1.1.2 勾股定理的验证及简单应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证及简单应用，通过上节课测量、数格子发现定理的基础，引导学生对图形割补（如图①、图②），用面积法推导验证，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融合赵爽弦图、毕达哥拉斯证法等多元验证方法，结合军事测距、梯子下滑等现实问题，以数形结合培养几何直观与空间观念，渗透历史文化增强推理意识。学生能提升应用能力，教师可丰富教学手段提高效率。

1.1 探究勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 1.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 第一章 勾股定理 八年级上│BS 重点 难点 1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际 问题. 2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的 思想. 学习目标 新课引入 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.如图，分别以直角三角形的三条边(a＜b)为边长向外作正方形. 你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？ 新知学习 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到图①、图②. 补 割 图② 图① 问题 (1)将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 新知学习 方法一： 图① 大正方形ABCD的面积可以表示为：____________或者___________. 可得等式_________________________. (a＋b)2 新知学习 问 题 你能用图①验证勾股定理吗？ 因为 S正方形ABCD 图① S正方形ABCD＝ 所以 a2 ＋b2 ＝ c2. 验证了勾股定理. 新知学习 方法二： 大正方形ABCD的面积可以表示为：________________或者________. 可得等式_________________________. c2 图② 新知学习 问 题 你能用图②验证勾股定理吗？ 因为 S正方形ABCD ＝ c 2 . 图② S正方形ABCD 所以 a2 ＋b2 ＝ c2. 新知学习 勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把图①称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图②）就取材于此图. 图① 图② 新知学习 方法三：赵爽弦图 a b a c b c a b 大正方形的面积可以表示为c2. 也可以表示为 . 因为c2＝4× ab＋(b－a)2 ＝2ab＋b2－2ab＋a2 ＝a2＋b2 所以c2＝a2＋b2 朱实 黄实 新知学习 方法四：毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c 所以a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab， 因为S大正方形＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab. S大正方形 所以a2＋b2＝c2 . 新知学习 方法五：伽菲尔德证法(总统证法) c b a c a b S梯形 ＝ (a＋b)(a＋b)＝ (a2＋b2＋2ab) 所以 所以a2 ＋ b2 ＝ c2. 新知学习 方法六：青朱出入图 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多.其中一种方法尤为独特，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明”，我们欣赏几个！ 新知学习 方法七：达·芬奇的方法 a b c A B C D E F O 【点击跳转至几何画板查看更多方法】 据不完全统计，验证的方法有400多种. 新知学习 例1 如图由赵爽弦图变化得到，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形. 若大正方形的面积为 12，小正方形的面积为 2，直角三角形短直角边为 a ，长直角边为 b，则 (a ＋ b)2 ＝ _____. a b 22 新知学习 变 式 图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. 若 AC ＝ 6，BC ＝ 5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长为______. 76 图(1) 图(2) 新知学习 思 考 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.？ S＝8 S＝29 S＝9 S＝5 S＝9 S＝8 结论1:若钝角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a²＋b²<c². 结论2:若锐角三角形中较长边长为c，较短边长为a、b，则a²＋b²＞c². 新知学习 分析：根据题意，可以画出右图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、B 表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角. 例2 在一次军事演习汇总中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 400m；过了10s ，测得汽车与他相距 500m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 新知学习 解：由勾股定理，可得 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2， 也就是 5002 ＝ BC2＋4002. 所以 BC ＝ 300. 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1h 行驶的距离为 300÷10 ＝ 30(m)， 即蓝方汽车这10s的平均速度为 30 m/s. 新知学习 1.(2024 南通) “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n)．若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 B 随堂练习 2.已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则( ) A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1＝S2 D.S1，S2大小无法确定 C 随堂练习 3. 勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为1.6m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B向外移了多少米？ 解：因为在Rt△OAB中，AB＝2m,AO＝1.6m, 由勾股定理得：OB2＝AB2＋AO2＝22＋1.62＝1.44(m)， 解得：OB＝1.2， 由勾股定理得：OD2＝CD2－CO2＝22－1.22＝2.56(m)， 所以BD＝OD－OB＝1.6－1.2＝0.4(m). 答：梯子底端B向外移了0.4米． 随堂练习 4.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为多少？ 建模：证明图中两个三角形全等，进而利用对 应边相等将正方形c进行位置转换得到“勾股树” 解：如解图，以BC为边作正方形，因为∠ACB＋∠ECD＝90°，∠CED＋∠ECD＝90°， 所以∠ACB＝∠CED，在△ABC和△CDE中， 所以△ABC≌△CDE(AAS)，所以BC＝DE， 根据勾股定理得 AB2＋BC2＝AB2＋DE2＝AC2， 所以Sb＝Sa＋Sc＝3＋4＝7. A B C D E c 随堂练习 1.拼出图形 2.写出图形面积的表达式 3.找出相等的关系 4.导出勾股定理 拼图验证 勾股定理的 简单应用 验证勾股定理 及简单应用 课堂小结 $