解析几何：抛物线中的弦长问题、面积问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线中的弦长问题与面积问题两大核心考点，按“知识点解析-解题思路-高频易错点-例题变式”逻辑架构，通过梳理抛物线定义、弦长公式等核心知识，指导代数通用解法与定义法等解题策略，结合真题例题与分层变式训练，帮助学生系统构建解题框架，突破计算与转化难点。 讲义突出数学思维与模型观念培养，如焦点弦问题引导学生用抛物线定义转化距离简化计算，面积问题采用坐标分割法拆分图形降低复杂度。设置易错点警示与梯度训练，确保学生掌握通性通法，提升运算推理能力，为教师精准把控复习节奏、高效提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：抛物线中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 抛物线中的弦长问题 抛物线中的面积问题 考点一 抛物线中的弦长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 抛物线标准形式：、、、，焦点、准线是抛物线独有要素；抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，即抛物线定义（焦半径）。 1. 弦分为普通弦、焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得弦）。 1. 弦长两类计算途径：① 联立直线与抛物线方程，韦达定理代数计算；② 利用抛物线定义转化距离。 1. 弦长公式：设直线与抛物线交于 ，直线斜率为 1. 焦点弦专用结论（以 为例）： 焦半径 ，；焦点弦长 。 二、解题思路原理 1. 代数通用解法 设出直线方程，注意直线斜率不存在的特殊情形（垂直 x 轴，抛物线通径）；将直线代入抛物线，整理得到一元二次方程。 判别式 保证存在两个交点；利用韦达定理得到两根之和、两根之积，直接代入弦长公式求出弦长。 > 抛物线联立之后，方程可能是一次方程，代表直线和抛物线只有一个交点（相切或平行对称轴），此时不存在弦，做题要检验 ，区分相交、相切、相离。 1. 定义法（优先用于焦点弦） 遇到过焦点的弦，不必完全依赖弦长公式，借助抛物线定义，把焦半径转化到准线的水平距离，直接求和得到焦点弦总长度，简化计算。 1. 常见命题方向：已知直线求弦长；已知弦长反求直线参数（斜率、截距）；焦点弦相关长度计算。 三、高频易错点 1. 忽略直线斜率不存在情况，抛物线中通径是重要特殊弦； 1. 联立后得到一次方程，误当作二次方程强行使用韦达定理； 1. 不同开口方向抛物线，焦半径公式会变化，不能直接照搬 结论； 1. 时直线平行 x 轴，对于开口左右的抛物线只会有一个交点，不能构成弦。 【例题分析】 例1．（2026·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 例2．（2026·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求弦长度的最小值，并说明取等条件． 【变式训练】 变式1．（2026·河南开封·一模）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 变式2．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 变式3．（2026·重庆九龙坡·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. (1)求圆 的方程； (2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 考点二 抛物线中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础面积模型：三角形、四边形，绝大多数考题以三角形面积为主。 1. 三角形面积常用表达： ① ；解析几何中，弦长做底，点到直线距离做高。 ， 为弦长， 为第三个定点到直线 的距离。 ② 坐标割补公式：若 为坐标原点，； 若两个点在同一条直线上，也可以用竖直/水平分割： 或者 。 1. 综合题型：面积定值、面积最值；已知面积求直线参数。 二、解题思路原理 1. 底‑高模式（最通用） 把抛物线上两点连线当作三角形底边，先用弦长公式求出底边长度；再用点到直线距离公式求出第三个点到这条直线的距离；代入面积公式。 适合：三角形一个顶点是定点，另外两点是直线与抛物线的两个交点。 1. 坐标分割法（竖割/横割） 当三角形多个顶点都在抛物线上，不方便求点线距离时，做竖直或者水平辅助线，把大三角形拆成两个小三角形，两个小三角形共用同一条高，面积相加。 尤其适合两个点纵坐标已知，直接用纵坐标差运算，避开复杂的距离公式。 1. 焦点参与的面积 如果三角形包含抛物线焦点，可以利用焦半径简化边长，结合角度求面积；焦点弦与原点构成三角形，有现成坐标面积公式，减少计算量。 1. 面积最值问题解题逻辑 将面积表达为关于 或者关于 的函数，转化为函数求值域；可以用二次函数、基本不等式处理；注意自变量的取值范围，受 约束。 面积定值问题：把面积表达式化简，变量全部抵消，得到常数。 三、高频易错点 1. 计算点到直线距离，直线没有化成一般式，导致距离公式代入出错； 1. 割补法的时候，绝对值遗漏，出现负的面积； 1. 求面积最值忘记判别式约束，得到取不到的最值； 1. 焦点弦面积结论只适配对应开口抛物线，直接套用公式不看抛物线方向，造成结果错误。 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 例2．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 例3．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 变式2．（2026·辽宁大连·一模）已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：抛物线中的弦长问题、面积问题复习讲义 考点目录 抛物线中的弦长问题 抛物线中的面积问题 考点一 抛物线中的弦长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 抛物线标准形式：、、、，焦点、准线是抛物线独有要素；抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，即抛物线定义（焦半径）。 1. 弦分为普通弦、焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得弦）。 1. 弦长两类计算途径：① 联立直线与抛物线方程，韦达定理代数计算；② 利用抛物线定义转化距离。 1. 弦长公式：设直线与抛物线交于 ，直线斜率为 1. 焦点弦专用结论（以 为例）： 焦半径 ，；焦点弦长 。 二、解题思路原理 1. 代数通用解法 设出直线方程，注意直线斜率不存在的特殊情形（垂直 x 轴，抛物线通径）；将直线代入抛物线，整理得到一元二次方程。 判别式 保证存在两个交点；利用韦达定理得到两根之和、两根之积，直接代入弦长公式求出弦长。 > 抛物线联立之后，方程可能是一次方程，代表直线和抛物线只有一个交点（相切或平行对称轴），此时不存在弦，做题要检验 ，区分相交、相切、相离。 1. 定义法（优先用于焦点弦） 遇到过焦点的弦，不必完全依赖弦长公式，借助抛物线定义，把焦半径转化到准线的水平距离，直接求和得到焦点弦总长度，简化计算。 1. 常见命题方向：已知直线求弦长；已知弦长反求直线参数（斜率、截距）；焦点弦相关长度计算。 三、高频易错点 1. 忽略直线斜率不存在情况，抛物线中通径是重要特殊弦； 1. 联立后得到一次方程，误当作二次方程强行使用韦达定理； 1. 不同开口方向抛物线，焦半径公式会变化，不能直接照搬 结论； 1. 时直线平行 x 轴，对于开口左右的抛物线只会有一个交点，不能构成弦。 【例题分析】 例1．（2026·广东江门·模拟预测）已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意有，求出参数值，即可得方程； （2）由题意可得，联立抛物线，应用韦达定理和焦点弦长公式求. 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； （2）    由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然， 所以，，(的横坐标分别为)， 则. 例2．（2026·河南·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求弦长度的最小值，并说明取等条件． 【答案】(1) (2)，当直线方程为时取等． 【分析】先分析直线斜率存在时，假设直线：，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得到点横、纵坐标的关系，再验证当直线斜率不存在时也符合即可. 利用小问（1），结合弦长公式可得直线斜率存在时，再与直线斜率不存在时比较，即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点， 当直线斜率存在时，设过焦点的直线为． 代入抛物线方程，得． 整理为． 方程的判别式， 设交点，的横坐标分别为，，则． 所以中点的横坐标，即，， 又因为在直线上，所以． 于是，， 因此点满足，， 当垂直于轴时，l：，此时交点为，， 中点为，也满足． 故的轨迹方程为． （2）当l：时，由（1）可知，． 所以，即． 由于， 故 当直线l斜率不存在时，即时，交点为，，此时． 因此弦长度的最小值为4，当且仅当直线l方程为时取得． 【变式训练】 变式1．（2026·河南开封·一模）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先设点的坐标为，再根据题意列式化简即可； （2）先求出直线的方程，再利用距离公式即可求出. 【详解】（1）设点的坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． （2）直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 变式2．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【答案】(1)证明：直线不垂直于轴，设直线AB方程为， 由消去x并化简得， 则，因此， 所以为定值. (2)． 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理计算得证. （2）由（1）求出，结合已知求出直线与的关系，再利用弦长公式列式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 设直线的方程为，同理， 由，得，则， 又， 同理，则． 当时，，， 且当且仅当时取等号，当时，，， 所以的最小值为. 变式3．（2026·重庆九龙坡·二模）已知抛物线 ，焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 于 . 以 为圆心、 为半径作圆 . 设直线 与圆 交于 两点，与 交于 两点， 其中 在第一象限. (1)求圆 的方程； (2)是否存在 使 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 不存在这样的，理由如下： 设，， 联立，消去整理得， 故，， 若，则，即得， 又，所以，即，即， 所以，无解，故不存在这样的，使得. 【分析】（1）根据抛物线方程求出点的坐标和的长，得解； （2）设，，联立直线与抛物线方程，由条件结合抛物线定义可得，代入韦达定理得解. 【详解】（1）抛物线的焦点，令，得，所以， 所以圆的方程为. （2）不存在这样的，理由略. 考点二 抛物线中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础面积模型：三角形、四边形，绝大多数考题以三角形面积为主。 1. 三角形面积常用表达： ① ；解析几何中，弦长做底，点到直线距离做高。 ， 为弦长， 为第三个定点到直线 的距离。 ② 坐标割补公式：若 为坐标原点，； 若两个点在同一条直线上，也可以用竖直/水平分割： 或者 。 1. 综合题型：面积定值、面积最值；已知面积求直线参数。 二、解题思路原理 1. 底‑高模式（最通用） 把抛物线上两点连线当作三角形底边，先用弦长公式求出底边长度；再用点到直线距离公式求出第三个点到这条直线的距离；代入面积公式。 适合：三角形一个顶点是定点，另外两点是直线与抛物线的两个交点。 1. 坐标分割法（竖割/横割） 当三角形多个顶点都在抛物线上，不方便求点线距离时，做竖直或者水平辅助线，把大三角形拆成两个小三角形，两个小三角形共用同一条高，面积相加。 尤其适合两个点纵坐标已知，直接用纵坐标差运算，避开复杂的距离公式。 1. 焦点参与的面积 如果三角形包含抛物线焦点，可以利用焦半径简化边长，结合角度求面积；焦点弦与原点构成三角形，有现成坐标面积公式，减少计算量。 1. 面积最值问题解题逻辑 将面积表达为关于 或者关于 的函数，转化为函数求值域；可以用二次函数、基本不等式处理；注意自变量的取值范围，受 约束。 面积定值问题：把面积表达式化简，变量全部抵消，得到常数。 三、高频易错点 1. 计算点到直线距离，直线没有化成一般式，导致距离公式代入出错； 1. 割补法的时候，绝对值遗漏，出现负的面积； 1. 求面积最值忘记判别式约束，得到取不到的最值； 1. 焦点弦面积结论只适配对应开口抛物线，直接套用公式不看抛物线方向，造成结果错误。 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为. (1)求Р的方程； (2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）设，解得线段FP的中点坐标，根据题意列等式化简即可得方程； （2）设设A，根据函数导数求得函数的切线方程进而求得M的坐标，根据垂直易得直线AB的方程，与联立，推得B的坐标，利用弦长公式计算得，，结合面积公式和基本不等式求得面积最小值. 【详解】（1）设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切， ∴，化简得，所以的方程为； （2）设A，由，，则点A处的切线斜率为， 所以直线MA方程为，整理为， 令，则，所以M，易知直线AB斜率为， 所以直线AB：，整理为， 与联立可得， 有，解得， 即B的横坐标为， 所以， ， 所以△MAB面积为 ，又，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为    例2．（2026·宁夏银川·三模）已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 例3．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于不同的两点，.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与交于两点，（与，两点不重合），与点形成，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）先求直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：设， 若直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得， 则， 且， 所以. 因为，所以， 故的方程为； （2）解：直线过点，倾斜角为，则直线方程为， 联立抛物线得：， 设，，由韦达定理得：， ， ， 点到直线的距离， ． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (i)设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. (ii) 【分析】（1）根据抛物线性质求解即可； （2）结合导数的几何性质整理出切线方程，再利用两点确定一条直线即可证明；利用弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可求解最小值. 【详解】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. （2）（i）略 （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离，   因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 变式2．（2026·辽宁大连·一模）已知抛物线（）的焦点为，准线为，直线与相交于两点，点. (1)求的方程； (2)若，求证：过定点； (3)若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明：方法1：设，，由题意得l存在斜率，设l：，联立得， 令，则， 因为， 所以，即. 因为，， 所以， 整理得. 因为，所以， 所以，得. 所以， 所以直线过定点. 方法2：设，，由题意得l存在斜率，设l：， 因为， 所以，，即. 因为，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，所以， 所以， 所以直线过定点. (3) 【分析】（1）可通过准线方程建立等式求出的值，进而得到抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设出直线的方程以及、两点坐标；因为，利用向量夹角公式可得到，方法1：将等式用坐标表示后，结合抛物线方程化简，方法1：再联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理代入化简结果，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点；方法2：利用抛物线的焦半径公式以及坐标代换后，因式分解，得到直线中参数的关系，从而确定直线所过的定点； （3）方法1：设出、两点坐标以及直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出中点的坐标；因为的中点在直线上，所以可得到直线参数的关系；再求出弦长以及点到直线的距离，进而表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值；方法2：设AB的中点为，，，利用条件建立起的关系式，弦长以及点到直线的距离都用表示出来，进而用表示出的面积，最后利用导数求函数最值的方法求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以C的方程为. （2）略 （3）方法1：设，，由题意得l存在斜率， 设l：，联立得， 令，则， 由中点在上，得. 所以， 点P到直线l的距离. 面积，. 令，则，. 所以，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为. 方法2：设AB的中点为，，，则，. 因为，，所以，. 因为抛物线与直线交点为，，所以. 所以, ， . 因为直线l的斜率，且经过点， 所以直线l的方程为， 即：， 所以点到直线的距离， 所以面积，. 令，则，. 则，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值， 即△PAB面积的最大值为.    变式3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值，． 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）设出A点坐标和直线方程，求出B点坐标，再根据重心性质，列方程求解即可； （3）列出表达式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则，抛物线方程为． （2）设，重心，令，，则．                                             由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以． 又由于，，重心在轴上，故， 得，．- ，故，故 （3）由（2）设 ，，． 所以，直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故．从而 令，则，．- 当时，取得最小值，此时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $