云南师范大学附属中学2027届高三上学期第一周周末作业数学试题

**基本信息** 云南师大附中高三数学周测卷，以函数、数列等核心知识为载体，通过基础巩固题与能力提升题的梯度设计，考查抽象能力、运算能力及推理意识，适配高三初期知识回顾与能力衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题60分|集合运算、函数单调性、三角函数性质|基础题占比60%，融入生活情境考查数学眼光| |填空题|4题20分|数列求和、导数几何意义、不等式应用|设置开放型问题，培养创新意识| |解答题|6题70分|函数与导数综合、数列证明、立体几何体积计算|中档题梯度明显，压轴题结合实际问题考查模型意识，与高考真题命题趋势一致|

师大附中27届高三上学期第一周周末作业 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.乘积(a+a2+a)(6+b2+b+b+b)(G+c2+C3+c4)展开后的项数为() A.27 B.32 C.35 D.60 2.集合M={x3x-1>5,N={0,1,2},则M∩N=（) A.{12,3 B.{2,3} C.☑ D.{3} 3.设i为虚数单位.若复数z满足z+i=2iz,则z的值为() A 25 2 B. C.1 D. 5 4.已知数列 2 是公比为2的等比数列，a=4,则a,=（) A.25 B.26 C.210 D.2 5.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36，则球O的半径为() A.6 B.8 C.36 D.64 6.已知sima+-25 8 83-2a=（） (4 7设：为实数。已知函数儿因-+1+2刘8创=9r+,若存在实 数a,b(a≠b)同时满足f(a)+f(b)=0和g(a)+g(b)=0,则实数t的取值范围是() A.（-0,-l] B.（-0,-1) C.(o,0] D.（-o,0) -l,x∈M, 8.对于集合从，定义函数（因-xEM:对于两个集合M,定义集合 MaN={xfw(x)fw(x)=-,已知A={2,4,6,7,10},B=-{,2,4,8,16}.用Card(M)表 示有限集合M所含元素的个数，则Card(XaD+Card(XaB)的最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知实数a,b,c满足a>b>c>0,则下列不等式正确的有（) A.9、a+c b'b+c C.bcb>cb° c a b a D.ab-ba>c 10.双曲线C:号-上=1的左右顶点分别为A、B,P、Q两点在C上，且关于x轴对称， 54 则() 4:以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为；+ B.双曲线C的离心率为3W5 C.直线AP与Q的斜率之积为-号 D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 a-1,0≤x<1 1.设函数f)-x-,x1(a>0且a≠1)则（） A.f(2026)≠0 B.x∈(0,1)，f(x+4)=f(x) C.f(x)的值域为[0，a-I) D.若方程f(x)=2至少有一个实数解，则a>3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知向量ā=(1,3)，万=(2，-2)，c=(m,-1),若c⊥(2ā+b),则m= 13.化简cos20°-sin30cos40° sin40°cos60° 14.数学计算中通常会用恒等式a8.w=N(a>0且a≠)来简化运算，已知x>1,y>1,且 x√y=e,则xny的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（(13分)已知函数f(e)-(5smx+)co-2snx+号 (1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程： 2)若y=8()的图象可由y=(四的图象向左平移行个单位长度得到，求函数g()在 [ξ]上的值域。 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，将点P(x,y)绕原点O按逆时针旋转a角，利用 [x'=xcosa-ysina 公式 y'=xsina+ycosa' 可得到点P(x,y).现将双曲线y=2绕原点O按逆时针旋转 3π 41 得到双曲线C. (1)求双曲线C的标准方程： (2)以双曲线C的右顶点为圆心作半径为1的圆M,直线1：3x+4y-3=0与圆M相交于A, B两点，求AB; (3)在(2)的条件下，H是圆N:(x+4)2+y2=4上的动点，求△HAB面积的取值范围， 17.(15分)如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC上的高AD折 叠，使得二面角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点. (1)证明：BM⊥AC. (②)试间在线段AC上是否存在点2，使得直线Mg与平面ABM所成角的正弦值为V2? 10 若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由 D 图1 图2 18.（17分)在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加.考虑一个由两个纠缠量 子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1.已知第一 个量子比特测量结果为0的概率为(0<p<1),测量结果为1的概率为1-p.若第一个 量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为9；若第一个量子比特 测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为92. (1)在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率。 (②)设P=子，随机变量X表示两个量子比特的测量结果之和。 (i)求X的分布列； (ⅱ)在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变9， 92,且9,92∈(0,1)，9，+92=1，D(X)<0.4,求91的取值范围 19.(17分)已知函数f(x)=xln(x+a)-2x+2ln(x+1),g(x)=2ln(x+a+1)-3x. (1)若a=0,求g(x)在(1，g()处的切线1的方程： (2)判断x=0是否是函数∫(x)的极值点，并说明理由： (3)若不等式f(x)>g(x)+k(x-2)对任意的xe(2,+o),a∈[0,2]恒成立，求正整数k的 最大值.（参考数据：c=2.71828,e2=7.38906…,c3=20.08554.…). 师大附中27届高三上学期数学第一周周末作业 参考答案 1.D2.C3.B4.C5.A6.C 7B【详】-品+41+2对小定文城为R, 所以对-号2+可-若h2x+ar可列： 0t=05器h2x+6可2+6m可-1-0 所以f(-x)十f(x)=0,所以f(x)为奇函数， y=品品在树上单现运地，y=(+2对在回)上单商递瑞 Γ2*+1 放函数)-+4+2在Q网)上单调递指， 所以番数了问-多h(+2刘在R上单满递瑞， 存在实数a,b(a≠b)同时满足f(a)+f(b)=0,故a+b=0,且a≠0. g(@)+g(b)=9+13°+9°+130=0，即9°+9°+1(3°+3)=0， 令9=3+3>2,1=-g+9=-产-2.-g+2,1=-5+2在亿，o)上为减函数，所以1（←0，-），故选：B. 3°+301 8.【答案】B【详解】根据题意可知：XaA={xx∈(XUA),xE(XnA}, 要想Card(XaA)最小，只需Card(X∩A)最大且Card(XUA)最小， 所以要使Card(X△D+Card(XaB)的值最小，2,4一定属于集合X: 1,6,7,8,10,16是否属于X不影响Card(X△D+Card(X△B)的值， 但集合X不能含有AUB之外的元素，A∩BCXCAUB, 所以当X为集合{1,6,7,8,10,16}的子集与集合{2,4}的并集时，Card(XaD+Card(XaB)取到最小值6.故选：B 9.【答案】ABC 10.BCD【详解】对于A,C的焦点和顶点分别为(3,0)，±V5,0), 从而以C的焦点和顶点分别为项点和焦点的椭圆方程为二+上=1，故A错误： 94 对于B,双曲线C的离心率为万三)，故B正确： 对于C,显然P,2异于A,B,不妨设P(x,),(x,-), 注意到P,2都在双曲线C上面，且-√5,0，B(5,0, 所以直线MP与0的斜率之积为kk0=,5 41- 5 4,故C正确： x+5x2-5x-5 5 对于D,双曲线C号苦=1的-个焦点、一条渐近线可以分别是(6,0).2x-5y=0, 而点(3,0)到直线2x-5y=0的距离是d=2×3=2,故D正确.故选：BCD 3 11.BD【详解】由x之1时，f(x)=∫(x-1), 所以f(2026)=f(2026-2026)=f(0)=a°-1=1-1=0，即f(2026)=0,故A错误： B.xe(0,1),x+4>1,x21时∫(x)=f(x-1), 可知f(x)是周期为1的周期函数，∫(x+4)=f(x+4-4×1)=f(x),故B正确。 C分两种情况讨论底数a: 若a>1,y=a-1在x∈[0,1)单调递增，所以f(x)的值域为[0，a-1): 若0<a<1,y=a-1在x∈[0,1)单调递减，所以f(x)的值域为(a-1,0], 值域随a范围变化，不恒为[0，a-1),C错误。 D.方程f(x)=2有解÷存在x∈[0,1)，使得d-1=2,即心=3， xe[0,1),分情况： 若0<a<1:a≤a°=1<3，无解： 若a>1:y=d在[0，)值域[山，a,要存在x使a=3,需3<a,即a>3,因此D正确. 12.m=1. 13.√5【详解】 e0s20°-s$in30rc0s40°cos20°-20s(60-209） c0320°- 2c0s20°+V3 1,1 sin 20) sin40cos60° 29in40° 2sin40 0s200- 3 sin20° 2 2 V3cos(20°+30)_V3cos50°_V3sin40° 5 sin40° sin40° sin40° sin40° 4.8详解】由x三e,左右取对数得nx+y=山，电nxy=22n细，解得ny号 所以x=e≤V,当且仅当x=√E,y=e时取等号，所以xm的最大值为√， 故答案为：√. 15.【详解】1D因为/倒-65smx+eas小osx-2sn2x+月-35血osx-3sn2x+号 2 -35a2x-3x上m2+}-3y5a2x+se2x+2-3n2x+引2 2 2 22 2 所以∫(x)的最小正周期T=2红=元. 2 令2x+名-好+受keZ,则x-空+爱keZ,所以因图象的时称辅方程是x-经+行ke乙，7分 6 10分 因为后所以2x+号[ …13分 16。【详解】(1)设曲线=2上任意一点(x)绕原点0按逆时针旋转妥后的坐标为(K,y), x=xcos 3元 4 则 04'即 2分 得(x}-y}=2=4,则_=1，所以双曲线C的标准方程为兰-兰 44 744=1.4分 （2)由(1)，可得圆心M(么，0)到直线1的距离4-6+0-3_3 V9+165 (3)圆心N(4,0)到直线1的距离4=B×(4)+4×0-_3 V9+16 点H到直线1距离的最大值为3+2=5，最小值为3-2=1， 所以△HAB面积的最大值为x5×8=4,最小值为二xIx8=4故△HAB面积的取值范围为[兰，4， 17.【详解】(1)证明：在图1中的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC, 所以在图2中，可得AD⊥BD,AD⊥CD, 因为BD∩CD=D,且BD,CDC平面BCD,所以AD⊥平面BCD, 1分 又因为BMC平面BCD,所以AD⊥BM, 2分 因为AD⊥平面BCD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC=60°， 所以△BDC为等边三角形，因为M为CD的中点，所以CD⊥BM, 3分 又因为ADOCD=D,且AD,CDC平面ACD,所以BM⊥平面ACD, 4分 因为ACc平面ACD,BM⊥AC. 5分 (2)解：以D为原点，垂直于DC的直线为x轴，DC,DA所在直线分别为y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A0,0,2),B(N3,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(0,1,0), …6分 则AB=(N5,L,-2),BM=(-V3,0,0),AD=(0,0,-2), 设平面ABM的法向量为元=(：，，乙)，则 ·AB=3x+y-2z=0 A·BM=-V3x=0 取名，=1，可得x=0,=2,所以z=(0,2,1), M 假设在线段AC上存在点2，使得直线M与平面 ABM所成角的正弦值为 10 M☑=(0，-1,2)，AC=(0,2,-2), 设A0=1AC=(0,2元，-2)，则M=MA+A0=(0,21-1,2-22),1∈[0,1]， 10分 平面ABM的一个法向量为片=(0,2,1)， 设直线MQ与平面ABM所成角为B, n.MO 则sin8=cosn,Mg= |2(21-)+2-22 M@5x22-y+2-210' 12分 解得又-或天-号 (舍去)， 14分 4 所以存在点O,使得直线Me与平面ABM所成角的正弦值为Y …15分 10 ，此时0=巨 2 18.【详解】(1)记事件A=“第一个量子比特测量结果为0”，事件B=“第二个量子比特测量结果为0”， 事件C=“两个量子比特测量结果相同”，则C=AB+AB, P(C)=P(AB+B)=P(A)P(BI A)+P()P(BI A)=p+(1-p)(1-92), …2分 P(AC)=P(AB)=pq, 4分 所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为 Pu C)=P(4C)_ P(C)p4+(1-p)1-9) 5分 (2)(1)X的所有可能取值为0,1,2， 6分 P-0-PB)PX-1-PB+))+ 2 PK=2)=Pa=0-p0-9)=1-, 2 所以X的分布列为 X 0 1 2 1-9+92 1-92 2 2 2 9分 (i)由(0得，B0)=0x+1x上9+2+2×丝=3=+92.311， 2 2 2 2 2 12分 所以D=(0-x号+0-×上92+丝+2-x'4=1+9,-五=4<04， 2 2 所以9，的取值范围是(0,0.4). 15分 19.【详解】Da=0时，8()=2n(+-3g=子-3。 1分 所以g()=-2,由于g(1)=2血2-3，所以g(x)在(1，g()处的切线1的方程为y=-2(x-1)+22-3, 化简得：1：y=-2x+2ln2-1. (2)不是，理由： 因h+o。2+品若x=0是属数问的服值点，则有了0-0， 代入得：na=0,即a=1. 4分 当a≠1时，x=0不是函数f(x)的极值点： 当a时因h有2异g4小-1 x+11 ◆P因=e*小-1+则Pk4 1 .5分 则F(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， .6分 则F(x)≥F(O)=0,即f(x)在(-l,+o)上单调递增，不合题意. 7分 综上：x=0不是函数f(x)的极值点. 8分 (3)由题意：xh(x+a)-2n(x+a+l)>-x-2ln(x+1)+k(x-2), 上式对任意a∈[0,2]恒成立，以a为主元，令h(a)=xln(x+a)-2血(x+a+l),则只需 h(a)>-x-2血(x+l)+k(x-2), 9分 医为回-。2云e背0，断回在小上0分 则h(a)m=h(o)=xhx-2h(x+),故x血x-2血(x+1)>-x-2n(x+)+k(x-2),， 即xnx+x>k(x-2)对任意xe(2,+o)恒成立. 11分 法一：设p(x)=xlhx+x-k(x-2)(x∈(2，+∞)，p'(x)=nx+2-k, 当k≤2+n2时，(x)>0恒成立，故p(x)在(2，+∞)上单调递增，所以p(x)>p(2)=2血2+2>0，成立， 当k>2+n2时，p(x)在(2，c-2)上单调递减，在(c-2,+o)上单调递增，故只需p(c-)>0,即2k-e2>0, 令H(k)=2k-e-2,H(k)=2-c-2<2-c2=0,所以H(k)在(2+n2,+o)上单调递减， 由于c2<8,c3>10,故H(4)=8-c2>0,H(5)=10-c3<0,则自然数k最大可取到4.综上：k=4. 法二：由题意得：k<h车，设()=hxx,p()=-2血x4 x-2 x-2 (x-22 令H(冈)=x-2nx-4,H(x)=1-2>0,故H(因)在(2，+o）)上单调递增， 由于c2<8,c3>10,故H(8)=4-2ln8=2(2-ln8)0,H(10)=6-2n10=2(3-ln10)》0, 所以3x,∈(8,10)，使得p(x)在(2，x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增，且x满足x。-2nx。-4=0, 故k<(名)=61h西+五=2 气，+而45，因此自然数最大可取到命 x0-2 -2 6 法三：由题意得：k<x加X取x=e2,则k<=3+。22 e2-2 由于5<心<8，所以3+。2，故k≤4， 下面说明k=4时原不等式恒成立，代入原不等式，即证：如x-3+8>0对任意x∈(2，+四)恒成立 设p()=nx-3+是p(-3,故p()在(2，)上单调递减，在民+o四)上单调道增。 所以o(x)>o(8)=ln8-2>0.即k=4成立.因t.白外浙k品大可取4