第二章 有理数的运算的小结-课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件系统梳理了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方及混合运算等核心内容，通过知识结构图将运算法则、运算律、混合运算顺序等串联，构建完整的有理数运算知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于注重易错点辨析与实际应用，如通过对比“2÷(2×3)与2÷2×3”明确运算顺序，结合净胜球计算、金属丝伸缩等实例培养运算能力和应用意识。课后任务分基础题与拓展思考，满足分层复习需求，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

第二章 有理数的运算 有理数的运算小结 人教版 七年级上册 1.7.2013 本节课是第二章的小结复习课。先带学生把加减乘除乘方从头过一遍，重点讲"先定符号、再用绝对值"这条主线，再通过例题和易错题巩固。课后布置思维导图，让学生自己把知识串起来。 ‹#› 知识结构总览 有理数的运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 混合运算 在有理数系（域）中，有理数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是有理数 与负数有关的运算，借助绝对值，转化为正数之间的运算 2.4 有理数的运算小结 2 / 18 1.7.2013 开课先看这张结构图，把本章几种运算串一遍，让学生心里有个整体框架。提醒两点：一是有理数算来算去结果还是有理数；二是碰到负数别慌，先想它的绝对值，转成熟悉的运算再做。 ‹#› 加法与乘法法则 有理数的加法法则 1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 2. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于较大者与较小者的差 3. 一个数与 0 相加，仍得这个数 互为相反数的两个数相加得 0 同号 → 异号 → 与 0 先定符号，再用绝对值运算 有理数的乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 2. 任何数与 0 相乘，都得 0 同号得正 → 异号得负 → 与 0 先定符号，再用绝对值运算 乘方：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 2.4 有理数的运算小结 3 / 18 1.7.2013 加法法则按同号、异号、与0相加三种情况来讲，讲完带学生练两题。乘法法则相对简单，核心就一句"同号得正、异号得负"。顺带提一下乘方符号：负数的奇次幂是负、偶次幂是正，这个点学生常忘。 ‹#› 减法与除法法则 有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数 a − b = a + (−b) 减法 → 转化 → 加法 两个有理数相减，差仍是有理数 有理数的除法法则 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 a ÷ b = a × () (b ≠ 0) 除法 → 转化 → 乘法 两个有理数相除（除数不为 0），商仍是有理数 转化思想 减法 → 加法　　除法 → 乘法　　负数运算 → 正数运算 与负数有关的运算，借助绝对值，转化为正数之间的运算 2.4 有理数的运算小结 4 / 18 1.7.2013 减法转加法、除法转乘法，这一页的核心就一个词：转化。让学生自己体会——把不熟悉的运算转化成学过的运算，性质一下就清楚了。转化思想在后面学有理数会一直用到。 ‹#› 乘方与符号规律 乘方：求 n 个相同乘数的积的运算 a × a × ... × a = aⁿ n 个 a 相乘 指数 幂 底数 符号规律 负数的奇次方是负数 负数的偶次方是正数 正数的任何次方都是正数，0 的正整数次方都是 0 举例： (−2)³ = −8 = 16 = −16 和 的区别在于底数不同！ 2.4 有理数的运算小结 5 / 18 1.7.2013 乘方概念要跟底数、指数、幂对应起来讲。符号规律：负数的奇次幂为负、偶次幂为正。特别提醒 (-2)⁴ 和 -2⁴ 的区别——前者底数是 -2，后者底数是 2，结果一正一负，这个坑学生经常踩。 ‹#› 混合运算顺序 有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序： 1 先乘方，再乘除，最后加减 2 同级运算，从左到右进行 3 如有括号，先做括号内的运算（小→中→大） 口诀：先乘方，再乘除，后加减；同级从左到右；括号从小到大 先定符号，再用绝对值运算 2.4 有理数的运算小结 6 / 18 1.7.2013 混合运算顺序就三句话：先乘方、再乘除、后加减；同级从左到右；有括号先算括号里的。口诀背熟之后一定要配题练习，光背不练记不住。 ‹#› 有理数运算律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律 a × b = b × a 乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) 分配律 a × (b + c) = a × b + a × c 用对运算律，计算能省不少力气 例：( + − ) × 24 = × 24 + × 24 − × 24 = −10 + 4 − 16 = −22 运用分配律，避免了括号内通分运算，更简便 2.4 有理数的运算小结 7 / 18 1.7.2013 五个运算律带着学生回忆一遍，重点讲分配律那个例题：用分配律展开能避开通分，算起来快很多。让学生体会运算律是拿来省事的，不是摆设。 ‹#› 易错辨析：运算顺序 2 ÷ (2 × 3) 与 2 ÷ 2 × 3 有什么不同？ 2 ÷ (2 × 3) = 2 ÷ 6 = 先算括号内的 2 × 3 = 6 2 ÷ 2 × 3 = 1 × 3 = 3 同级运算，从左到右 同级运算要按从左到右的顺序进行，不能随意调整 有括号时，先做括号内的运算 2.4 有理数的运算小结 8 / 18 1.7.2013 这个易错点很典型：2÷(2×3) 和 2÷2×3 只差一个括号，结果差了三倍。让学生先自己算、再对比，印象会深很多。强调括号不能随便去，同级运算必须从左到右。 ‹#› 易错辨析：乘方底数 6 ÷ (−3)² 与 6 ÷ (−3²) 有什么不同？ 6 ÷ (−3)² = 6 ÷ 9 = 底数是 (−3)，结果为正 6 ÷ (−3²) = 6 ÷ (−9) = − 底数是 3，结果为负 乘方运算要分清底数！ (−3)² 的底数是 −3，−3² 的底数是 3 2.4 有理数的运算小结 9 / 18 1.7.2013 乘方底数是最容易出错的点：(-3)² 底数是 -3，结果是 9；-3² 底数是 3，结果是 -9。两个式子只差一个括号，结果完全相反。上课时让学生多说几遍"底数是谁"。 ‹#› 例题精讲 例 1 计算：(−6) − 4 − (−2.5) + (−0.1) 分析：加减混合运算可以统一为加法运算 解：(−6) − 4 − (−2.5) + (−0.1) = −6 − 4 + 2.5 − 0.1 = (−6 − 4) + (2.5 − 0.1) = −10 + 2.4 = −7.6 运用了加法交换律和加法结合律 负数取绝对值后转化为正数运算 2.4 有理数的运算小结 10 / 18 1.7.2013 例 1 是加减混合运算，先把减法统一成加法，再用交换律、结合律把同号的数放一起凑整，一步步算出 -7.6。让学生体会负号处理和凑整的技巧。 ‹#› 例题精讲 例 2 计算：(−0.02) × (−20) × (−5) × 4.5 分析：先确定积的符号，再用乘法结合律简化 解：(−0.02) × (−20) × (−5) × 4.5 三个负号，积为负 = −(0.02 × 20 × 5 × 4.5) = −(0.02 × 20) × (5 × 4.5) = −0.4 × 22.5 = −9 运用了乘法结合律，将 0.02 × 20 和 5 × 4.5 分别配对 2.4 有理数的运算小结 11 / 18 1.7.2013 例 2 是连乘，先看符号：一共三个负号，积为负；再用乘法结合律把 0.02×20、5×4.5 分别配对，算起来快。强调"先定符号、再算数值"的顺序。 ‹#› 例题精讲 例 3 计算：(−3)² × 5 − (−2)³ ÷ 4 分析：先乘方，再乘除，最后加减 解：(−3)² × 5 − (−2)³ ÷ 4 = 9 × 5 − (−8) ÷ 4 = 45 + 2 = 47 (−3)² = 9　　(−2)³ = −8　　−8 ÷ 4 = −2 先看题目特征，再定运算顺序；认准底数和括号，用对法则，一步步算出结果 2.4 有理数的运算小结 12 / 18 1.7.2013 例 3 混合了乘方、乘除、加减。先算乘方：(-3)²=9、(-2)³=-8；再算乘除：9×5=45、-8÷4=-2；最后加减得 47。步骤要一步一步写清楚，别跳步。 ‹#› 学以致用 1. 1 个天文单位约为 1.496 亿千米，用科学记数法表示是多少千米？ 1.496 亿 = 149 600 000 → 整数部分 9 位，n = 9 − 1 = 8 149 600 000 = 1.496 × 10⁸ (千米) 答：1 个天文单位约为 1.496 × 10⁸ 千米，选 C. A. 1496 × 10⁵　B. 14.96 × 10⁶　C. 1.496 × 10⁸　D. 0.1496 × 10⁸ a × 10ⁿ 中 1 ≤ a < 10，n 为正整数， n = 整数位数 − 1 2.4 有理数的运算小结 13 / 18 1.7.2013 科学记数法这题，先把 1.496 亿写成 149600000，整数部分是 9 位，所以 n=8，结果是 1.496×10⁸，选 C。强调 a 的范围是 1≤a<10，这个条件最容易忽略。 ‹#› 学以致用 2. 红、黄、蓝三支足球队比赛，进球记为正，失球记为负，三队的净胜球数各是多少？ 红 4:2 黄　蓝 3:1 黄　红 2:3 蓝 队名 净胜球计算 结果 红队 (+4)+(−2)+(+2)+(−3) = 1 黄队 (−4)+(+2)+(−3)+(+1) = −4 蓝队 (+3)+(−1)+(−2)+(+3) = 3 有理数加法在实际问题中的应用：进球为正，失球为负，净胜球为各场比赛进失球之和 2.4 有理数的运算小结 14 / 18 1.7.2013 足球净胜球问题，进球记正、失球记负，把每队的几场比赛结果相加。红队算出来是 1，黄队是 -4，蓝队是 3。这个例子贴近生活，学生普遍感兴趣。 ‹#› 学以致用 3. 金属丝温度每升降 1°C 约伸缩 0.002 mm。从 20°C 加热到 30°C，再冷却到 5°C，最后长度比原长度伸长多少？ 分析：金属丝先伸长，后缩短 解：0.002 × (30 − 20) + 0.002 × (5 − 30) = 0.002 × 10 + 0.002 × (−25) = 0.02 + (−0.05) = 0.002 × (−15) = −0.03 (毫米) 答：最后的长度比原长度约伸长 −0.03 mm（即缩短了 0.03 mm）。 2.4 有理数的运算小结 15 / 18 1.7.2013 金属丝问题，升温伸长、降温缩短。先算升到 30°C 伸长 0.02mm，再算降到 5°C 缩短 0.05mm，合并后是 -0.03mm，也就是缩短了 0.03mm。注意最后答案要说清楚是"缩短"。 ‹#› 课堂小结 本章知识结构图 有理数的运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 运算律 交换律、结合律、分配律 混合运算 先乘方→再乘除→后加减；同级从左到右；括号从小到大 科学记数法 a × 10ⁿ（1 ≤ a < 10，n 为正整数） 近似数 四舍五入法、精确度、末尾 0 不可省略 2.4 有理数的运算小结 16 / 18 1.7.2013 收尾用这张结构图把整章串一遍：加减乘除乘方、运算律、混合运算顺序、科学记数法、近似数。让学生看着图自己复述，比老师单讲效果好。 ‹#› 课堂小结 混合运算一般步骤 1 观察并分析运算对象特征 2 确定运算顺序 3 明确运算对象（底数、括号等） 4 正确使用法则，灵活运用运算律 5 求得运算结果 数学思想方法：由特殊到一般、分类讨论、转化 2.4 有理数的运算小结 17 / 18 1.7.2013 混合运算的一般步骤总结成五步：看特征、定顺序、认清对象、用法则、求结果。数学思想点一下就好：特殊到一般、分类讨论、转化，不展开。 ‹#› 课后任务 1. 教科书第 61 页，复习题 2 第 1、4 题. 2. 教科书复习题 2 第 2、10 题. 3. 整理本章的知识结构图，完善有理数运算的思维导图. 拓展思考 随着非负有理数系扩充成有理数系（域），数系的扩充给数的运算带来了怎样的新变化？ 例如：规定“负负得正”，保证了有理数乘法与非负有理数乘法保持一致 2.4 有理数的运算小结 18 / 18 1.7.2013 作业布置：复习题 2 的第 1、4 题是基础题，第 2、10 题稍难，分层布置。另外让学生整理本章思维导图，下节课可以抽几个展示。拓展思考题留给学有余力的孩子。 ‹#› $