求函数的值域_____. 【答案】. 【】， 因，即，则， 当且仅当，即 时等号成立，于是得， 所以原函数的值域为. 11.（填空题）已知函数的值域为，，则的取值范围是_____ 【答案】， 【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意； 要使函数的值域为，， 则，判别式≥0，解得m≥4 的取值范围是，.故答案为：， 12.求下列函数的值域 （1） 【答案】 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【解析】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. （2） 【答案】 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【解析】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . （3） 【答案】 【解析】函数的定义域为， 令，得，故 y≤1所以函数的值域为 （4） 【答案】 【解析】， 当x≥2时，单调递增，故f(x)≥3 当时，， 当时，函数取得最小值，故，综上可得，函数的值域为. （5） 【答案】 【解析】由题意，函数， 因为，所以，则，可得， 故函数的值域是 （6） 【答案】 【解析】， 因为所以函数的定义域为 令，整理得方程： 当时，方程无解； 当时， 整理得：，解得：所以函数的值域为. （7） 【答案】 【解析】函数， 当，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为 13.已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. ( 27 ) ( 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1）由题意得，即，解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以，所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号，所以，即， 所以的值域为 ( 27 ) ( 25 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $